יום שלישי, 19 ביוני 2012

פונקציית דלתא של דיראק כרגולטור של סינגולריות


ברשימה זו שני חלקים: החלק הראשון משמש מבוא ובו אגדיר את הפונקציה עבור המקרה המרחבי, ואף אציג את פיתוח הפורייה שלה; בחלק השני אראה כיצד היא משמשת כסוג של רגולטור לטיפול בנקודות סינגולריות.


חלק א'

תהיינה \(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'\) שתי נקודות (וקטורי מקום) במרחב האאוקלידי התלת-ממדי \(\mathbb{E}_{3}\), ותהא \(\boldsymbol{r}_{0}\) נקודה מיוחדת במרחב זה המכונה נקודת הצטברות. פונקציית דלתא של דיראק, אותה נסמן באמצעות \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\), היא 'פונקציה' של שתי נקודות המקיימת את שלושת הדרישות הבאות:
\begin{aligned}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)&\;=\;\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}\right)&&\quad\left(1\right)\\\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)&\;=\;\left\{\begin{array}{rcl}0&&\text{if}\quad\boldsymbol{r}\neq\boldsymbol{r}'\\\infty&&\text{if}\quad\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'\end{array}\right.&&\quad\left(2\right)\\\left<\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}'\right),\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\right>&\,=\,\varphi\left(\boldsymbol{r}_{0}\right)&&\quad\left(3\right)\end{aligned}
המספר '\(3\)' הצמוד לסימול של פונקציית הדלתא אינו בא אלא לבטא את העובדה שמדובר באובייקט הפועל על פונקציות חלקות מעל \(\mathbb{E}_{3}\); שימו לב, בשבילנו \(\mathbb{E}_{3}\) ולא \(\mathbb{R}_{3}\), זאת מכיוון שקיומה של מטריקה חיוני לצורך הטיפול האנליטי בהמשך. שלוש הערות קצרות על שלשת הדרישות הללו ועל משמעותן:
  1. הדרישה הראשונה מבטאת סימטריה תחת החלפת שתי הנקודות. אם נגדיר \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\) הרי שהדרישה לסימטריה תחת החלפת שתי הנקודות שקולה לדרישה שהפונקציה \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\) תהיה זוגית במשתנה החדש \(\boldsymbol{x}\): \(\delta^{3}\left(-\boldsymbol{x}\right)=\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\).
  2. הדרישה השנייה מבטאת את העובדה שמדובר בהתפלגות המרוכזת כל-כולה בנקודה אחת, היא נקודת ההצטברות. יתר על כן, הפונקציה מתבדרת בנקודה היחידה שבה היא לא מתאפסת.
  3. הדרישה השלישית מבטאת את העובדה שפונקציית דלתא היא סוג של פונקציונאל (מן הסתם, לינארי) השולף ערך של פונקציה אחרת בדיוק בנקודת ההצטברות. 
חשוב להדגיש שהבחירה במרחב המקום לצורך ההגדרה היא שרירותית; שום דבר לא מגביל אותנו להגדיר את המושג במרחב תלת מימדי אחר (במרחב התנע למשל) ובלבד שיהא זה העתק של \(\mathbb{E}_{3}\).

את הפונקציונאל הלינארי מדרישה \((3)\) למעלה נהוג להגשים באמצעות אינטגרציה תלת-ממדית במרחב המקום (אני אף פעם לא נתקלתי בהגשמה מסוג אחר):
\[\int_{\Omega}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,=\,\varphi\left(\boldsymbol{r}_{0}\right)\]
באשר \(\Omega\) הוא התומך של \(\varphi\) וכמובן \(\boldsymbol{r}_{0},\boldsymbol{r}'\in\Omega\). ובפרט, אם נבחר את נקודת ההצטברות כנקודת ראשית הצירים (כלומר \(\boldsymbol{r}_{0}=\boldsymbol{0}\)), והיות ו- \(\delta^{3}\left(-\boldsymbol{r}\right)=\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}\right)\) נקבל:
\[\int_{\Omega}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'=\varphi\left(\boldsymbol{0}\right);\]
ועוד נקודה אחת שיש לתת עליה את הדעת בטרם נמשיך: שימו לב שפונקציית הדלתא מנורמלת מטבע הגשמתה (ובלי קשר לבחירתה של נקודת ההצטברות),
\[\int_{\Omega}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,=\,1\,.\]

מטעמי נוחות נעבור עתה למשתנה \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}'\) ונפתח את פונקציית הדלתא שלנו כהתמרת פורייה במרחב התנע המיוצג באמצעות הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) (המכונה גם וקטור הגל) באופן הבא:
\[\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\tilde{\delta}^{3}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\]
באשר \(\tilde{\delta}^{3}\left(\boldsymbol{k}\right)\) הוא טרנספורם הפורייה של \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\), והוא כמובן "חי" במרחב התנע. אם נבצע עתה את ההתמרה ההפוכה נקבל
\[\tilde{\delta}^{3}\left(\boldsymbol{k}\right)\,=\,\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}\,=\,e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{0}}\,=\,1\,,\]
יוצא איפה שטרנספורם הפורייה של פונקציית דלתא של דיראק הוא פונקציה קבועה (במרחב התנע). עתה נציג זאת חזרה בפיתוח של \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\) ונקבל שוב את פונקציית דלתא של דיראק, והפעם כאינטגרל על כל הפזות האפשריות המיוצגות באמצעות הפרמטר הוקטורי הרציף \(\boldsymbol{k}\):
\[\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\,=\, \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\]
מבחינה מתמטית משוואה זו מבטאת את ההצהרה בדבר שלמות משפחת הפונקציות הטריגונומטריות \(\left\{e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\right\}\). מבחינה פיזיקאלית, המשוואה מבטאת את העובדה שהמצב הממוקם ביותר שאפשר לבנות במרחב המקום בא בהכרח עם אי-ודאות מחלטת במשתנה הקנוני הצמוד במרחב התנע. על כך אני מקווה להרחיב בעתיד בסדרת רשומות נפרדת שתעסוק בעיקרון אי הוודאות. 

כבדיקה של עקביות נוכל עתה להציג את הפיתוח של פונקציית הדלתא כאינטגרל על פזות בנוסחת הגדרתה כפונקציונל, כדי לקבל את הנוסח הסטנדרטי לפיתוח פוריה: 
\begin{aligned}\varphi\left(\boldsymbol{r}\right)&\,=\,\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\left[\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\right]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\left[\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}'}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\right]e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\tilde{\varphi}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\end{aligned}
באשר \(\tilde{\varphi}\left(\boldsymbol{k}\right)\) מייצג את טרנספורם הפורייה של \(\varphi\left(\boldsymbol{r}\right)\).


חלק ב'

חישבו על הפונקציה \(\varphi\left(\boldsymbol{x}\right)=1/x\) כאשר \(x=\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|\) הוא המרחק בין \(\boldsymbol{r}\) לבין \(\boldsymbol{r}'\). הלפלסיאן של הפונקציה הזו הוא בעל חשיבות ראשונה במעלה מכיוון שהוא מככב בפתרון הפורמלי של משוואת פואסון \(\nabla^{2}\phi=-\rho/\epsilon\). במשוואה זו אגף שמאל הוא הלפלסיאן של הפוטנציאל החשמלי, ואגף ימין מכיל את (מינוס) צפיפות המטען החשמלי, מחולק בפרמבליות. אלא שפונקציית הפוטנציאל סינגולרית בראשית... איזה משמעות יש בכלל ללפלסיאן בסביבה הזו?

הלפלאסיאן של פונקציה סקלרית הוא הדיברגנס של הגרדיאנט שלה, \(\nabla^{2}\phi=\nabla\cdot\nabla\phi\). הבה נתבונן שוב בפונקציה הסקלרית \(\varphi\left(\boldsymbol{x}\right)=1/x\). את הגרדיאנט של \(\varphi\) נהוג לחשב רכיב רכיב בטכניקות הסטנדרטיות של החשבון הטנזורי במרחב אאוקלידי:
\begin{aligned}\partial_{i}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-1/2}&\,=\,-\frac{1}{2}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}\Big[\left(\partial_{i}x_{j}\right)x_{j}+x_{j}\left(\partial_{i}x_{j}\right)\Big]\\&\,=\,-\frac{1}{2}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}\left(2\delta_{ij}x_{j}\right)\,=\,-\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}x_{i}\end{aligned}
כך שבשפה וקטורית תקנית נקבל,
\[\nabla\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\]
אבל בחשבוננו זה 'החלקנו' בלי-משים את הסינגולריות שיושבת בראשית; פשוט התעלמנו מקיומה... האם זה באמת מוצדק והאם נוכל לשכלל את האליזה שלנו באופן שתכלול טיפול גם בסביבת הנקודה הסינגולרית? התשובה לכך היא חיובית, ואת זה נעשה עתה באמצעות הגדג'ט החביב על שם דיראק;

נקודת המוצא לטיפול שלנו היא חישוב האינטגרל הנפחי של הדיברגנס של הפונקציה הוקטורית \(\boldsymbol{\vartheta}\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}/x^{3}\), המתקבלת לכאורה מתוך הקשר \(\boldsymbol{\vartheta}=-\nabla\varphi\) כאמור לעיל. הבה נבצע את האינטגרציה בתחום הכדורי \(\left\{\Omega:x\leq{X}\right\}\), שמרכזו הנקודה \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\), באמצעות שימוש במשפט הדיברגנס (כאן \(\partial\Omega\) היא השפה של \(\Omega\), וכן \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\left(\mathrm{d}S\right)\widehat{\boldsymbol{x}}\) הוא אלמנט שטח וקטורי אינפיניטסימלי של \(\partial\Omega\)):
\begin{aligned}\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\right)\,\mathrm{d}V&\,=\,\oint_{\partial\Omega}\left.\frac{\boldsymbol{x}\cdot\widehat{\boldsymbol{x}}}{x^{3}}\right|_{x=X}\mathrm{d}S\,=\,\oint_{\partial\Omega}\frac{\mathrm{d}S}{X^{2}}\\&\,=\,\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\,\left(\text{הזווית המרחבית}\atop\partial\Omega\;\text{הנפרשת ע"י}\right)\,=\,4\pi\,.\end{aligned}
בחישוב זה הנחנו שאפשר להשתמש במשפט הדיברגנס למרות שהתחום עליו מתבצעת האינטגרציה מכיל נקודה סינגולרית (מה חוזקה ומה תוקפה של הנחה זו איני יודע, אבל היא נלקחת כמובן מאליו בכל חשבון שנתקלתי בו באלקטרומגנטיות כמו גם בתחומים רבים נוספים, ולכן אניח שהיא אמינה).  מצד שני נוכל לרשום \(4\pi=\int_{\Omega}4\pi\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}\). נשווה את האינטגראנדים של שתי האינטגרציות המרחביות ונקבל:
\[\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\right)\,=\,4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right).\]
זו באמת תוצאה מעניינת שנעשה בה שימוש נרחב בהמשך: "חזות" ההתבדרות שמתקבלת בראשית עבור \(\nabla\cdot\left(\boldsymbol{x}/x^{3}\right)\) ניתנת בדמותה של פונקציית דלתא של דיראק.

נבדוק עתה מה מתקבל מביצוע אותה אופרציה בשיטת החישוב הסטנדרטית תוך שאנו עוקבים אחר האיברים הפרובלמטים בגזירה ומסמנים אותם כך שקל יהיה לקבוע את ערכם בהמשך בדרך של השוואה:
\[\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\right)\,=\,\frac{\nabla\cdot\boldsymbol{x}}{x^{3}}+\boldsymbol{x}\cdot\nabla\left(\frac{1}{x^{3}}\right)\,=:\,\frac{3}{x^{3}}+\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{\psi}\left(\boldsymbol{x}\right)\]
ברי שהפונקציה הוקטורית החדשה שהצגנו באגף ימין \(\boldsymbol{\psi}\left(\boldsymbol{x}\right):=\nabla\left(1/x^{3}\right)\) מצביעה בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\) (שהרי \(\boldsymbol{x}\) הוא רדיוס וקטור) ולכן נוכל לרשום \(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{\psi}\left(\boldsymbol{x}\right)=x\psi\left(\boldsymbol{x}\right)\). נציג כל זאת באגף שמאל במשוואה מעלה במקום \(\nabla\cdot\left(\boldsymbol{x}/x^{3}\right)\) ונקבל
\[\frac{3}{x^{3}}+x\,\psi\left(\boldsymbol{x}\right)\,=\,4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\]
ומכאן, לאחר שבודדנו את \(\psi\left(\boldsymbol{x}\right)\),
\begin{aligned}\nabla\left(\frac{1}{x^{3}}\right)&\,=\,\left(\frac{4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)}{x}-\frac{3}{x^{4}}\right)\boldsymbol{\widehat{x}}\\&\,=\,\frac{4\pi\,\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)}{x^{2}}-\frac{3\,\boldsymbol{x}}{x^{5}}\end{aligned}

סוף כל סוף אנו נמצאים בפוזיציה שמאפשרת לחשב את הגרדיאנט של \(\varphi\left(\boldsymbol{x}\right)=1/x\) מבלי לפספס את הראשית... נעשה זאת באופן טריקי המאפשר לנו להתבסס על תוצאות שכבר קיבלנו:
\begin{aligned}\nabla\left(\frac{1}{x}\right)&\,=\,\nabla\left(\frac{x^{2}}{x^{3}}\right)\,=\,\frac{\nabla\left(x^{2}\right)}{x^{3}}+x^{2}\nabla\left(\frac{1}{x^{3}}\right)\\&\,=\,\frac{2\boldsymbol{x}}{x^{3}}+x^{2}\left(\frac{4\pi\,\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)}{x^{2}}-\frac{3\,\boldsymbol{x}}{x^{5}}\right);\end{aligned}
נצמצם, נכנס איברים דומים, ונקבל לבסוף:
\[\nabla\left(\frac{1}{x}\right)\,=\,-\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}+4\pi\,\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\]

תוצאה זו נותנת איזשהו מענה לפרובלמטיות של תהליך הגזירה בסביבת הראשית והיא מתקנת את החישוב הנאיבי שביצענו קודם לכם. כצפוי, במרחב המנוקב \(\Omega-\left\{\boldsymbol{0}\right\}\) מתקבלת התוצאה המוכרת \(\nabla\left(1/x\right)=-\left(\boldsymbol{x}/x^{3}\right)\), שהרי \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)=0\) לכל \(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\).  שימו לב שהאינטגרל הקווי של \(\nabla\left(1/x\right)\) על מסלול סגור אכן מתאפס היות ופונקציית הדלתא מתאפסת על המסלול אלא אם הוא חוצה את הראשית (היכן שממילא הפונקציה המקורית סינגולרית). זאת ועוד, אפשר להתייחס לגודל \(\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\) כאל "סוג של אפס"; לכל הפחות, \(\int_{\Omega}\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}=0\) מעצם הגדרתה של פונקציית הדלתא.

ועדיין לא ענינו על השאלה מהו \(\nabla^{2}\left(1/x\right)\). ניקח דיוורגנס למשוואה ל-\(\nabla\left(1/x\right)\) ובהסתמך על התוצאות שקיבלנו עד כה נקבל:
\[\nabla^{2}\left(\frac{1}{x}\right)\,=\,-4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)+4\pi\,\nabla\cdot\left(\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\]
האיבר עם הדיברגנס המופיע באגף ימין אינו מצויין בספרות הסטנדרטית, ולא בכדי: שם נקודת המוצא היא ש- \(\nabla\left(1/x\right)=-\boldsymbol{x}/x^{3}\), וכפי שראינו היא מתעלמת מהצורך לתת מענה לשאלה מה קורה בסביבה המיידית של הנקודה הסינגולרית. יחד עם זאת, מסתבר שהתוספת אינה משנה את הפתרון המוכר של משוואת פואסון.

הבה נבדוק את הטענה; החתיכה הלא הומוגנית של הפתרון הפורמלי של משוואת פואסון ניתנת ע"
\begin{aligned}\phi\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\frac{1}{4\pi\epsilon}\int_{\Omega}\rho\left(\boldsymbol{r}',t\right)\varphi\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\end{aligned}
(התלות בזמן של הפיתרון נכנסת דרך התלות בזמן של צפיפות המטען ולמשוואה עצמה אין מה לומר על כך). הבה נבדוק את הפתרון:
\begin{aligned}\nabla^{2}\phi\left(\boldsymbol{r},t\right)&\,=\,\frac{1}{4\pi\epsilon}\int_{\Omega}\rho\left(\boldsymbol{r}',t\right)\nabla^{2}\varphi\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\\&\,=\,-\frac{\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)}{\epsilon}+\underbrace{\frac{1}{\epsilon}\oint_{\partial\Omega}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}'}_{\text{בהכרח מתאפס באינטגרציה על השפה}}.\end{aligned}
ובסופו של חשבון, \(\nabla^{2}\phi=-\rho/\epsilon\).

נסיים בעוד אפליקציה אחת חביבה. תהא \(\boldsymbol{\chi}\) פונקציה וקטורית כלשהי (חלקה) של המשתנה \(\boldsymbol{x}\). אזי, שימוש בזהות הוקטורית \(\nabla\cdot\left(\alpha\boldsymbol{\chi}\right)=\left(\nabla\alpha\right)\cdot\boldsymbol{\chi}+\alpha\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\chi}\right)\), באשר \(\alpha\) פונקציה סקלרית, מנפק את הפיתוח
\[\nabla\cdot\left(\boldsymbol{\chi}\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\,=\,\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\chi}\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)+\boldsymbol{\chi}\cdot\nabla\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\]
ניקח אינטגרציה מרחבית על שני אגפי המשוואה, נפעיל את משפט הדיברגנס על האגף השמאלי, אשר בסופו של דבר מתאפס היות והדלתא מתאפסת על השפה, ונקבל:
\[\int_{\Omega}\boldsymbol{\chi}\left(\boldsymbol{x}\right)\cdot\nabla\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}\,=\,-\left.\nabla\cdot\boldsymbol{\chi}\right|_{\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}\]
כלומר הגרדיאנט של פונקציית דלתא של דיראק הוא פונקציונאל לינארי וקטורי השולף את (מינוס) ערך הדיברגנס של פונקציה וקטורית כלשהי בנקודת ההצטברות.

**תודות לידידי יוסי קורדובה על הערותיו המועילות.


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה