יום שני, 14 במאי 2012

הארבעון האלקטרומגנטי


בשתי רשומות קדומות פיתחנו את ארבעת משוואות מקסוול מעקרונות-יסוד פיזיקליים: הזוג הראשון מייצג את הקשר בין השדות האלקטרומגנטיים למקורות המשרים אותם, והוא עולה מתוך שני עקרונות פיזיקליים טבעיים ופשוטים בתכלית; הזוג השני מבטא אילוץ על התורה שמקורו בהעדר מטענים מגנטיים. ולבסוף, הקשר בין שני הזוגות ניתן באמצעות קשרי המבנה של הואקום, הברקוד האלקטרומגנטי של המרחב-זמן היחסותי. ברשומה קצרה זו אציג את ארבעת השדות של התורה במבנה של ארבעון*...


כאמור, ארבעה שדות וקטוריים לוקחים חלק בניסוח התלת-מימדי האורתודוקסי של התורה האלקטרומגנטית:

  • שדה העירור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\), המכונה לעיתים שדה ההעתק.
  • שדה העירור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\), המכונה גם השדה המגנטי.
  • שדה העצמה החשמלית \(\boldsymbol{E}\), המכונה בפשטות שדה חשמלי.
  • שדה העצמה המגנטית \(\boldsymbol{B}\), המוכר כהשראה מגנטית.

קישרי הגומלין המתקיימים בין אלו הארבעה נכנסים לארבע קטגוריות נבדלות:

  • השדות \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו-\(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) מצייתים לזוג הראשון של משוואות מקסוול. 
  • השדות \(\boldsymbol{E}\) ו-\(\boldsymbol{B}\) קשורים זה בזה באמצעות הזוג השני של משוואות מקסוול.
  • השדה \(-\boldsymbol{B}\) דואלי לשדה \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\), והשדה \(\boldsymbol{E}\) דואלי לשדה  \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\). 
  • הואקום היחסותי משייך את \(\boldsymbol{B}\) ל- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) ואת \(\boldsymbol{E}\) ל-\(\boldsymbol{\mathcal{D}}\).

חלוקה זו מבטאת, בהתאמה, את ההיגדים הבאים:

  • הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתאר את הדינמיקה של שדות העירור הוקטוריים המושרים מן המקורות, כפי שהיא מוכתבת ע"י המקורות עצמם, היינו צפיפות המטען והזרם החשמליים. \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) הוא שדה העירור של צפיפות המטען החשמלי, ו-\(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) הוא שדה העירור של צפיפות הזרם החשמלי - המקור האחד והיחיד לכל התופעות המגנטיות באשר הן.
  • הזוג השני של משוואות מקסוול מתאר את האילוץ על התורה האלקטרומגנטית הנובע מהעובדה שאין בנמצא צפיפות מטען מגנטית. כאן השדה \(-\boldsymbol{B}\) הוא "המקבילה המגנטית" של השדה \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\), ואילו השדה \(\boldsymbol{E}\) הוא "המקבילה המגנטית" של השדה \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\). להיעדר קיומם של מטענים מגנטיים אגב, יש סיבה עמוקה שתידון כאן בעתיד.
  • בואקום, בהיעדר מקורות, הענף המגנטי הוא בבואה של הענף החשמלי ולהיפך. הטרנספורמציה המחליפה בניהם מכונה "טרנספורמצית דואליות", ואנו נוהגים לאמר ש- \(-\boldsymbol{B}\) דואלי ל-\(\boldsymbol{\mathcal{D}}\), ו-\(\boldsymbol{E}\) דואלי ל-\(\boldsymbol{\mathcal{H}}\). הסימטריה הדואלית מתבטלת בנוכחות מקורות היות ובמקרה זה מתבטלת הסימטריה בין הענף החשמלי לענף המגנטי.
  • ולבסוף, קשרי המבנה מערבבים בין הזוג הראשון והשני של משוואות מקסוול, ובהעדר מקורות מכתיבים באופן אינווריאנטי פתרונות גליים הנעים במהירות האור. יתר על כן, קשרים אלו עומדים בבסיס המבנה המטרי של המרחב-זמן, ובה בעת מעניקים מעמד אוניברסלי למהירות האור. אזי מתקבלת סימטריה לורנצית המאחדת באופן מושלם את התופעתיות החשמלית והתופעתיות המגנטית. 

הבה נתייחס למצב של היעדר מקורות. במקרה זה נוכל לארגן המרכיבים של התורה ואת קשרי הגומלין ביניהם בדיאגרמה ארבעונית באופן הבא:**




ברשומות הבאות שתעסוקנה בשדה האלקטרומגנטי אקפוץ כמה כיתות ואעבור לתיאור שבו האלקטרומגנטיות מושרית מסימטריה לוקלית בסיסית המעוגנת במכניקה הקוונטית. במסגרת זו אתאר את השדות האלקטרומגנטיים באמצעות תבניות דיפרנציאליות ואציג את עומקה הרעיוני ויופיה המבני של התורה. כפי שנראה, אני מקווה, התיאור הדיאגרמטי הארבעוני יספק ביטוי נאה להעמקה הקונספטואלית הזו.


*הארבעון, פירמידה משולשית בעלת ארבע פאות וארבעה קודקודים, מוכר יותר בשמותיו טטראדר או טטרהדרון הגזורים מהלטינית.
**ככל הידוע לי, הראשונים להציע את הדיאגרמה הטטראהדרית באלקטרודינמיקה היו פרדריך הל מהאוניברסיטה של קלן ויורי אובוקהוב מהאוניברסיטה של מוסקווה, והם עשו זאת בהקשר למיון השדות הנוטלים חלק בתורה האלקטרומגנטית; אתייחס למיון שלהם ברשומה עתידית.