יום רביעי, 18 באפריל 2012

משפט עבודה-אנרגיה יחסותי

כידוע, משפט עבודה-אנרגיה בפיזיקה הניוטונית מתקבל ישירות מתוך ההגדרות של מושג העבודה ומושג האנרגיה הקינטית, ובהתבסס על החוק השני של ניוטון, וכבר ראינו שאפשר גם לגזור את הרעיון הכללי ישירות מתוך הקינמטיקה. אנו נראה עתה כמה קל לפתח את הפורמט היחסותי שלו.

אבל לפני כן, הבה ניזכר באופן בו מתקבלת הגירסא הניוטונית: העבודה \(W\) שמבצע שקול הכוחות \(\boldsymbol{F}\) על חלקיק בעל מסה \(m\) (שאינה משתנה בזמן) לאורך המסלול \(C\) בין שתי נקודות הקצה \(\boldsymbol{r}_{i}\) ו-\(\boldsymbol{r}_{f}\) ניתנת ע"י :

\begin{aligned}W_{\boldsymbol{r}_{i}\rightarrow\boldsymbol{r}_{f}}&\;\stackrel{\text{def}}{=}\;\int_{C}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\:\stackrel{{\text{החוק}\atop\text{השני}}\atop\downarrow}{=}\:\int_{\boldsymbol{r}_{i}}^{\boldsymbol{r}_{f}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\:=\:\int_{\boldsymbol{p}_{i}}^{\boldsymbol{p}_{f}}\mathrm{d}\boldsymbol{p}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\\&\:=\:\frac{1}{m}\int_{\boldsymbol{p}_{i}}^{\boldsymbol{p}_{f}}\mathrm{d}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{p}\:=\:\frac{{p}_{f}^{2}}{2m}-\frac{{p}_{i}^{2}}{2m}\;\stackrel{\text{def}}{=}\;E_{kf}-E_{ki}\end{aligned}

כלומר, העבודה הכוללת שווה להפרש האנרגיות הקינטיות.

ואולם בפיזיקה היחסותית שוב אין החשבון הזה תקף מאחר ועתה \(\boldsymbol{p}\neq{m}\boldsymbol{v}\). תחת זאת התנע של החלקיק הוא המרכיב המרחבי של הארבע-וקטור \(P=\left(E/c,\boldsymbol{p}\right)\) כאשר \(\boldsymbol{p}:=\gamma{m}_{0}\boldsymbol{v}\). בביטוי זה \(m_{0}\) היא מסת המנוחה של החלקיק, ו-
\[\gamma\:=\:\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1-\left({v}/{c}\right)^{2}}}\]
הוא הפקטור היחסותי והוא כמובן תלוי במהירות החלקיק \(v\) (בכתיבה קצת יותר קפדנית היינו רושמים \(\gamma_{v}\)). מדוע וקטור התנע המרחבי בהכרח מוכפל עתה בפקטור \(\gamma\)? כמה מילות הסבר על כך בנספח הקצר שבסוף הרשומה.

הבה נתקן אם כן את החשבון בהתאם: הביטוי עבור העבודה נשאר כמובן כמות שהוא, ובפרט הקשר בין המרכיב המרחבי של הכוח למרכיב המרחבי של התנע ניתן ע"י \(\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}\); משוואה זו אמנם איננה אינווריאנטית תחת מעבר בין מערכות התמד, אבל אין זה רלוונטי לענייננו שהרי גם אנרגיה איננה מושג אינווריאנטי. לכן,

\begin{aligned}W_{\boldsymbol{\boldsymbol{r}_{i}}\rightarrow\boldsymbol{r}_{f}}&\:=\:\int_{\boldsymbol{r}_{i}}^{\boldsymbol{r}_{f}}\boldsymbol{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\:=\:\int_{\boldsymbol{r}_{i}}^{\boldsymbol{r}_{f}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\:=\:\int_{\boldsymbol{p}_{i}}^{\boldsymbol{p}_{f}}\mathrm{d}\boldsymbol{p}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\\&\:=\:\int_{\boldsymbol{p}_{i}}^{\boldsymbol{p}_{f}}\mathrm{d}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{v}\end{aligned}

מהו האינטגראנד שבאגף ימין? ובכן,

\[\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{p}\:=\:\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\left(\gamma{m_{0}}\boldsymbol{v}\right)\:=\:m_{0}\Big[v^{2}\left(\mathrm{d}\gamma\right)+\gamma\left(\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{v}\right)\Big]\]

נעבור עתה לאינטגרציה לפי המשתנה \(\gamma\). לשם כך נרשום את \(v^{2}\) כפונקציה של \(\gamma^{2}\), ואחר נוציא דיפרנציאל לשני האגפים:

\begin{aligned}\gamma^{2}\:=\:\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\quad&\Rightarrow\quad{v}^{2}\:=\:c^{2}-\frac{c^{2}}{\gamma^{2}}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{v}\:=\:\frac{c^{2}}{\gamma^{3}}\mathrm{d}\gamma\end{aligned}

נציב עתה את הביטויים המתאימים בדיפרנציאל עבור העבודה ונקבל:

\begin{aligned}W_{\boldsymbol{r}_{i}\rightarrow\boldsymbol{r}_{f}}&\:=\:\int_{\boldsymbol{p}_{i}}^{\boldsymbol{p}_{f}}\mathrm{d}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{v}\:=\:m_{0}\int_{\gamma_{i}}^{\gamma_{f}}\left[\left(c^{2}-\frac{c^{2}}{\gamma^{2}}\right)\mathrm{d}\gamma+\frac{c^{2}}{\gamma^{2}}\mathrm{d}\gamma\right]\\&\:=\:m_{0}\int_{\gamma_{i}}^{\gamma_{f}}c^{2}\mathrm{d}\gamma\:=\:m_{f}c^{2}-m_{i}c^{2}\end{aligned}

באשר \(\gamma_{i}=\gamma\left(\boldsymbol{v}_{i}\right)\), \(\gamma_{f}=\gamma\left(\boldsymbol{v}_{f}\right)\) ואז המשתנים \(m_{i}\equiv\gamma_{i}m_{0}\) ו- \(m_{f}\equiv\gamma_{f}m_{0}\) מתארים את "המסה היחסותית" של החלקיק במקומות \(\boldsymbol{r}_{i}\) ו-\(\boldsymbol{r}_{f}\) בהתאמה. שימו לב שהתוצאה שהתקבלה איננה תלויה בסוג הכוח שביצע את העבודה וגם לא באופן שבו הכוח הזה תלוי או לא תלוי בזמן. עוד יש להדגיש שהמסה היחסותית היא רק ביטוי פנומנולוגי; בפועל רק למסת המנוחה משמעות פיזיקלית (ראו נספח).

קל לראות שהגירסא היחסותית של המשפט מתלכדת עם הגירסא הניוטונית בגבול של מהירויות נמוכות. הנה: נפתח את \(\gamma\) בטור חזקות של \(\beta\equiv{v}/c\) ונקבל \(\gamma\approx1+\beta^{2}/2\) (שהרי בגבול הניוטוני \(\beta\) קטן מאוד, וסדר ראשון בפיתוח ממילא מתאפס). שיבוץ חוזר במשפט ייתן עתה:

\begin{aligned}W_{\boldsymbol{\boldsymbol{r}_{i}}\rightarrow\boldsymbol{r}_{f}}&\:=\:m_{0}c^{2}\left(\gamma_{f}-\gamma_{i}\right)\:\approx\:\frac{1}{2}\beta_{f}^{2}\,m_{0}c^{2}-\frac{1}{2}\beta_{i}^{2}\,m_{0}c^{2}\\&\:=\:\frac{1}{2}m_{0}v_{f}^{2}-\frac{1}{2}m_{0}v_{i}^{2}\end{aligned}

בדיוק כפי שהיינו מצפים. הבה נסכם:

  • בפיזיקה הניוטונית,  \(W=E_{kf}-E_{ki}=\Delta{E_{k}}\)
  • בפיזיקה היחסותית,  \(W=m_{f}c^{2}-m_{i}c^{2}=\Delta{m}c^{2}\).

מכאן אנו למדים שאנרגיה קינטית היא "חיה" ניוטונית (אולי נכון יותר לומר גלילאנית). במסגרת היחסות הפרטית אין לה עוד קיום משל עצמה, והיא 'נבלעת' בביטוי היחסותי \(E=m_{\gamma}c^{2}\).


נספח קצר על ארבע-וקטורים קינמטיים: יהא \(X(\tau)=\left(ct(\tau),x^{i}(\tau)\right)\) קו העולם של צופה המודד על שעונו זמן עצמי \(\tau\), כך ש-\(x^{i}(\tau)\) הם קורדינטות המקום של הצופה במערכת התמד כלשהי \(\mathcal{O}\) כתלות בזמן העצמי. במקרה זה התרחבות הזמן של הצופה כפי שהיא נצפית במערכת \(\mathcal{O}\) מקיימת את הקשר \(\mathrm{d}t=\gamma_{v}\mathrm{d}\tau\) באשר \(\gamma_{v}\) הוא פקטור גאמה של הצופה שרכיבי מהירותו המרחבית הם \(v^{i}=\dot{x}^{i}\), וכאן נקודה מציינת גזירה לפי המשתנה \(t\) היינו, לפי הקואורדינטה הזמנית ב-\(\mathcal{O}\).

ארבע-וקטור המהירות של הצופה שלנו מוגדר דרך

\begin{aligned}V\::=\:\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\tau}\:=\:\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}=\gamma_{v}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}\:=\:\gamma_{v}\left(c,v^{i}\right)\end{aligned}

ריבוע הנורמה של ארבע-וקטור זה הוא אינווריאנט תחת מעבר בין מערכות התמד. הנה: תהא \(\eta\) המטריקה במרחב מינקובסקי, כך שהמטריצה המטרית המשמשת במכפלות סקלריות במרחב זה ניתנת ע"י \([\eta]=\text{diag}(+1,-1,-1,-1)\). אזי, חשבון פשוט נותן מיד \(\eta\left(V,V\right)=V^{T}\eta{V}=\gamma_{v}^{2}c^{2}\left(1-\beta_{v}^{2}\right)=c^{2}\).

מטבע הדברים, ארבע-וקטור התנע מוגדר ע"י
\[P\:=\:m_{0}V\:=\:m_{0}\gamma_{v}\left(c,v^{i}\right)\]
נוכל לרשום זאת גם כך: \(P=\left(m_{\gamma}c,m_{\gamma}v^{i}\right)=\left(m_{\gamma}c,p^{i}\right)\) באשר \(p^{i}=m_{\gamma}v^{i}\) הם רכיבי התנע המרחבי של הצופה כפי שהם נמדדים במערכת ההתמד \(\mathcal{O}\), ואז \(m_{\gamma}=\gamma_{v}m_{0}\) תהא "המסה היחסותית" שלו. בפועל רק למסת המנוחה משמעות פיזיקלית היות והיא אינווריאנט. מִנַּיִן הטענה? משפט עבודה-אנרגיה היחסותי שפיתחנו למעלה מצביע על כך שהאנרגיה היחסותית (המחליפה כאמור את מושג האנרגיה הקינטית של התורה הניוטונית) ניתנת בביטוי \(E=m_{\gamma}c^{2}\) וזה מאפשר לנו לרשום את הרכיב דמוי הזמן של הארבע-תנע כ- \(p^{0}=E/c\). הנורמה של ארבע-וקטור התנע במרחב מינקובסקי גם היא כמובן אינווריאנט,

\begin{aligned}m_{0}^{2}c^{2}\:=\:\eta\left(m_{0}V,m_{0}V\right)\:=\:\eta\left(P,P\right)\:=\:\frac{E^{2}}{c^{2}}-p^{2}\end{aligned}  
ומכאן מתקבלת המשוואה המפורסמת  \(E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}\). ובפרט, עבור חלקיקים חסרי מסת-מנוחה דוגמת פוטונים (אותם בשום פנים ואופן לא נוכל לכנות בתואר "צופים"!) מתקבל הקשר \(E=pc\).


תגובה 1: