יום שישי, 9 במרץ 2012

...ואף מילה על רנורמליזציה


רשומה זו עוסקת בסכימה של טורים מתבדרים, מה שעלול לעורר אצל קורא פדנט בוקה ומבוקה ומבולקה ולב נמס ופיק ברכיים וחלחלה בכל-מתניים (ספר נחום פרק ב' פסוק י"א); ואף על פי כן, שווה קריאה...

מהו לדעתכם סכומו של הטור האינסופי \(1+10+100+1000+\cdots\)? ובכן, ברור ומוסכם על כל בר דעת שהטור מתבדר. ומה כבר יכול להיות? והרי האיברים הולכים וגדלים, כל אחד גדול פי עשרה מקודמו... הבה נראה:

נרשום \(S=1+10+100+1000+\cdots\) ונקבל:
\begin{aligned}S&\,=\,1+10+100+1000+\cdots\\&\,=\,1+10\times\left(1+10+100+\cdots\right)\\&\,=\,1+10S\end{aligned}
קיבלנו משוואה פשוטה ב-\(S\), היינו \(S=1+10S\), ולה שני פתרונות אפשריים: האחד, המובן מאליו, \(S\) הוא טור מתבדר כך שהמשוואה מבטאת את הזהות המעורפלת \(\infty=\infty\), ואילו השני... ובכן הפיתרון השני הוא  \(S=-1/9\). לא פחות ולא יותר...

קל להיווכח ששימוש חוזר בחוק הפילוג מוביל לאותה תוצאה בדיוק. כך למשל, שתי איטרציות תנפקנה את המשוואה \(S=1+10\times(1+10S)\) עם אותו שורש בדיוק: \(S=-1/9\). מה לא בסדר בפתרון השני שלנו? ובכן, הרהבנו עוז והשתמשנו בחוק הפילוג עבור טור אינסופי היכן שלכאורה אין לכך כל הצדקה, היות ומשמעותו של החוק לגבי סכום אינסופי של איברים כלל איננה ברורה.

שימוש לא זהיר בחוקים האריתמטיים עלול להוביל לכמעט כל תוצאה שנחפוץ ואף לסתירות ברורות. הנה דוגמא מוכרת מאוד לכך:
\begin{aligned}0&\,=\,0+0+0+\cdots\\&\,=\,\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\cdots\\&\,=\,1+\left(-1+1\right)+\left(-1+1\right)+\left(-1+1\right)+\cdots\\&\,=\,1+0+0+0+\cdots\\&\,=\,1\,.\end{aligned}
כמובן שעם אבסורדים מהסוג הזה לא נוכל להשלים. מקורו של האבסורד שקיבלנו הוא שימוש אסור בחוק האסוציאטיבי במקרה שמדובר בטורים שאינם מתכנסים בהחלט ובאמת, הטור שאת סדר סכימתו שינינו אינו מתכנס בהחלט (מן הסתם, הטור מתבדר).

אבל האם גם הטענה ש- \(1+10+100+1000+\cdots=-1/9\) היא סוג של אבסורד? ובכן, ככל הנראה, וככל שידיעתי מגעת, התשובה היא *לא*, בהחלט לא, ועל כך נסובה רשומה זו.

נתבונן בפונקציה \(f(x)=1/(1-x)\). הפיתוח לטור חזקות של פונקציה זו סביב הנקודה \(x_{0}=0\) ניתן ע"י:
\begin{aligned}\frac{1}{1-x}&\,=\,1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\\&\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\end{aligned}
במקרה זה רדיוס ההתכנסות של טור החזקות שבאגף ימין הוא \(x<1\) ומשמעות הדבר היא שרק עבור נקודות בתוך רדיוס ההתכנסות מתלכד ערך הטור מימין עם ערך הפונקציה משמאל. ואולם ברצוננו, נוכל להציג בטור החזקות ערך כלשהו הנמצא מחוץ לרדיוס ההתכנסות, \(x=10\) למשל, ואז לשייך לטור מספר מיוחד באמצעות הצבה של אותו ערך בפונקציה המופיעה באגף שמאל. מספר זה יכונה מעתה סכום-E של הטור (על שם אוילר, אם אינני טועה), והפונקציה ממנה התקבל הטור תכונה הפונקציה היוצרת. וכך, עבור הבחירה \(x=10\) נקבל את התוצאה  \(1+10+100+\cdots=-1/9\).

שימו לב שלא מדובר בשוויון במובן המקובל, כמו למשל במשוואה \(a=b\). נוכל לכנות את השוויון החדש בשם "שוויון-E" אבל אנו נמנע מלציין זאת במפורש והדבר יובן מתוך הקונטקסט. האם יש איזשהו ערך לשוויון הזה? בהמשך אטען שלטבע יש לשאלה זו תשובה נחרצת משלו... שימו לב שעבור הערך המיוחד \(x=1\) לא נוכל לשייך לטור המתקבל סכום-E כלשהו כיוון ש- \(x=1\) הוא הקוטב של הפונקציה היוצרת; לכן הטור \(1+1+1+\cdots\) אינו ניתן לסכימה בסכמה המוצעת.

באופן כללי, דבר לא מונע מאיתנו לשייך לטור כלשהו מספר ספציפי באמצעות חוק מוכתב, ובלבד שנהיה עיקביים לכל אורך הדרך. אבל מדוע דווקא החוק הנ"ל? מדוע להשתמש בפונקציה היוצרת? פשוט משום שיש בזה "הגיון" מסוים: אם נתעקש לדבוק בחוק הפילוג גם במקרה של טורים מתבדרים כפי שעשינו בחשבון הפותח רשומה זו, תנפיק המשוואה המתקבלת (דהיינו \(S=1+xS\)  עבור \(x\) כלשהו) את הפתרון \(S=1/(1-x)\) המתלכד בצורתו עם הפונקציה היוצרת.

מובן שהמשוואה הזו תקפה גם בתוך רדיוס ההתכנסות של הטור שהרי בתחום זה היא מתלכדת ממש עם נוסחת הפיתוח לטור. כך למשל, אם נציב בה את הערך \(x=1/2\) נקבל \(S=2\), שוויון במובן המקובל של המילה (ולא שוויון-E). תוצאה זו מוכרת לנו מפתרון הפרדוקס העתיק מבית מדרשו של זנון: \(1+1/2+1/4+1/8+\cdots=2\).

האם ניתן להשית כללים אקסיומתיים כלשהם על סכימת-E? ובכן, אפשר לנסות, ולקוות שכוונותינו הטובות לא תולכנה אותנו בדרכי תוהו. הבה נניח אם כן את הכללים הבאים:

יהא \(S\)  סכום-E של הטור \(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots\). אז:

  1. \(\alpha{S}=\alpha(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots)=\alpha{a}_{0}+\alpha{a}_{1}+\alpha{a}_{2}+\cdots\)
  2. \(S-a_{0}=a_{1}+a_{2}+\cdots\)
  3. אם \(S_{1}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots\) וכן \(S_{2}=b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots\) אז \(S_{1}+S_{2}=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots\).

שימו לב:

החוק האסוציאטיבי והחוק הקומוטטיבי במובנם הרחב, המאפשרים לנו לסכם איברים בכל סדר שנרצה, אינם מופיעים ברשימה הזו, ולא בכדי. למעשה אין לנו כל חופש לבחור סדר סכימה למעט חריגה קטנה ומוגבלת בדמותה של האקסיומה השלישית. ובפרט: \(a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2}+\cdots\neq(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots\) למעט המקרה הטריוויאלי בו האברים \({b}\) הם כולם אפסים.

יוצא איפה שאנו מחוייבים תמיד להתיחס לטור המתבדר בכללותו, כמקשה אחת, עד כדי החופש שמאפשרות שלושת האקסיומות. עלינו לראות בטור המתבדר אוביקט מתמטי לכל דבר המקבל ערך מספרי בהתאם לכללים מוגדרים היטב, כל עוד ניתן להכילם עליו, ואז אולי זה כבר לא יראה מוזר כל כך, למשל, שסכום החזקות השלמות של עשר 'מסתכם' למינוס תשיעית.

לדוגמא: ניישם את האקסיומה השנייה על הטור \(S=1-1+1-1+\cdots\) ונקבל את המשוואה \(S=1-S\) שפתרונה \(S=1/2\). (יש בזה "הגיון" מסויים: הטור מתנדנד בין אפס לאחת והממוצע הוא \(1/2\)). שימו לב שזהו גם סכום-E של הטור הגאומטרי עבור ההצבה \(x=-1\). מאידך גיסא, אם ננסה ליישם את אותה אקסיומה בדיוק על הטור המתבדר \(S=1+1+1+\cdots\) נקבל את פסוק השקר \(-1=0\) (או \(\infty=\infty\)) וזה לגמרי לא מפתיע משום ש- \(x=1\) הוא קוטב של הפונקציה היוצרת.

מה עושים במקרה כזה? אחד מהשניים: או שמוצאים דרך עוקפת ומשתדלים לא לעשות שטויות (דוגמא לדרך עוקפת כזו בהמשך), או ש-... בודקים האם ניתן לגייס לטובתנו את פונקציית זטא של רימן, \(\zeta(s)\).


\(\Big]\)במאמר מסוגר שאינו הכרחי להבנת ההמשך (אבל יש בו לתת בידי קורא עם רקע קודם בפונקציות מרוכבות קצת יותר כלים חישוביים): יהא \(s\) מספר מרוכב כלשהו, ותהא \(\zeta^{\star}(s)\) פונקציה המוגדרת באמצעות הטור
\[\zeta^{\star}\left(s\right)\,=\,\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}.\]
אפשר להוכיח שהטור מימין מתכנס רק לכל \(s\) המקיים \(\text{Re}(s)>1\). פונקצית זטא של רימן \(\zeta(s)\) היא ההמשכה האנליטית של טור זה, הולומורפית בכל המישור המרוכב למעט קוטב פשוט אחד בנקודה \(s=1\), היכן שהיא מנפקת את הטור ההרמוני \(1+1/2+1/3+1/4+\cdots\) (המתבדר כמובן). ומכיוון שמדובר בהמשכה אנליטית, אז בהכרח \(\zeta(s)\equiv\zeta^{\star}(s)\;\forall\;\text{Re}(s)>1\). נוסחאות החישוב עבור \(\zeta(2n)\) ו-\(\zeta(-n)\), באשר \(n\) מספר טבעי, ניתנות ע"י:
\[\zeta\left(-n\right)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}\,,\quad\zeta\left(2n\right)=\left(-1\right)^{n+1}\frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}\,.\]
בנוסחאות אלו \(B_{n}\) מייצג את מספר ברנולי ה-\(n\)-י והוא ניתן לחישוב באמצעות הנוסחא הרקורסיבית
\[B_{n}\,=\,-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_{k}\]
וכן \(B_{0}=1\). ובפרט \(\zeta(-2n)=0\) לכל \(n\geq1\) היות ו- \(B_{2n+1}=0\) לכל \(n\geq1\). עוד על פונקצית זטא של רימן, ועל הקשר המעניין שלה למספרי ברנולי, תוכלו לקרוא בפוסט מפורט פרי עטו של גדי אלכסנדרוביץ שפורסם ממש לפני כמה ימים בבלוג המתמטי "לא מדויק".\(\Big[\)

והיה והאפשרות השניה פתוחה בפנינו נוכל להציב את הקוטב הסורר של הפונקציה היוצרת בפונקצית זטא של רימן ולסכום... כך למשל נקבל עבור טור האחדות החיוביות האינסופי (אותו נכשלנו לסכמו-E קודם לכן):  \(1+1+1+\cdots=\zeta(0)=-1/2\). במילים אחרות, 'אינסוף האחדים' מסתכמים באיזשהו אופן למינוס חצי. נכנה את התוצאה המתקבלת סכום-R של הטור (R על שם רימן).

שאלה: בהנחה שניתן לסכם טור מתבדר כלשהו בשתי הסכמות, האם סכום-R שלו בהכרח מתלכד עם סכום-E שלו? ובכן, לא מצאתי בשום מקום הוכחה לכך אבל בהמשך אביא דוגמא חשובה אחת בה שתי הסכמות אכן מתלכדות לתת את אותה התוצאה בדיוק.

זהירות: נתונים שני טורים מתבדרים: האחד מסתכם רק בסכמה אחת, והשני מסתכם רק בסכמה השנייה. במקרה זה לא נוכל לשבצם בחשבון משותף. הנה דוגמא: ראינו שעבור טור האחדות המתחלף \(1-1+1-1+\cdots\stackrel{E}{=}1/2\), בעוד שעבור טור האחדות החיוביות, \(1+1+1+1+\cdots\stackrel{R}{=}-1/2\). ובכן, כל אחד משני הטורים הללו מסתכם אך ורק בסכמה אחת, ובשונה מהסכמה בה מסתכם השני. הבה נערוך חשבון אסור:
\begin{aligned}0&\,=\,\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)+\left(1+1+1+1+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1+1\right)+\left(-1+1\right)+\left(1+1\right)+\left(-1+1\right)+\cdots\\&\,=\,2+0+2+0+\cdots\\&\,=\,\left(2+2+2+\cdots\right)+\left(0+0+0+\cdots\right)\\&\,=\,2\times\left(1+1+1+\cdots\right)\\&\,=\,-1\,,\end{aligned}
וכצפוי קיבלנו אבסורד.

ועתה אעבור לטור המיוחד שעורר את המוטיבציה לכתוב את הרשומה הזו: מהו סכום-E של כל המספרים הטבעיים מאחד ועד אינסוף? אם נגזור לפי \(x\) את הפיתוח לטור חזקות של הפונקציה היוצרת של הטור הגאומטרי נקבל
\begin{aligned}\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}}&\,=\,1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots\\&\,=\,\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}.\end{aligned}
הציבו עתה \(x=1\) בטור החזקות שבאגף ימין וקבלו את הטור המבוקש. הבה נסמן אותו באות  \(N\). אלא ש- \(x=1\) הוא קוטב של הפונקציה היוצרת המופיעה באגף שמאל, ואנו מוצאים עצמנו שוב בבעיה בבואנו לסכם-E את  \(N\).

כמובן, פתוחה בפנינו הדרך לקבל את סכום-R של הטור:
\[1+2+3+4+\cdots\,=\,\zeta\left(-1\right)\,=\,-\frac{1}{12}\]
(תוכלו לחשב את \(\zeta(-1)=-B_{2}/2\) באמצעות הנוסחא עבור מספרי ברנולי במאמר המסוגר מלמעלה). אבל לא בסכום-R חפצנו אלא בסכום-E. נוכל לעקוף את הבעיה באמצעות שני תימרונים קלים... ראשית, נציג שני הטורים:
\begin{aligned}S&\,=\,1-1+1-1+\cdots\\T&\,=\,1-2+3-4+\cdots\end{aligned}
הטור הראשון מוכר לנו וכבר ראינו שהוא מסתכם-E ל-\(1/2\). את הטור השני נחשב בשתי דרכים. נסתייע באקסיומות הראשונה והשלישית ונקבל:
\begin{aligned}S-T&\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)-\left(1-2+3-4+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)+\left(-1\right)\times\left(1-2+3-4+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-1+1-1+\cdots\right)+\left(-1+2-3+4-\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-1\right)+\left(-1+2\right)+\left(1-3\right)+\left(-1+4\right)+\cdots\\&\,=\,0+1-2+3-4+\cdots\\&\,=\,T\,.\end{aligned}
קיבלנו אם כן את המשוואה \(S-T=T\) שפתרונה \(T=S/2=1/4\). מן הסתם, פיתרון זה עבור \(T\) מתקבל מיד גם מהצבת הערך \(x=-1\) בפונקציה היוצרת של הטור, \(f(x)=1/(1-x)^{2}\). עתה נוכל לגשת ולסכום-E את  \(N\):
\begin{aligned}T-N&\,=\,\left(1-2+3-4+5-\cdots\right)+\left(-1\right)\times\left(1+2+3+4+5+\cdots\right)\\&\,=\,\left(1-2+3-4+5-\cdots\right)+\left(-1-2-3-4-5-\cdots\right)\\&\,=\,\left(0-4+0-8+0-12+\cdots\right)\\&\,=\,-4\times\left(1+2+3+4+\cdots\right)\\&\,=\,-4N,\end{aligned}
כלומר  \(T=-3N\), או
\[N\,=\,-\frac{1}{3}\times{T}\,=\,-\left(\frac{1}{3}\right)\times\left(\frac{1}{4}\right)\,=\,-\frac{1}{12}\,.\]
קיבלנו איפה שטור המספרים הטבעיים מסתכם-E למינוס אחד חלקי שתיים עשרה, תוצאה המתלכדת עם סכום-R של הטור.

לשם מה כל התימרונים האלו שהצגנו כאן? האם יש לזה משמעות כלשהי? האם לא כדאי להניח לטורים המתבדרים פשוט... להתבדר? למה כל זה טוב?

תורת השדות הקוונטים ברוכה בטורים אינסופיים מתבדרים, ובפרט בסכום המספרים הטבעיים מאחד ועד אינסוף. לכשמופיעים טורים מתבדרים, הנטייה הראשונית, המובנת והטבעית, היא לזנוח את החשבון בתואנה שהתאוריה חולה והחישובים חסרי משמעות. כמובן שאם במקום הטורים המתבדרים נחליט מאיזושהי סיבה תמוהה לשתול בחישובים את סכומי-E או סכומי-R שלהם נקבל תוצאות סופיות. מה שמדהים הוא שכאשר עושים זאת עבור מודלים ריאלים, מקבלים תוצאות המתלכדות עם הערכים הנמדדים בניסוי עד כדי דיוק בלתי נתפס המגיע ל-14 ספרות אחרי הנקודה. הספרות הבאות בתור נכללות כבר בתחום השגיאה של הניסוי...

QED היא ככל הנראה התורה המדויקת ביותר שעלה בידי הפיזיקאים לנסח, וגם היא משופעת בטורים מתבדרים אותם מחליפים בסכומי-E/R מתאימים על מנת לקבל תוצאות בעלות משמעות. אני מוצא את העובדה שזה עובד מפליאה באמת. יתכן שיש איזושהי סיבה נסתרת מאוד מובנת ומאוד הגיונית לכל ההוקוס-פוקוס הזה, הגם שהיא טרם נמצאה. ויתכן וזוהי פשוט דרכו של הטבע לטפל בהתבדרויות; כלומר במציאות החומרית האובייקטיבית, בעולם החולף הנתון למרותם של חוקי הטבע, כל חשבון המכיל התבדרויות בהכרח מסתכם לכדי מספר סופי וסגור באמצעות סכימה מתאימה. אם כך, האם יתכן שהאינסוף האריתמטי החמקמק כל כך הוא בסופו של דבר רק רוח רפאים שמקורה במגבלות הכרתנו?


לא רואים תגובות? נערו את הדף.




21 תגובות:

  1. באמת שניסיתי להבין... :)

    השבמחק
  2. מאד מעניין!
    הייתי שמח לקרוא פוסט כעת על תהליך הרנורמליזציה עצמו ולראות את הקסם הזה בפעולה!

    השבמחק
    תשובות
    1. הו... זה באמת נושא כבד לבלוג, אבל אני אשתדל להגיע אליו (בלי נדר :))

      מחק
    2. אם הבנתי נכון את האקסיומות של סכומי E, נראה לי שהן מביאות לסתירה.

      מחק
  3. 1+1+1+1+...=
    1+2+3+4+5
    -
    0+1+2+3+4
    =0

    השבמחק
    תשובות
    1. עוד בעייה: איך מסיקים ש
      0-4+0-8+0-12+0...
      =
      -4-8-12...

      אין באקסיומות שום דבר שאומר שאפשר לבטל ככה סתם אפסים

      מחק
    2. את טור האפסים האינסופי הגדרתי במובלע להשתוות לאפס:
      0=0+0+0+0+...
      לכן מהאקסיומה השלישית
      0+0+0+...+(-4-8-12...) =(0-4)+(0-8)+(0-12)=-4-8-12-...
      כך שזה נראה בסדר.

      ומה בנוגע לסתירה לכאורה שציינת למעלה?
      טור האחדות החיובי אינו יכול להסתכם בסכימת E היות והוא קוטב של הפונקציה היוצרת. הוא מסתכם אך ורק בסכימת R. כפי שציינתי ברשימה (עם דוגמא קונקרטית) נסיונות לסכום בחשבון אחד שני טורים המסתכמים בסכימות שונות (כל אחד רק בסכימה אחת, השונה מזו שבה מסתכם הטור השני) בהכרח מוביל לסתירות, ראה למעלה החשבון המוביל לאבסורד 1-=0. זאת הסיבה לסתירה לכאורה שקיבלת, אבל כאמור מקורה בחשבון לא כשר.

      מחק
    3. אני מסכים ש-
      0+0+0+...+(-4-8-12...) =(0-4)+(0-8)+(0-12)=-4-8-12
      אבל למה שאחד מאלה יהיה שווה ל
      0-4+0-8+0-12+0...

      מחק
    4. אני מצטט מתוך הטקסט:

      "החוק האסוציאטיבי והחוק הקומוטטיבי במובנם הרחב, המאפשרים לנו לסכם איברים בכל סדר שנרצה, אינם מופיעיםברשימה הזו, ולא בכדי. למעשה אין לנו כל חופש לבחור סדר סכימה למעט חריגה קטנה ומוגבלת בדמותה של האקסיומה השלישית. ובפרט: a1+b1+a2+b2+⋯≠(a1+b1)+(a2+b2)+⋯ למעט המקרה הטריוויאלי בו האברים b הם כולם אפסים."

      נדמה לי שזו ההקלה היחידה שלא מובילה לאבסורדים.

      מחק
    5. עוד משפט או שניים: שלושת האקסיומת מלמעלה מגדירות את הטיפול בסכומי-E ואין לצפות א-פריורי שהן תהינה עקביות עם סכומי-R. לא הייתי מעז לערבב את שתי שיטות הסכימה בשום דרך שהיא, ואף יש באמתחתי דוגמא או שתיים לאבסורדים שמקורם בעירוב כזה.

      מחק
    6. האקסיומות של סכימת E אכן מובילות לסתירה. כשמחסרים מסכום הטבעיים את סכום הטבעיים שבתחילתם 0, ששווה לו עפ"י האקסיומה השנייה, מקבלים שהטור שכולו 1 שווה ל-0 (החיסור מותר לפי האקסיומה השלישית ואם אתה ממש מתעקש אז גם הראשונה), אבל אם מחסרים מהטור הזה את עצמו כשבהתחלה 0 מקבלים את הטור 1 ואחריו אינסוף אפסים, שלפי האקסיומה השנייה שווה ל-1, אבל 0-0=0 ולכן נובע מהאקסיומות של שכימת E ש-1=0, כלומר, סתירה.

      מחק
    7. דוגמא יפה, אבל...

      בגוף הפוסט רשמתי במפורש שאת טור האחדים לא ניתן לסכם בסכמת -E היות והוא קוטב של הפונקציה היוצרת. ובכל זאת, מה עושים איתו כשהוא מתקבל מתוך החשבון כמו בדוגמא שלך? שאלה שאיני יודע לענות עליה תשובה חד מדמעית אבל הנה משהו שעלה בדעתי: טור שהוא קוטב של פונקציה יוצרת אינו טור "תקני" בסכמת-E (כלומר אינו מסתכם-E) כפי ש-1/0 אינו מספר תקני ואין לעשות בו שימוש באריתמטיקה. זה משית מגבלות על השימוש באקסיומה השנייה: לכאורה - ובהתאם לאקסיומה - תוכל להוסיף מספר כלשהו לטור ואז תקבל טור חדש שהוא מתבדר אבל גם מסתכם-E. זה נראה לי בלתי מתקבל על הדעת ובאמת לטור החדש שהתקבל אין בכלל פונקציה יוצרת.

      התרשמותי השטחית היא ש- "הוספת אפס" לטור אינה פעולה חוקית במסגרת "חשבונות-E" אם הפונקציה היוצרת אינה מייצרת במפורש את האיבר הזה (למשל, כסדר האפס ל"פיתוח" בטור החזקות). בוא נכנה טור מתבדר מסתכם בסכמת-E בשם "ישות-E". אזי אקסיומה נוספת תהיה

      "ישות-E קיימת רק אם את כל איבריה כולם מייצרת פונקציה יוצרת".

      אם נוסיף את האקסיומה הזו אז אין לנו את החופש להוסיף אפס ולהחסיר אפס כאוות נפשנו, ואמור זה משית מגבלה על השימוש (או טווח התקפות) של האקסיומה השנייה במניין השלוש שלמעלה. אני יודע שזה נשמע מוזר "שאי-אפשר להוסיף אפס" אבל גם לסכם טור מתבדר זה די מוזר...

      מחק
    8. למרות ההתחמקות שניפקתי למעלה ברור שאני מגשש פה באפלה לפחות כמו כל אלו שהגו את הרעיונות הללו מלכתחילה. בהחלט יתכן שאתה או כל אחד אחר יוכל להוכיח שאי אפשר לבנות מערכת אקסיומטית עקבית לסכימת E. ולהבדיל, נדמה לי שסכמת-R מבוססת למדי והיא תעמוד בפני כל המתקפות. אחרי ככלות הכל היא משמשת לביצוע חישובים רבים המשמשים בחיזוי תופעות פיזיקליות והתחזיות נמצאו תואמות את המציאות בכל רמת דיוק אפשרית.

      מחק
    9. מה זאת אומרת "מייצרת פונקציה יוצרת"? האם לא צריך פשוט להכפיל את הפונקציה היוצרת ב-x כדי להוסיף 0 בהתחלה?

      מחק
    10. כוונתי היא שהאיברים בטור מגיעים מהפיתוח הסטנדרטי לטור חזקות. הבה ניקח לדוגמא את הטור ההנדסי ונכפיל אותו ב-x. נקבל שאיקס חלקי אחד מינוס איקס שווה לאיקס ועוד איקס בריבוע ועוד... נציב עתה x=10 (כמו בדוגמא בראש הרשימה) ונקבל
      10/9-=...+10+100+1000. אם אוסיף לשני האגפים 5 (למשל) אקבל באגף שמאל טור שאינו מתקבל מפונקציה יוצרת. על כן הפעולה (להבנתי) אינה מכבדת את כללי סכימת E וממילא תוביל לאבסורדים ולכן אינה "חוקית".
      טור מתבדר המסתכם בסכמת-E הוא ישות בפני עצמה (מה שכיניתי בתגובה קודמת "ישות-E") וזהותה נקבעת לפי המבנה המפורש שלו: מי נמצא במקום הראשון, מי בשני וכך הלאה. אין חופש לסדר את האיברים מחדש ובפרט, אין חופש לשנות את המספר הסידורי של האיברים, כלומר את הכתובת שלהם בטור. כל איבר ואיבר ב"ישות-E" התקבל מחזקה כלשהי של המשתנה x בפונקציה היוצרת והיות ואף חזקה של x לא יכולה לנפק את הערך "אפס" הרי שאין אפסים בטור הזה גם אם בפיתוח לטור חזקות האיבר הראשון התאפס בעטיו של התאפסות המקדם a_0 (או a_1 או מה שלא יהיה). תוספת של אפס כאיבר הראשון בטור משנה את "הכתובת" של כל האיברים האחרים: הראשון הופך לשני, השני לשלישי וכך הלאה... כך מתקבלת ישות אחרת שאיננה עוד "ישות-E".
      כפי שכתבתי קודם לכן, זה נראה מאוד מוזר ואולי אף בלתי מתקבל על הדעת שאיננו יכולים להוסיף אפס, אבל בסכימה של טורים מתבדרים עסקינן (...) והיא דורשת ככל הנראה אימוץ של כללים שאולי נראים ממבט ראשון מוזרים ואף מגוחכים אך יש בם עיקביות.

      מחק
    11. הוספת 0 בתחילת הטור מותרת, למיטב הבנתי, מן האקסיומה השנייה (בתיאור שלך, S הוא הטור עם האפס בהתחלה). בקשר לפונקציה יוצרת, אין שום בעיה, למיטב הבנתי, אם מוסיפים 5 לשני האגפים, פשוט מקבלים את הפונקציה zz 5+x/(x+1) zz (פונקציה תקנית לחלוטין).
      ואם בפונקציות יוצרות עסקינן, חשוב לציין שהפונקציה היוצרת של הסדרה zz 1, 2, 3, 4, 5, 6... zz היא zz 1/(x-1)^2 ויש לה קוטב ב-x=1.

      מחק
    12. חזרתי... בנוגע לסיפא של דבריך - זה צויין בפוסט. אם טרם קראת אותו במלואו אנא קרא הואיל וההצדקה המלאה לגישה המוצעת כאן מתבררת בסוף.
      ועתה למהות: ראשית, אתחיל מהסוף... עובדה היא שהסכימה המוצעת קולעת לערך הנכון בכמה טורים חשובים ביותר, ובפרט בטור הטבעיים ובטור סדרי הגודל (חזקות של עשר). למשפט "קולעת לערך הנכון" אני נותן כאן שני מובנים: 1) מתלכדת עם סכום-רימן המתקבל מהמשכה אנליטית של פונקצית זטא 2) מתלכדת עם המציאות הפיזיקלית כלומר: הצבת ערכי הסכום בחישובים בתורת השדות הקוונטים מייצרת תוצאות המתלכדות עם התוצאות הנסיוניות ברמת הדיוק הגבוהה ביותר האפשרית. כך באפקט קזימיר, כך באלקטרודינמיקה קוונטית.
      עד כאן העובדות. השאלה היא איך מיישבים את העובדות עם מה שנראה לכאורה חסר כל הגיון מתמטי, והתשובה (לטעמי היא) שכשאנו באים לעבוד עם טורים מתבדרים "מתכנסים", עלינו לשקול מחדש כל פעולה שנראית טריוויאלית (בבחינת מותר/אסור או אפשרי/בלתי-אפשרי). למה לשקול מחדש? כדי לנסות להסביר את התוצאות באמצעות מערכת לוגית כלשהי, ראשונית ומחוספסת ככל שתהיה.
      אז מהו התיקון שאני מציע: להשית על האקסיומה השניה מגבלה חמורה: אי אפשר להוסיף אפס. כיצד זה יתכן? להבנתי משני טעמים: 1) עובדה, אם לא נשית את המגבלה הזו הרי נקבל סכימה שעובדת נפלא אך בה בעת מנפקת אבסורדים כפי שהראית. זהו לא מצב רצוי היות ואז אי אפשר להסתמך עליה. 2) אם נתבונן על טור מתבדר כעל "ישות" בפני עצמה שהטבע משייך לה ערך מספרי כלשהו, הרי שהערך המספרי הזה מבטא את "תעודת הזהות" של הישות. מבחינה מתמטית מסורתית אין לזה כל ערך היות והטור המתבדר ממילא מתבדר לפי כל כלל והגיון. אבל עובדה היא שהטבע בוחר להתייחס אליו אחרת. ככל הנראה, לסוג האיברים בטור ולסידור המדוייק שלהם יש משמעות לגבי זהות "הישות" ושתי תכונות אלו - כך אני מציע - נקבעות חד ערכית באמצעות הפונקציה היוצרת במקום שאין לה קוטב.
      במקרה זה לא נוכל לתת כתובת אחרת לכל איבר ואיבר. קרי: האיבר הראשון הוא ראשון ואי אפשר להופכו להיות השני בטור על ידי הוספת אפס (אשר עם הוספתו הופך להיות האיבר הראשון). מה פירוש "אי אפשר"? ממתי אי אפשר להוסיף אפס למשהו? פירוש הדבר שמרגע שעשינו זאת אין לנו יותר סט כלים לטיפול בטור שאינו מונע אבסורדים מהסוג שציינת. אז כנראה שבבואנו לדון בהתכנסותם של טורים מתבדרים (כמו למשל התכנסותו של טור המספרים הטבעיים לערך מינוס אחד חלקי שתיים-עשרה), אין לנו אלא לקבל על עצמנו את האיסור המוזר הזה אשר נכפה עלינו "מלמעלה".
      אני לא יודע אם נפנוף הידיים שלי נותן מענה להסתייגויות שלך אבל עובדה היא שהטבע *בוחר* את הערכים אליהם הגענו באמצעות סכימת-E. זו עובדה מדהימה בעיני והיא זו שמלכתחילה היוותה טריגר לרשימה הנוכחית.

      מחק
    13. קראתי.
      בהוכחה לסכום טור הטבעיים המתחלף אתה משתמש באקסיומה 2 בדרך שאסרת בהודעה האחרונה.

      מחק
    14. לא אמרתי שהיא לא נכונה. אמרתי שאי אפשר להשתמש בה באופן שרירותי כדי להוסיף אפס לטור. במקרה של טור הטבעיים המתחלף *הגענו* לכך שהטור S-T הוא אפס ועוד הטור T ואז השתמשנו באקסיומה השנייה כדי לקבל את הזהות של שני הטורים: S-T=T. כלומר הזהות הזו התקבלה מתוך חשבון ולא מהשמה.
      אבל אני נוטה לחשוב (בעיקר מתוך ההתעקשות שלך) שאני דוחק את עצמי לפינה ללא מוצא. זה מחזיר אותי למחשבה הראשונה שעלתה אצלי לאור הדוגמא שהעלתה: חשבון שמוביל לטור האחדים אינו "קביל" היות וטור זה מתקבל מקוטב של הפונקציה היוצרת.

      מחק
    15. ומדוע החשבון שמוביל לטור הטבעיים "קביל", למרות שגם טור זה מתקבל מקוטב של הפונקציה היוצרת?

      מחק
    16. זו באמת מכת מחץ :) אכן, לא קביל על פי הטיעונים שלי עצמי. ובכל זאת, עובדה היא שסכימת-R מתכנסת לאותו מקום בדיוק וכאמור, גם הטבע מתכנס לשם.

      אני לא יודע לתת מענה לביקורת שלך. אנסה לשוחח על כך עם פיזיקאים שמתעסקים (או התעסקו בזה) ונראה מה יש להם לומר.

      מחק