יום שני, 6 בפברואר 2012

מיחסות פרטית ליחסות כללית

ברשימתי שנגעה בשלושת עקרונות היסוד של תורת היחסות הפרטית הודגש לא אחת שהשקילות הפיזיקלית המלאה והמוחלטת של כל מערכות ההתמד היא עיקרון יסוד העומד בבסיסה של התורה. בלשון המכניקה הקלאסית, היחסות הפרטית היא הקינמטיקה המתקבלת מהדרישה שהפיזיקה בכללותה תשמר תחת מעבר ממערכת התמד אחת לשנייה. מערכות התמד, בהקשר הזה, מוגדרות באופן גלובלי. למשל, אם נמצא אני במצב של התמדה אזי מערכת המנוחה שלי וכל מערכת הנמצאת במנוחה ביחס אלי, בכל זמן ובכל מקום, היא אותה מערכת התמד. סימטריה מסוג זה, שאינה תלוייה בנקודת מרחב-זמן אלא מתקיימת כמקשה אחת ביחס למרחב-זמן כולו, מכונה סימטריה גלובלית ואמנם כזו היא הסימטריה העומדת בבסיסה של תורת היחסות הפרטית.

אליה וקוץ בה. תורה המבוססת על סימטריה גלובלית היא פשטנית מדי ואין בכוחה להכיל מציאות שבה לזירת ההתרחשויות עצמה יש תפקיד דינאמי בהתרחשויות ובמהלכן. ובאמת, המרחב-זמן בתורת היחסות הפרטית משמש לא יותר מאשר זירת פעילות בה ניתן לשבץ חלקיקים חומריים מסוגים שונים המגיבים זה עם זה, אך בשום פנים ואופן לא עם הזירה עצמה וגם לא באמצעותה. וזאת משום מה? משום שהמסגרת המתמטית של סימטריות גלובליות אינה עשירה דיה לכלול יחסי גומלין המאפשרים לזירת ההתרחשויות לתווך בין ההתרחשויות. מנקודת המבט של אידאה מדעית אוטופית יש במצב הזה טעם רב לפגם משום שרוחנו המשחרת אחר האמת נוטה מטבעה אל המאחד והשלם והיפה, ואין הדעת סובלת שרירותיות ורדידות רעיונית.

ובאמת, תורה היפותטית המאחדת בשלמות מבנית ורעיונית את זירת ההתרחשויות של המציאות עם ההתרחשויות עצמן, ומכל אספקט אפשרי, היא 'הגביע הקדוש' של הפיזיקה התיאורטית, משאת נפשם של העוסקים במלאכה. ואם נפליג בדמיון ונמשיל את תורת-העל הזו לארץ המובטחת, הרי שלוקליזציה של סימטריה גלובלית כמוה כחציית הירדן... צעד ראשון אמנם בדרך להשגת המטרה, אבל חשוב וחיוני מאין כמוהו. מהי אם כן לוקליזציה של סימטריה בהקשר שלנו? ובכן, אנו נדרוש עתה שכל מערכות ההתמד תהיינה שקולות זו לזו באופן לוקלי כלומר, שקילות פיזיקלית מלאה מתקיימת בנפרד ובאופן בלתי תלוי בכל נקודת מרחב-זמן. ומכיוון שטרנספורמציות לורנץ הן אלו המעבירות אותנו ממערכת התמד אחת לרעותההרי שהכרח הוא שכל תיאור של המציאות (או כל סקטור חלקי שלה) ישמר תחת טרנספורמציות לורנץ תלויות נקודת מרחב-זמן.

חשוב להדגיש שסימטריה גלובלית היא מקרה פרטי ומנוון מאוד של סימטריה לוקלית. בשל כך נהוג לכנות את היחסות הפרטית - המבוססת על סימטריה גלובלית - גם בשם 'יחסות מצומצמת'. הסימטריה הלוקלית חזקה הרבה יותר מהסימטריה הגלובלית, אבל מאלצת הרבה פחות שהרי עתה אנו דורשים אינווריאנטיות על בסיס מקומי: המציאות הפיזיקלית בכללותה נשמרת גם אם המעבר ממערכת התמד אחת לרעותה מתבצע באופן שונה ובלתי תלוי בכל נקודת מרחב-זמן אפשרית, ובכפוף למגבלת החלקות. על עיקרון יסוד זה מושתתת תורת היחסות הכללית.

הליך הלוקליזציה של הסימטריה תחת מעבר בין מערכות התמד בהכרח טוען את המרחב-זמן עצמו במבנה גאומטרי עשיר עם משמעויות פיזיקליות מרחיקות לכת. קבוצת כל המאורעות המגדירים את המרחב-זמן (הווה אומר, אוסף כל נקודות המרחב-זמן) 'פורשת' עתה יריעה ארבע-מימדית חלקה בעלת עקמומיות אינהרנטית, כלומר עקמומיות המובחנת מתוך היריעה עצמה מבלי שנידרש לשבצה במרחב אוקלידי ממימד גבוה יותר. כל נקודת מרחב-זמן בודדת על היריעה החלקה הזו משויכת למרחב מינקובסקי, וכל בסיס במרחב הזה מייצג מערכת התמד מקומית כלשהי. בהתאם ליחסות הפרטית, כל מערכות ההתמד המקומיות הללו שקולות לחלוטין מבחינה פיזיקלית.

מתקבל איפה 'אגד' או 'אלומה' של מרחבי מינקובסקי המשיקים ליריעת הבסיס, כל מרחב כזה עומד בפני עצמו ומובחן מהאחרים באוריאנטציה שהוא מקבל, בהתאם לגיאומטריה המקומית של היריעה. זהו האגד המשיקי בתורת הכבידה והוא דוגמא לאותו גדג'ט מתמטי המכונה אצל המתמטיקאים אלומת סיבים (fiber bundle). במסגרת תורה זו כל סיב וסיב הוא מרחב ההצגה של חבורת סימטריה מסויימת אשר אבריה תלויים בנקודה על יריעת הבסיס ממנה 'צמח' הסיב; במקרה שלנו מרחב ההצגה הוא מרחב מינקובסקי, יריעת הבסיס היא המרחב-זמן בכללותו, ואברי חבורת הסימטריה אלו הם טרנספורמציות לורנץ תלויות נקודת מרחב-זמן. 'חתך' על האגד מייצג נקודת מבט מסוימת על המציאות במלואה, ומכיוון שהפיזיקה עצמה איננה תלויה כלל וכלל בנקודת המבט, הרי שהמעבר מחתך לחתך, המתבצע "סימולטנית" באמצעות טרנספורמציות לוקליות על כל סיב וסיב באגד, איננו משפיע על המציאות הפיזיקלית עצמה. זהו עיקרון הכיול הלוקלי (local gauge principle) בפיזיקה התאורטית.

האגד המשיקי מגשים איפה באופן טבעי את מושג הסימטריה הלוקלית: תיאור המציאות נשמר בשלמותו תחת טרנספורמציית לורנץ, אשר עתה היא תלויה בפרמטר רציף המקבל ערכים שונים בנקודות מרחב-זמן שונות. בפרדיגמה של תורת הכבידה, התפלגות המסה והאנרגיה בזמן ובמרחב מכתיבה את הגיאומטריה הספציפית המושרת על יריעת הבסיס (ולמעשה על האגד בכללותו) באמצעות משוואת-על אחת ויחידה, היא משוואת איינשטיין. ההתפלגות המרחב-זמנית של המסה והאנרגיה 'מעקמת' את יריעת המרחב-זמן, והעקמומיות המתקבלת מקבלת את השם שדה כבידה. ומנגד, שדה הכבידה מכתיב את הדינמיקה של המסה והאנרגיה המשובצים בו. קיבלנו איפה תמונת עולם שבה זירת ההתרחשויות עצמה פורשת שדה כוח המקיים יחסי גומלין עם מה שיצר אותו. הנה כי כן, מושג שדה הכבידה לא ירד עלינו מהשמים אלא בא ועלה באופן טבעי כביטוי לגיאומטריה של יריעת המרחב-זמן, גאומטריה המושרית משקילותן המקומית של כל מערכות ההתמד.

סקטור המתאפיין בסימטריה לוקלית בעלת מבנה של אגד - לאו דווקא של מרחבים משיקים - מכונה בפיזיקה התיאורטית תורת כיול לוקלית. דרגות החופש הרלוונטיות פורשות את מה שאנו מכנים מרחב הסימטריה הפנימית, היכן שפועלת חבורת הסימטריה המתאימה, אשר איבריה מובחנים באמצעות פרמטר רציף תלויי נקודת מרחב-זמן. ובפרט, במקרה של היחסות הכללית, דרגות החופש של מרחב הסימטריה הפנימית (הסיב) מתלכדות עם דרגות החופש של המרחב-זמן עצמו (יריעת הבסיס). היש שלמות מבנית יפה מזו?! והרי זהו בדיוק המרשם לתורת העל כפי שהיינו רוצים לראות אותה... אבל זאת יש לזכור: האגד המשיקי מוגבל לתיאור סקטור הכבידה בלבד, ומסיבות שלא אוכל להיכנס אליהן כאן, התורה המתקבלת במקרה מיוחד זה איננה ברת קווינטוט, לפחות לא בכלים המוכרים היום. אין בזאת כדי להעיב על ההישג: כל עוד איננו מתעקשים על אנרגיות גבוהות במיוחד (או נמוכות במיוחד?) מייצרת היחסות הכללית תיאור אמין ביותר של המציאות.

מהי המשמעות הפיזיקלית של המרחב המשיק ליריעת המרחב-זמן? בהיותו מרחב 'שטוח' (כלומר דמוי-אוקלידי) אין בו מידע על שדה הכבידה המקומי, ומצב זה יתכן רק אם מדובר בנפילה חופשית. במסגרת היחסות הכללית, אם כן, התמדה כמוה כנפילה חופשית. כיוון שקיימת נקודת השקה בין מרחב מינקובסקי המקומי לבין יריעת המרחב-זמן, תמיד נוכל לבצע טרנספורמציה מקומית מכאן לכאן, ולהפך. מבחינה מתמטית, טרנספורמציה זו מתבצעת באמצעות אובייקט מיוחד המכונה טטרדה. הבה נדגיש זאת שוב: נפילה חופשית מגדירה את מושג ההתמד בשדה כבידה כך שמערכת ייחוס הנמצאת בנפילה חופשית ממדלת מרחב-זמן שטוח באופן מקומי. ובפרט, בסביבה מספיק קרובה לצופה הנופל תהא תקפה הקינמטיקה של היחסות הפרטית.

ומדוע 'סביבה מספיק קרובה' ולא נקודת מרחב-זמן ממש? כיוון שכל עוד העקמומיות איננה 'פתולוגית' נוכל תמיד למצוא סביבה קרובה סביב נקודת ההשקה היכן שהיא לא ממש מורגשת. שדות הכבידה מפעילים כוחות גאות, ואלו אמנם מתאפסים לחלוטין רק בקרבה מידית לנקודת מרחב-זמן נתונה, אלא שבמקרה של שדה חלש ניתן להזניחם גם בסביבתו היותר רחוקה של הצופה הנופל. תחנת החלל הבינלאומית הנמצאת בנפילה חופשית בשדה הכבידה של כדה"א היא דוגמא נאה למערכת התמד; שדה הכבידה של כדה"א איננו משתנה באופן מורגש בתוך התחנה ואין חשים בה בכוחות גאות. אבל לו הייתה סובבת בקרבתו של כוכב ניטרונים, שוב לא הייתה יכולה להיחשב ככזו והייתה נקרעת לגזרים תחת עול כוחות הגאות.

זאת ועוד: מעתה והלאה לא נוכל להשוות שתי מערכות ההתמד המשויכות לשתי נקודות מרחב-זמן שונות, אלא בכלים האנליטיים שמספקת לנו הגיאומטריה הרימנית של האגד המשיקי. כדי לתאר זאת עלינו להציג את מושג הקישורת (connection), את מושג המסגרת המקומית (coframe), עלינו להגדיר מהי הזזה מקבילית (parallel transport) ועוד ועוד... אבל המונחים הגיאומטריים הללו והמשמעויות הפיזיקליות הנגזרות מהם ידונו (אולי) ברשומה אחרת.




אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה