יום רביעי, 5 בדצמבר 2012

אוסצילטור הרמוני - הקדמה ורקע כללי


בסדרת רשימות קצרה ויעודית אנסה לפתוח צוהר אל היופי המתמטי שבטיפול באוסצילטור ההרמוני החד-מימדי באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה והצגת המצבים הקוהרנטיים. הרשימות מיועדות למי שכבר ראה מכניקה קוונטית בפעולה פעם בחייו. רוב החומר אמנם סטנדרטי ומופיע במקומות רבים ובווריאציות שונות; עם זאת, הבחירה כאן תהיה תמציתית וממוקדת והיא מבטאת טעם אישי ומחשבה קדימה. הרשימה הנוכחית, הראשונה בסדרה, היא לא יותר מסקירת רקע קצרה ואורתודוקסית; החלקים המרתקים - בהמשך.

המערכת הקלאסית:

מבחינה קלאסית אוסצילטור הרמוני הוא מערכת מכנית אשר הדינאמיקה שלה מתוארת באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\); כאן \(\omega\) היא המהירות הזוויתית הקשורה במחזוריות של התנודה, והיא תלוייה בפרמטרים הפיזיקליים של המערכת. כך למשל מטוטלת מתמטית איננה אוסצילטור הרמוני, אלא בקירוב של זוויות קטנות, ואז \(\omega^{2}=g/\ell\). מסה הקשורה בקפיץ היא אוסצילטור הרמוני רק בקירוב בו מתקיים חוק הוק ואז \(\omega^{2}=K/m\), וכולי.

היות ומשוואת התנועה היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, מרחב הפתרונות הוא דו מימדי והוא נפרש ע"י הפונקציות \(x_{1}\left(t\right)=A\cos\left(\omega{t}\right)\) ו- \(x_{2}\left(t\right)=B\sin\left(\omega{t}\right)\) עם קבועי אינטגרציה שרירותיים \(A\), ו-\(B\). הפיתרון הכללי הוא וקטור כלשהו במרחב הזה, קומבינציה לינארית של שני הפתרונות, ואותו נוכל לרשום כ- \(x\left(t\right)=x_{0}\cos\left(\omega{t}\right)+\left(v_{0}/\omega\right)\sin\left(\omega{t}\right)\)  באשר \(x_{0}\) ו- \(v_{0}\) מייצגים תנאי התחלה, למשל מיקום התחלתי ומהירות התחלתית.

האנרגיה המכנית של המערכת (קינטית + פוטנציאלית) היא קבוע של התנועה, והיא ניתנת בביטוי
\begin{aligned}E\,=\,\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2},\end{aligned} 
באשר \(m\) מסת המתנד; לא זו בלבד שהאנרגיה אינה תלויה מפורשות בזמן, היא לא תלוייה בו גם בעקיפין; הוכחה אחת לכך הבאתי בעבר כאן, ראו הסעיף "תנועה הרמונית". האנרגיה המכנית דלעיל היא גם ההמילטוניאן \(\mathscr{H}\left(p,x\right)\) של המערכת. משוואות המילטון המתאימות הן \(\dot{x}=\partial\mathscr{H}/\partial{p}=p/m\) ו- \(\dot{p}=-\partial\mathscr{H}/\partial{x}=-m\omega^{2}x\) והן מתלכדות יחד למשוואה המקורית  \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\). עד כאן מכניקה קלאסית סטנדרטית אלמנטרית.

קוונטיזציה קנונית:

בקוונטיזציה קנונית אנו מחליפים את המשתנים \(x\) ו- \(p\) באופרטורים הרמיטיים המקיימים את יחס החילוף \(\left[x,p\right]=i\hbar\). הביטוי באגף ימין הוא מספר דמיוני טהור (אותו מקובל לכנות c-number) ובהצגה שבה שני האופרטורים מתוארים באמצעות מטריצות מספר זה פשוט מכפיל את מטריצת היחידה. מי שמעוניין יוכל לראות ביחס החילוף הנ"ל אנזץ המגדיר את המהות הקוונטית של התנע והמקום, אבל בזאת אין די; יש צורך להחליף את משוואת התנועה במשוואת שריידינגר,
\begin{aligned}i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}\,=\,\mathscr{H}\Psi\end{aligned}
שאמנם איננה הדירה עם היחסות הפרטית אבל בהחלט מספקת לצרכים פרקטיים. ל-\(\mathscr{H}\) יש בדיוק את אותו המבנה של ההמילטוניאן מלמעלה, אלא שעתה, את הקורדינטות המוכללות של המקום והתנע מחליפים האופרטורים המתאימים; הילכך, ההמילטוניאן עצמו הוא עתה אופרטור הרמיטי. הפונקציה \(\Psi\left(x,t\right)\) המופיעה במשוואה היא "פונקציית מצב" ובה גלומה כל האינפורמציה הפיזיקלית על המערכת כולל ההתפתחות בזמן.

היות וההמילטוניאן איננו תלוי מפורשות בזמן נוכל לבצע הפרדת משתנים. הבה נראה זאת: תחילה נרשום \(\Psi\left(x,t\right)=\chi\left(t\right)\psi\left(x\right)\). במונחים של המכפלה הזו משוואת שריידינגר מצטמצמת לכדי המשוואה האופרטורית \(\left(i\hbar\dot{\chi}\right)\psi=\left(\mathscr{H}\psi\right)\chi\). חלוקה ב-\(\chi(t)\psi(x)\) משאירה אותנו עם אגף שמאל התלוי אך ורק במשתנה \(t\) ועם אגף ימין התלוי אך ורק במשתנה \(x\). מכאן מתחייב ששני האגפים שווים למספר ממשי קבוע \(E\), ומתקבל צמד משוואות מהצורה \(i\hbar\dot{\chi}=E\chi\) ו- \(\mathscr{H}\psi=E\psi\). שימו לב: הממשיות של \(E\) מתחייבת מההרמיטיות של \(\mathscr{H}\).

החלק המרחבי אם כן מקיים משוואת ערכים עצמיים. למשוואה זו אינסוף פתרונות המנפקים מערכת שלימה של פונקציות \(\left\{\psi_{n}\right\}\) באשר \(n\in\mathbb{N}\), ולכל \(\psi_{n}\) מתאים \(E_{n}\) משלו; זוהי שלמות במובן "ההילברטאני" של המילה, דהיינו \(\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{n}^{\ast}\left(x\right)\psi_{m}\left(x\right)\mathrm{d}x=\delta_{nm}\); לשון אחרת, אוסף הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן פורש בסיס אורתונורמלי במרחב המצבים (מסוג מרחב הילברט). ומנגד, החתיכה הזמנית המשוייכת לכל פיתרון כזה ניתנת עתה ע"י \(\chi_{n}\left(t\right)=\exp\left(-iE_{n}t/\hbar\right)\) ולכן כל אחד ואחד מפיתרונות של משוואת שרידינגר מתפתח בזמן לפי
\begin{aligned}\Psi_{n}\left(x,t\right)=e^{\left(-iE_{n}t/\hbar\right)}\psi_{n}\left(x\right)\,.\end{aligned}
פונקציית המצב המתארת את המערכת המכנית בכללותה ניתנת לרישום כצירוף לינארי של אינסוף הפונקציות \(\left\{\Psi_{n}\left(x,t\right)\right\}\) עם מקדמים מתאימים, \(\Psi(x,t)=\sum_{n}a_{n}\Psi_{n}(x,t)\), זאת משום שאוסף הפתרונות של משוואת הערכים העצמיים פורש בסיס שלם במרחב הילברט של המצבים. במקרה זה קל מאוד לקבל ביטוי פורמלי סגור עבור המקדמים: נכפול את שני האגפים בצמוד הקומפלקסי \(\Psi_{m}^{\ast}\left(x,t\right)\), ניקח אינטגרציה ממינוס אינסוף עד אינסוף, ניעזר באורתונורמליות של המערכת \(\left\{\psi_{n}\right\}\) ונקבל: \(a_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\left(x,t\right)\Psi^{\ast}_{n}(x,t)\,\mathrm{d}x\). עד כאן מכניקה קוונטית סטנדרטית על קצה המזלג.

יחסי החילוף:

את יחס החילוף בין אופרטור המקום לאופרטור התנע נוכל להגשים על-נקלה בהצגת הקואורדינטות (המכונה מטעמים מובנים גם "הצגת המקום") באמצעות ההשמות:
\begin{aligned}x\mapsto{x}\quad\text{and}\quad{p}\mapsto-{i}\hbar\frac{\partial}{\partial{x}}\;;\end{aligned} 
במערכת חד מימדית אפשר להשתמש בנגזרת מלאה אבל אנו נסגל לעצמנו שימוש בנגזרות חלקיות משני טעמים: ראשית, פונקציית הגל תלויה בשני משתנים בלתי תלויים, מקום וזמן. שנית, השימוש בנגזרות חלקיות פותח את הדלת להכללה למימדים נוספים. הבה ניווכח עתה בנכונותה של הבחירה שלנו: תהא \(\psi\) פונקציה שרירותית אך גזירה של המקום. אזי,
\begin{aligned}\left(xp-px\right)\psi&\,=\,-i\hbar\,{x}\frac{\partial\psi}{\partial{x}}+i\hbar\frac{\partial}{\partial{x}}\left(x\psi\right)\\&\,=\,-i\hbar\,{x}\frac{\partial\psi}{\partial{x}}+i\hbar\,\psi+i\hbar\,x\frac{\partial\psi}{\partial{x}}\,=\,i\hbar\,\psi\end{aligned}
ומאחר ו-\(\psi\) שרירותית, \(\left[x,p\right]=i\hbar\). בהצגת התנע שתי הקואורדינטות של מרחב הפאזה מחליפות תפקידים, ואז יחס החילוף כופה עלינו את ההשמות \(p\mapsto{p}\) וכן \(x\mapsto{i}\hbar\,\partial/\partial{p}\) (שימו לב להיעדרו של סימן המינוס עבור אופרטור המקום). הבה נראה: תהא \(\psi\) פונקציה שרירותית אך גזירה של התנע. אזי,
\begin{aligned}\left(xp-px\right)\psi&\,=\,i\hbar\frac{\partial\left(p\psi\right)}{\partial{p}}-i\hbar\,p\frac{\partial\psi}{\partial{p}}\\&\,=\,i\hbar\psi+i\hbar\,{p}\frac{\partial\psi}{\partial{p}}-i\hbar\,p\frac{\partial\psi}{\partial{p}}\,=\,i\hbar\,\psi\end{aligned}
ושוב מקבלים \(\left[x,p\right]=i\hbar\). בהמשך (רשומה הבאה) אציג את התנע ואת המקום באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה, ומרגע שאעשה זאת הדרך תיפתח לנפלאות. אבל עוד לפני כן אתמקד בתכונה מאוד מעניינת של יחס החילוף;

פונקציות של אופרטורים:

פונקציה חלקה \(f\) של אופרטור \(\mathcal{O}\), כלומר  \(f\left(\mathcal{O}\right)\), מוגדרת באמצעות הפיתוח לטור חזקות של הפונקציה \(f\left(x\right)\) (אם הוא קיים) סביב נקודה \(x_{0}\) הנמצאת בתוך רדיוס ההתכנסות של \(f\). במכניקה הקוונטית נוח וגם הגיוני לפתח סביב \(x_{0}=0\) במידה והדבר מתאפשר (כלומר במידה והראשית נמצאת בתוך רדיוס ההתכנסות של \(f\)). במקרה זה נקבל
\begin{aligned}f\left(\mathcal{O}\right)\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\mathcal{O}^{n}\quad\,\text{where}\quad\,a_{n}\,=\,\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\end{aligned}
באשר \(f^{\left(n\right)}\left(0\right)\) היא הנגזרת מסדר \(n\) של \(f\) בנקודה \(x_{0}=0\). מכאן שכל המקדמים בפיתוח הם לא יותר ממספרים קומפלקסים (אם \(f\) קומפלקסית). זאת ועוד, מתוך ההגדרה דלעיל ברור ש- \(f'\left(\mathcal{O}\right)=\sum_{n}na_{n}\mathcal{O}^{n-1}\).

היות ודיוננו נסוב סביב מערכת פיזיקאלית, והיות ובמערכת כזו אופרטורים ההרמיטיים מייצגים גדלים מדידים, לא נוכל להשתמש בם כארגומנט לפונקציה לפני שנסלק את היחידות. וכך למשל, אם בפונקציה של אופרטור התנע חפצנו, נגדיר תחילה \(\widehat{p}:=p/p_{0}\), באשר \(p_{0}\) פרמטר בעל יחידות של תנע, ורק אז ראוי לנו לשאול את השאלה המעניינת: בהינתן יחס החילוף \(\left[x,\widehat{p}\right]=i\hbar/{p_{0}}\), מהו יחס החילוף \(\left[x,f\left(\widehat{p}\right)\right]\)? ובכן, הבה נבדוק זאת. נשתמש בעובדה שה- \(a_{n}\)-ים כולם הם מספרים קומפלקסיים השקופים ליחסי חילוף ונקבל:
\begin{aligned}\left[x,f\left(\widehat{p}\right)\right]\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left[x,\widehat{p}^{n}\right]\end{aligned}
לכן חישוב יחס החילוף דלעיל מצטמצם לכדי חישוב יחס החילוף של אופרטור המקום \(x\) עם חזקה של \(\widehat{p}\). כמובן שהאופרטור \(\widehat{p}\) זהה לעצמו ומתחלף עם עצמו אבל כדי לראות מה בדיוק קורה במהלך החשבון נתייג באופן מלאכותי כל איבר במכפלה ונרשום: \(\widehat{p}^{n}=\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\); זהו כאמור תיוג מלאכותי לחלוטין ותוכלו להחליף את המיקומים של האיברים במכפלה כאוות נפשכם. הבה ניגש עתה לחשבון:
\begin{aligned}x\widehat{p}^{n}&\,=\,x\,\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\,=\,\left(\left[x,\widehat{p}_{(1)}\right]+\widehat{p}_{(1)}x\right)\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\,=\,\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\,\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\,+\:\widehat{p}_{(1)}\left(\left[x,\widehat{p}_{(2)}\right]+\widehat{p}_{(2)}x\right)\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\,=\,\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\,\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\,+\:\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\,\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\phantom{\,=\,i\hbar\,\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}}\,+\:\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(2)}\left(\left[x,\widehat{p}_{(3)}\right]+\widehat{p}_{(3)}x\right)\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\;\vdots\,\end{aligned}
את התהליך הזה נוכל להמשיך עד המכפיל האחרון (סך הכל \(n\) פעמים) ובסיכומו נקבל את הקשר \(x\widehat{p}^{n}\,=\,n\left({i\hbar}/{p_{0}}\right)\widehat{p}^{n-1}+\widehat{p}^{n}x\), כלומר \(\left[x,\widehat{p}^{n}\right]\,=\,n\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\widehat{p}^{n-1}\). נציג זאת עתה ביחס החילוף עימו התחלנו ונקבל לבסוף
\begin{aligned}\left[x,f\left(\widehat{p}\right)\right]&\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left[x,\widehat{p}^{n}\right]\,=\,\left({i\hbar}/{p_{0}}\right)\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}\widehat{p}^{n-1}\\&\,=\,\left({i\hbar}/{p_{0}}\right)f'\left(\widehat{p}\right)\,.\end{aligned}
שימו לב: לכאורה הגזירה באגף ימין מתבצעת לפי המשתנה האופרטורי \(\widehat{p}\) אך בפועל אין פה כל מיסטיקה, זו פשוט הפונקציה \(f'\) של האופרטור \(\widehat{p}\) (אם זה לא ברור, עיברו שוב על הגדרת המושג "פונקציה של אופרטור" מלמעלה). לבסוף, ובהקבלה מלאה למה שעשינו עד כה, \(\left[p,g(\widehat{x})\right]=\left(-i\hbar/x_{0}\right){g}'(\widehat{x})\).

ולסיכום ההקדמה, הזזות:

מדוע פיתוחים אלו עשויים לעניין אותנו? בואו נתבונן ביחס החילוף של אופרטור המקום \(x\) עם האופרטור היוניטרי  \(\exp\left(-i\lambda{p}/\hbar\right)\) היכן ש- \(\lambda\) פרמטר ממשי בעל יחידות של אורך. שימו לב שהארגומנט של האקספוננט חסר יחידות, וכאן \(p_{0}=i\hbar/\lambda\) (ודאו כל זאת!). חשבון מיידי מנפק:
\begin{aligned}&&\left[x\,,e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}\right]&\,=\,\lambda\,e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}\\\Longleftrightarrow&&xe^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}-e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}x&\,=\,\lambda\,e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}\end{aligned}
הבה נרשום \(T\left(\lambda\right):=e^{-i\lambda{p}/\hbar}\) (הסימול \(T\) מלשון טרנסלציה). קל מאוד לראות ש- \(T^{\dagger}\left(\lambda\right)=T\left(-\lambda\right)\) ובפרט \(T^{\dagger}T={I}\) כך ש- \(T^{\dagger}=T^{-1}\) כמתחייב מהיוניטריות של \(T\). נכפיל עתה משמאל את המשוואה מעלה ב- \(T^{\dagger}\left(\lambda\right)\) ונקבל
\begin{aligned}T^{\dagger}\left(\lambda\right)\,x\,T\left(\lambda\right)\,=\,x+\lambda\end{aligned}
הווה אומר, \(T(\lambda)\) הוא אופרטור הזזה בשיעור \(\lambda\). ועתה, ללא כל חישוב, ובאנלוגיה מלאה לכל מה שנאמר עד כה, \(G^{\dagger}\left(\zeta\right)\,p\,G\left(\zeta\right)=p+\zeta\). ומיהו כאן  \(G\)?


תרגילים:
  1. יהיה \(A\) אופרטור הרמיטי ויהא \(\left|\alpha\right>\) מצב עצמי של \(A\) עם הערך העצמי \(\alpha\) כלומר \(A\left|\alpha\right>=\alpha\left|\alpha\right>\). הראו ש- \begin{aligned}f\left(A\right)\left|\alpha\right>\,=\,f\left(\alpha\right)\left|\alpha\right>\end{aligned}כלומר \(\left|\alpha\right>\) הוא גם מצב עצמי של \(f(A)\) עם הערך העצמי \(f(\alpha)\).



יום שישי, 2 בנובמבר 2012

אחרון בטרילוגיה הלגרנז'יאנית: על חופש הכיול


דבר גלוי וידוע הוא שהפתרונות הפורמליים של הזוג השני של משוואות מקסוול, כלומר הפתרונות המנפקים את הפוטנציאלים, אינם יחידים ומוגדרים עד כדי מה שמכונה "חופש הכיול". הבה נראה במה מדובר: כזכור, הזוג השני נתון ע"י 
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{B}&\,=\,0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&\,=\,-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}\end{aligned}  ופתרונותיו הפורמליים הם
\begin{aligned}\boldsymbol{E}\,=\,-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\quad\text{וכן}\quad\boldsymbol{B}\,=\,\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\end{aligned}
באשר \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) הוא הפוטנציאל המגנטי (שדה וקטורי) ו-\(\phi\) הוא הפוטנציאל החשמלי (שדה סקלרי). עיניכם הרואות, אם נוסיף לפוטנציאל המגנטי גרדיאנט של פונקציה סקלרית חלקה כלשהי, ובה בעת נחסיר מהפוטנציאל החשמלי את הנגזרת החלקית לפי הזמן של אותה פונקציה סקלרית, נקבל בדיוק את אותן פיתרונות עבור \(\boldsymbol{E}\) ו- \(\boldsymbol{B}\). החופש לבצע את המהלך הזה מכונה חופש הכיול (gauge freedom).

מה יש לנו כאן? ובכן, מהאמור מעלה נובע שהפוטנציאלים \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ו- \(\phi\) - שהם דרגות החופש הבסיסיות של התורה האלקטרומגנטית - מוגדרים עד כדי הטרנספורמציה הסימולטנית
\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{A}}&\;\mapsto\;\boldsymbol{\mathcal{A}}+\nabla\chi\\\phi\;&\mapsto\;\phi-\frac{\partial\chi}{\partial{t}}\end{aligned} באשר \(\chi=\chi\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצגת פונקציה סקלרית חלקה כלשהי של המקום והזמן. הטרנספורמציה הנ"ל מכונה "טרנספורמציית כיול" ואף על פי שהיא מנפקת צמד פוטנציאלים חדש לחלוטין, הרי שהשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) וההשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) הנגזרים מהצמד הזה זהים לחלוטין לשדות הנגזרים מהצמד הקודם...

היות ואיננו מוגבלים בבחירת פונקציית הכיול \(\chi\), יוצא שלזוג השני של משוואות מקסוול יש אינסוף פתרונות פורמליים שקולים פיזיקלית. המציאות האלקטרומגנטית הניתנת (באופן קלאסי) באמצעות השדות האלקטרומגנטיים מוגדרת איפה עד כדי מחלקת שקילות: לכל קונפיגורציה נתונה של מקורות שדה א"מ משוייכת מחלקה של פוטנציאלים (המכילה אינסוף איברים) וטרנספורמציית הכיול מעבירה אותנו מאיבר אחד למישנהו בתוך המחלקה. 

הטרילוגיה שלנו נסובה סביב הפורמליזם הלגרנג'יאני של התורה האלקטרומגנטית (מנקודת מבט תלת מימדית) ואנו מחוייבים עתה לודא שהצפיפות הלגרנז'יאנית הרלוונטית אכן מכבדת את עיקרון הכיול. כלומר יש לודא שהפיזיקה הנגזרת מהלגרנז'יאן נשמרת במלואה תחת טרנספורמצית כיול; שאם לא כן, ניסוחינו לוקים בחוסר עקביות אינהרנטי ושוב אין הם יכולים להיחשב לתורה פיזיקלית. הנה לכם כלל ברזל: הצפיפות הלגרנז'יאנית של כל תורה פיזיקלית שיש בה חופש כיול חייבת לכבד את עיקרון הכיול; אחרת משוואות לגראנז' עצמן תהינה תלויות בכיול הספציפי ממנו החילונו.

תזכורת: הצפיפות הלגרנז'יאנית של התורה האלקטרומגנטית נתונה ע"י
\begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}\,=\,\underbrace{\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}}_{\mathcal{L}_{\text{חפשי}}}+\underbrace{\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi}_{\mathcal{L}_{\text{'אינט}}}\end{aligned}

מובן שרק איבר האינטראקציה לוקח חלק בטרנספורמציית הכיול שהרי רק הוא מכיל את הפוטנציאלים "באופן חפשי" (אמנם גם \(\boldsymbol{E}\) ו- \(\boldsymbol{B}\) נגזרים מהפוטנציאלים אבל אלו, כאמור, אינווריאנטים מתוך ההגדרה של חופש הכיול). ובכן, נבדוק עתה האם החתיכה \(\mathcal{L}_{\text{'אינט}}\,=\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\) אכן מכבדת את עיקרון הכיול כפי שנדרש מתנאי העקביות. הבה נבצע טרנספורמציה כיול מפורשת:
\begin{aligned}&\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\,\mapsto\,\boldsymbol{j}\cdot\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}+\nabla\chi\right)-\rho\left(\phi-\frac{\partial\chi}{\partial{t}}\right)\\&\,=\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi+\underbrace{\nabla\cdot\left(\boldsymbol{j}\chi\right)-\chi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{j}\right)}_{=\;\boldsymbol{j}\cdot\nabla\chi}+\underbrace{\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\rho\chi\right)-\chi\frac{\partial\rho}{\partial{t}}}_{=\;\rho\frac{\partial\chi}{\partial{t}}}\\&\,=\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\;+\;\underbrace{\nabla\cdot\left(\boldsymbol{j}\chi\right)+\frac{\partial\left(\rho\chi\right)}{\partial{t}}}_{\displaystyle(\text{אברי שפה})}\;-\chi\,\underbrace{\left(\nabla\cdot\boldsymbol{j}+\frac{\partial\rho}{\partial{t}}\right)}_{\displaystyle=\;0\atop{\displaystyle\text{ממשוואת}\atop\displaystyle\text{הרציפות}}}\end{aligned}
כפי שהודגש ברשימה הראשונה בטרילוגיה, כל צפיפות לגרנז'יאנית מוגדרת עד כדי אברי שפה שממילא נופלים בתהליך הווריאציה; הילכך איבר הרציפות עבור "צפיפות המטען" \(\rho^{\ast}=\chi\rho\) ו"צפיפות הזרם" \(\boldsymbol{j}^{\ast}=\chi\boldsymbol{j}\) אינו מעלה ואינו מוריד, כך שבסיכומו של דבר הפן הפיזיקלי של הלגרנז'יאן אכן נשמר בטרנספורמציה.

ככלל, כשבונים תורה פיזיקלית "מלמעלה למטה", היינו מתחילים מעיקרון הפעולה ומסיימים במשוואות תנועה, חובה עלינו לוודא שהחתיכה הפיזיקלית של הצפיפות הלגרנז'יאנית היא אינווריאנט של טרנספורמציות כיול. וזו מהותה של כל תורת כיול: הפיזיקה מוגדרת עד כדי מחלקות שקילות של פוטנציאלים הקשורים זה בזה בקשר של כיול. לשם מה ה"מיותרות" הזו? מסיבה חשובה ביותר: תורת הכיול הלוקאלית ממדלת מציאות שבה הכוחות נגזרים מתוך הגיאומטריה המושרית מסמטריה המתקיימת ברמה המקומית. מה יכול להיות יותר חזק מזה?... ובכן, יש יותר חזק מזה :) אבל עוד חזון למועד;

חופש הכיול מאפשר לנו לבחור פונקציות פוטנציאל שמקיימות תכונות הנוחות לנו בעבודה ומשרתות את מטרותינו (קוראים לזה gauge fixing). למשל, ברצוננו, נוכל לבחור פוטנציאל מגנטי שאין לו דיברגנס. שהרי אם התחלנו עם אחד שיש לו כזה, נקרא לו \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\), נוכל תמיד לבצע טרנספורמציית כיול ל-\(\boldsymbol{\mathcal{A}}'\) שאין לו כזה בעזרת פונקציית כיול המקיימת תנאי מתאים. הבה נראה זאת מפורשות: תחת טרנספורמציית הכיול מתקיים
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}'\;=\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\nabla\cdot\left(\nabla\chi\right);\end{aligned}
אם נבחר עתה פונקציית כיול חלקה \(\chi\) המקיימת \(\nabla^{2}\chi\,=\,-\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\) נקבל מייד\(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}'\,=\,0\) בהתאם לדרישתנו.

מעצם ההגדרה ברור ששני הפוטנציאלים הנ"ל, גם זה המתוייג וגם זה שאינו מתוייג, מנפיקים את אותם שדות אלקטרומגנטיים. הכיול הספציפי הזה, המאפס את הדיברגנס של הפוטנציאל המגנטי, מכונה כיול קולון והוא חביב במיוחד בחישובים באלקטרוסטטיקה. כיול שימושי נוסף הוא כיול לורנץ היכן שהפוטנציאל המגנטי והפוטנציאל החשמלי קשורים זה בזה בהתאם למשוואה
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}'\,=\,-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\,.\end{aligned}
מן הסתם יש אינסוף כיולים אפשריים; אבל יש רק מחלקת שקילות אחת שאיננה לגיטמית במשחק הזה: זהו מה שמקובל לכנות כיול טהור ופירושו: אנו מתחילים עם פונקצית פוטנציאל כזו שניתן לאיינה באמצעות טרנספורמציית כיול. ומשום כך לעולם לא נוכל להיתקל בקונפיגורציה ממשית של שדות מגנטיים הנגזרת מפוטנציאל וקטורי שהוא גרדיאנט טהור, או קונפיגורציה ממשית של שדות חשמליים הנגזרת מפוטנציאל חשמלי שניתן לרושמו כנגזרת חלקית לפי הזמן.

תרגיל: הוכיחו ששדה חשמלי בחלל ריק שנגזר אך ורק מפוטנציאל מגנטי המשתנה בזמן לעולם לא יוכל להיחשב כשדה שהושרה מהתפלגות מטען ממשית.

פיתרון: ממשוואת מקסוול הראשונה נקבל:
\begin{aligned}\rho\,=\,\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\,=\,\epsilon_{0}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{E}\right)\,=\,-\epsilon_{0}\left(\nabla\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\right)\,=\,-\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right).\end{aligned} 
היות ותמיד נוכל לבחור כיול שבו הדיברגנס של הפוטנציאל המגנטי מתאפס, והיות ובחירת הכיול אינה משפיעה על התוכן הפיזיקלי של המערכת, הרי שאם צפיפות המטען מתאפסת בכיול בו בחרנו (כיול קולון במקרה זה), היא בהכרח מתאפסת במציאות.

תרגיל: הלגרנז'יאן של חלקיק שמסתו \(m\) ומטענו \(q\) המשובץ בשדה אלקטרומגנטי הנגזר מהפטנציאל הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) והפוטנציאל החשמלי \(\phi\), נתון ע"י
\begin{aligned}\mathcal{L}\,=\,\frac{1}{2}mv^{2}-q\left(\phi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\end{aligned}
(ראו הרשומה הקודמת בטרילוגיה). הראו שטרנספורמציית כיול בסקטור הפוטנציאלים מייצרת תוספת שהיא נגזרת שלמה לפי הזמן (וממילא אין לתוספת כזו משמעות פיזיקלית).


יום שלישי, 9 באוקטובר 2012

...ומהלגרנז'יאן לכוח לורנץ


גזירת הכוח מתוך הלגרנג'יאן היא אמנם נושא די סטנדרטי אבל כאשר מדובר באלקטרומגנטיות יש בו חן מיוחד (...) וממילא רשימתי האחרונה לא תהא שלמה מבלי להראות מפורשות כיצד מגיעים מכאן לכאן. הבה נגדיר מטרתנו במדויק: אנו מעוניינים לקבל את משוואת התנועה של חלקיק שמסתו \(m\), טעון במטען חשמלי \(q\), הנע תחת השפעת שדות חשמליים ומגנטיים חיצוניים התלויים במקום ובזמן.

ללגרנז'יאן המתאר את הפיזיקה של החלקיק בכללותה יש שתי חתיכות: החתיכה הקינמטית \(E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}\) אינה קשורה כלל באלקטרומגנטיות ומבטאת את העובדה שהחלקיק מסיבי, יש לו אינרציה, ומשום כך משוייכת לו אנרגיה קינטית. ובנוסף, והיות והוא נושא מטען חשמלי המבצע אינטראקציה עם השדות האלקטרומגנטיים החיצוניים, גם חתיכה אלקטרומגנטית המתקבלת מאינטגרציה מרחבית על הצפיפות הלגרנז'יאנית

 \begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}\,=\,\underbrace{\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}}_{\mathcal{L}_{\text{חפשי}}}+\underbrace{\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi}_{\mathcal{L}_{\text{'אינט}}}.\end{aligned}
בסיטואציה שבה השדות החיצוניים נכפים, החתיכה החופשית נופלת ואנו נשארים רק עם איבר האינטראקציה \(\mathcal{L}_{\text{'אינט}}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\). כאן \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ו- \(\phi\) הם הפוטנציאלים המשוייכים לשדות החיצוניים (המגנטי והחשמלי, בהתאמה), ו- \(\boldsymbol{j}\) ו- \(\rho\) הם המקורות, היינו צפיפות הזרם וצפיפות המטען המשוייכים לחלקיק.

עבור חלקיק נקודתי טעון במטען חשמלי \(q\), צפיפות המטען היא אינסופית היכן שהחלקיק ממוקם (בכל זמן \(t\) נתון), אפס בכל מקום אחר, ומסתכמת ל-\(q\) באינטגרציה על כל המרחב. הילכך, \(\rho\left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\) היכן ש- \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) הוא וקטור המקום המתאר את מסלול תנועתו של החלקיק (על פונקצייתה דלתא המרחבית של דיראק כתבתי בעבר כאן). מאידך, צפיפות הזרם מתקבלת ממכפלת צפיפות המטען בשדה המהירות שלו עצמו, ולכן
 \begin{aligned}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)=\rho\left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right)=q\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right).\end{aligned}
הלגרנז'יאן מתקבל מאינטגרציה מרחבית על הצפיפות הלגרנז'יאנית אשר כאמור, במקרה של שדות חיצוניים, מכילה רק את איבר האינטראקציה; חשבון מיידי נותן:
\begin{aligned}L_{\text{'אינט}}\left(\boldsymbol{r}\left(t\right),\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\right)&\,=\,\int_{\Omega}\left[q\,\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\left(\boldsymbol{r}\right)-q\,\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\right]\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\\&\,=\,-q\left(\phi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\end{aligned}
וכאן 'העלמתי' את התלויות המפורשות של השדות בוקטור המקום \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) רק לצורך נוחות הקריאה. מעתה והלאה כל שנותר לעשות הוא לחשב במפורש את משוואות אוילר לגראנז' עבור החלקיק עם הלגרנג'יאן
\begin{aligned}L_{\text{מלא}}\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{r}\right)\,=\,\frac{1}{2}mv^{2}-q\left(\phi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right).\end{aligned}
במהלך החשבון אסתמך על זהות וקטורית מוכרת ועל הזהות האופרטורית \(\mathrm{d}/\mathrm{d}t=\partial/\partial{t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla\), המוכחות בנספח המופיע בסוף הרשומה. Let's dance:
\begin{aligned}\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{v}}&\,=\,m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{\mathcal{A}}\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{v}}&\,=\,m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}+q\left[\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}+\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{\mathcal{A}}\right]\\\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{r}}&\,=\,-q\bigg[\nabla\phi-\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\bigg]\,.\end{aligned}
באשר  \(\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\) הוא סימול וקטורי למרכיב \(v_{j}\partial_{i}\mathcal{A}_{j}\) כלומר הקונטרקציה היא בין \(\boldsymbol{v}\) ל- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\). הצגת הביטויים במשוואת אויילר-לגרנז'
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{v}}=\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{r}}\end{aligned}
תיתן עתה
\begin{aligned}m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}&\,=\,q\left(-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\right)+q\underbrace{\bigg[\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)-\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{\mathcal{A}}\bigg]}_{\displaystyle\equiv\;\boldsymbol{v}\times\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)}\\&\,=\,q\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\right).\end{aligned}

זהו. קיבלנו איפה את החוק השני של ניוטון עבור חלקיק טעון הנתון תחת השפעתו של הכוח \(\boldsymbol{F}=q\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\right)\), המוכר בכינויו כוח לורנץ.

במובן מסויים פתרנו בעיה מהסוג של "פרה עם סימטריה כדורית". לא שאין פרות שמרחוק נראות כמו בלון, אבל זה לא הדבר האמיתי עצמו. בפועל, השדות הנפרשים מהחלקיק הטעון מבצעים אינטראקציה עם השדות החיצוניים, משפיעים על הדינמיקה שלהם ומושפעים ממנה בהיזון חוזר; אזי אין להתעלם עוד מהאיבר "החופשי" והמשוואות המתארות את הדינמיקה של החלקיק שוב אינן 'מגולחות למשעי' כמו זו אליה הגענו. מבחינה מקרוסקופית, ובתנאי מעבדה, הקירוב שלנו מצויין; בהיבט המיקרוסקופי אין להתעלם עוד מהאינטראקציה של החלקיק עם השדות החיצוניים (ועם עצמו!) ואז התיקון מגיע בדמותה של QED. אולי אגיע לזה מתישהו, לא בעתיד הקרוב.

ויחד עם זאת, לכוח לורנץ יש שורשים עמוקים; ראשית הביטוי \(\mathbb{E}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\) מכונה עוצמה חשמלית (electrical intensity); בדומה למשוואות מקסוול עצמן, זהו גודל אינווריאנטי תחת טרנספורמציות גליליי (כן, גליליי... גם ארבע משוואות מקסוול עצמן אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית גליליי. מי שאיננו אינווריאנט תחת טרנספורמציות גליליי הם קשרי המבנה של הואקום). כוח לורנץ עצמו, \(\boldsymbol{F}=q\mathbb{E}\) הוא המרכיב המרחבי של ארבע-וקטור הכוח ביחסות פרטית אותו ניתן לגזור כקונטרקציה של הטנזור האלקטרומגנטי עם ארבע-וקטור הזרם. אבל טרם דיברתי בזאת ולכן על הסגולות האלו ארחיב בפעם אחרת (+ מילים ספורות בחלק השני של הנספח מטה).


תרגילים:
  1. הראו שהתנע הקנוני של החלקיק הטעון, הצמוד לקואורדינטת המקום, ניתן ע"י \(\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{\mathcal{A}}\), ולכן ההמילטוניאן של החלקיק הוא \begin{aligned}\mathscr{H}\,=\,\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-q\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)^{2}+q\phi\,.\end{aligned} קבלו עתה את משוואות התנועה בפורמליזם ההמילטוניאני.
  2. צאו מתוך הנחה שחלקיק טעון יכול לבצע אינטראקציה עם השדות המושרים מעצמו (למה לא, בעצם?), כך שבנוסף לאיבר האינטראקציה גם האיבר החפשי בצפיפות הלגרנז'יאנית \(\mathcal{L}_{\text{חפשי}}=\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}\) רלוונטי לצורך קבלת הלגרנז'יאן המלא של החלקיק. הראו שעבור חלקיק חופשי (כלומר בהיעדר שדות חיצוניים כלשהם) מתקבל הלגרנז'יאן \begin{aligned}{L}_{\text{מלא}}\left(\boldsymbol{v}\right)\,=\,\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^{2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\end{aligned} כלומר הסקטור האלקטרומגנטי כולו מצטמצם לכדי נגזרת מלאה לפי הזמן. מכאן שבתורה הקלאסית אין תגובות-עצמיות (self-interactions).


נספח:
  1. נחשב את הנגזרת המלאה לפי הזמן של שדה הזרימה הכללי \(\boldsymbol{X}\), נניח חלקות ונעבוד בקואורדינטות קרטזיות. היות ושדה הזרימה עשוי להיות תלוי בזמן גם באופן מפורש, וגם דרך "שדה המקום" המצביע לעבר כל אלמנט של \(\boldsymbol{X}\), דהיינו \(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{r}\left(t\right),t\right)\), נקבל: \begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{X}&\,=\,\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{t}}\mathrm{d}t+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{x}}\mathrm{d}x+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{y}}\mathrm{d}y+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{z}}\mathrm{d}z\\\Rightarrow\quad\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}&\,=\,\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{t}}+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{x}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{y}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{z}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\\&\,=\,\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{t}}+\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{X}\,.\end{aligned} ומכאן מתקבלת הזהות האופרטורית \(\mathrm{d}/\mathrm{d}t=\partial/\partial{t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla\).
  2. נוכיח את הזהות המופיעה בשלב האחרון בחישוב כוח לורנץ (כרגיל, נעשה שימוש בהסכם הסומציה): \begin{aligned}\big[\boldsymbol{v}\times\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\big]_{i}&\,=\,\epsilon_{ijk}v_{j}\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)_{k}\\&\,=\,\epsilon_{ijk}\epsilon_{k\ell{m}}v_{j}\partial_{\ell}\mathcal{A}_{m}\\&\,=\,\left(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\right)v_{j}\partial_{\ell}\mathcal{A}_{m}\\&\,=\,v_{j}\partial_{i}\mathcal{A}_{j}-v_{j}\partial_{j}\mathcal{A}_{i}\\&\,=\,\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)_{i}-\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\mathcal{A}_{i}\,.\end{aligned} ולאלו המתמצאים בניסוח הטנזורי של התורה (עליו אולי ארחיב ברשומות עתידיות), שימו לב ש- \begin{aligned}v_{j}\partial_{i}\mathcal{A}_{j}-v_{j}\partial_{j}\mathcal{A}_{i}\,=\,\underbrace{v_{j}\left(\partial_{i}\mathcal{A}_{j}-\partial_{j}\mathcal{A}_{i}\right)}_{\displaystyle\equiv\;\epsilon_{ijk}v_{j}B_{k}}\,=\,v_{j}f_{ij}\end{aligned} כלומר הענף המגנטי של כוח לורנץ מתקבל כקונטרקציה של וקטור הזרם התלת-מימדי \(\mathrm{j}_{j}\equiv{q}v_{j}\) עם המרכיב המרחבי \(f_{ij}\) של הטנזור האלקטרומגנטי \(F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}{A}_{\nu}-\partial_{\nu}{A}_{\mu}\) באשר \(A_{\mu}\equiv\left(\phi/c,-\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\). באופן דומה, ארבע-וקטור הכוח ביחסות פרטית מתקבל כקונטרקציה של ארבע-וקטור הזרם \(J^{\mu}=\left(qc,q\boldsymbol{v}\right)\) עם הטנזור האלקטרומגנטי \(F_{\mu\nu}\) והמרכיב המרחבי שלו הוא כוח לורנץ על שני ענפיו, המגנטי והחשמלי. 

לחלק השלישי בטרילוגיה



יום ראשון, 30 בספטמבר 2012

הלגרנGיאן של התורה האלקטרומגנטית


ברשומה הזו אכיל את הפורמליזם הלגרנז'יאני על התורה האלקטרומגנטית מנקודת מבט תלת-מימדית ובגישה לא כל כך שגרתית... עוד לא נגעתי בבלוג בתאור האינווריאנטי ה- \(n\)-מימדי, וגם לא בתאור האינווריאנטי האין-מימדי של התורה. זה האחרון (כמעט פסגת היופי של הניסוח המדעי לטעמי) יגיע בתורו רק לאחר שאטפל בחוקי הטרנספורמציה והוא מצריך שפה מתמטית משוכללת בהרבה. אבל ראשית, הנה רשימה של השדות הרלוונטיים:

  • \(\rho\left(\boldsymbol{r}\right)\) - צפיפות המטען החשמלי;
  • \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - צפיפות הזרם החשמלי;
  • \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - שדה העירור החשמלי;
  • \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - שדה העירור המגנטי;
  • \(\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - השדה החשמלי;
  • \(\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - ההשראה המגנטית;
  • \(\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\) - הפוטנציאל החשמלי;
  • \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - הפוטנציאל המגנטי;

על יחסי הגומלין בין ששת הראשונים הרחבתי ברשומה קודמת על הארבעון האלקטרומגנטי.

טענה: הזוג הראשון של משוואות מקסוול נגזר מהצפיפות הלגרנז'יאנית

\begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\partial\boldsymbol{\mathcal{A}},\partial\phi\right)&=\,\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}+\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\end{aligned}

באשר שדות הפוטנציאל \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ו- \(\phi\) ממלאים את תפקיד הקוארדינטות המוכללות של התורה, הם ורק הם. ומנגד, שדות העירור \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) הם מעין "שדות-רקע" אשר הדינמיקה שלהם תיקבע באמצעות עיקרון הוריאציה אותו ניישם על שדות הפוטנציאל.

מתמטית, שדות העירור הם סוג של כופלי לגרנג', המאלצים על התורה את הפיתרון הפורמלי המתקבל מהצמד השני של משוואות מקסוול, המתאר כזכור את האילוץ להיעדר מטענים מגנטיים. משמעות הדבר היא שאת השדות \(\boldsymbol{E}\) ו-\(\boldsymbol{B}\) יש לראות ככינויים מקוצרים לגדלים \(\left(-\nabla\phi-\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}/\partial{t}\right)\) ו- \(\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\) בהתאמה. 

הערת-אגב: על פי הטענה דלעיל רק הפוטנציאלים צמודים למקורות (שימו לב להנחת הלינאריות); לכן החתיכה \(\mathcal{L}_{\text{חפשי}}=\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}\) מכונה הצפיפות הלגרנג'יאנית החפשית (זהו האיבר הקינטי הקשור בשדה האלקטרומגנטי) ואילו החתיכה \(\mathcal{L}_{\text{'אינט}}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\) מכונה איבר האינטראקציה.

הבה ניגש עתה להוכחת הטענה: נציג את התלות המפורשת של השדות החשמליים והמגנטיים בפוטנציאלים, נשתמש בשתי הזהויות האופרטוריות הוקטוריות (השנייה מוכחת כאן ישירות בכתיב רכיבי עם הסכם הסומציה),

  • \(\nabla\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)=\left(\nabla\phi\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\)
  • \(\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)=\partial_{i}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)_{i}=\)\begin{aligned}[t]&=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\left(\mathcal{A}_{j}\mathcal{H}_{k}\right)=\epsilon_{ijk}\big[\left(\partial_{i}\mathcal{A}_{j}\right)\mathcal{H}_{k}+\mathcal{A}_{j}\left(\partial_{i}\mathcal{H}_{k}\right)\big]\\&\,=\,\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\end{aligned} 
ונקבל עבור הצפיפות הלגרנז'יאנית:

\begin{aligned}\mathcal{L}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\ldots\right)&\,=\,-\;\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\nabla\cdot\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\\&\phantom{\,=\,}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\:\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\,+\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\,-\,\rho\phi\,.\end{aligned}

נארגן מחוברים מחדש ונציג את הצפיפות הלגרנז'יאנית שהתקבלה בפונקציונל הפעולה:

\begin{aligned}S\left[\boldsymbol{\mathcal{A}},\partial\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\partial\phi\right]&\,=\,\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\Omega}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\Big[-\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\\&\phantom{\,=\,}-\,\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\Big].\end{aligned}

כאן \(\Omega\) מייצגת את התחום עליו מתבצעת האינטגרציה המרחבית, וכן \(t_{1}<t_{2}\). עיקרון הווריאציה בנוי כך שמשוואות התנועה מתקבלות מהמינימיזציה של פונקציונל הפעולה תחת שינוי אינפיניטסימלי \(\tilde{\delta}\) במסלול של הקואורדינטות המוכללות עם אותן נקודות התחלה וסיום; במקרה של תורת שדות קלסית, כמו זו המצוייה תחת ידנו, "מסלול התנועה" הוא נפחי, כלומר הוריאציה מתבצעת על שדות הפוטנציאל בכל נקודה ונקודה בנפח, למעט על השפה \(\partial\Omega\) של אותו הנפח. שימו לב שהיות ושדות העירור עצמם אינם נלקחים כמשתנים דינאמיים, הם לא משחקים כל תפקיד במהלך הווריאציה.

האיבר עם הדיברגנס אינו תורם לווריאציה משום שניתן לתרגמו באמצעות משפט הדיברגנס לאיבר שפה, היכן שהווריאציה על השדות ממילא מתאפסת:

\begin{aligned}S_{\text{גבול}}&\,=\,-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\Omega}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\;\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\\&\,=\,-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\\\Rightarrow\quad\tilde{\delta}{S}_{\text{גבול}}&\,=\,\frac{\partial{S}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}+\frac{\partial{S}}{\partial\phi}\tilde{\delta}\phi\\&\,=\,-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,\cdot\left[\left(\tilde{\delta}\phi\right)\boldsymbol{\mathcal{D}}+\left(\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right]\,=\,0\,.\end{aligned}

כיצד חישבתי את האיבר הנגזר לפי הוקטור \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\)? הבה נראה:

\begin{aligned}\frac{\partial{S}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}&\,=\,\tilde{\delta}\mathcal{A}_{i}\frac{\partial}{\partial\mathcal{A}_{i}}\left(\epsilon_{k\ell{m}}\mathrm{d}S_{k}\mathcal{A}_{\ell}\mathcal{H}_{m}\right)=\tilde{\delta}\mathcal{A}_{i}\delta_{i\ell}\epsilon_{k\ell{m}}\mathrm{d}S_{k}\mathcal{H}_{m}\\&\,=\,\epsilon_{kim}\mathrm{d}S_{k}\left(\tilde{\delta}\mathcal{A}_{i}\right)\mathcal{H}_{m}=\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\left(\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right).\end{aligned}

טוב, נסלק עתה את איבר השפה שבפעולה, שכאמור אינו תורם למציאת משוואות התנועה, ונשאר עם הצפיפות הלגרנז'יאנית

\begin{aligned}\mathcal{L}^{\ast}\,=\,\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\end{aligned}

אמנם מבחינה מתמטית \(S^{\ast}\left(\mathcal{L}^{\ast}\right)\neq{S}\left(\mathcal{L}\right)\), והרי שתי הפעולות נבדלות זו מזו באיבר שפה, אבל התוכן הפיזיקלי שלהן זהה לחלוטין מאחר והפעלת הווריאציה על שתיהן מתלכדת,  \(\tilde{\delta}{S}^{\ast}\left(\mathcal{L}^{\ast}\right)=\tilde{\delta}{S}\left(\mathcal{L}\right)\). הילכך נוכל להשתמש במשוואות לגרנג' המתקבלות מהצפיפות לגרנג'יאנית \(\mathcal{L}^{\ast}\) כדי לקבל את משוואות התנועה הרלוונטיות עבורנו. משוואות לגרנז' שלנו תהינה אם כן

\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}\,=\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left[\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\right)}\right]\;,\quad\displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\phi}\,=\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left[\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\right)}\right]\end{aligned} 
והצבה של \(\mathcal{L}^{\ast}\) מלמעלה נותנת מיד (רואים זאת בעיניים, ממש אין צורך לחשב):

\begin{aligned}0&\,=\,\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\rho\,,\\-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&\,=\,-\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}+\boldsymbol{j}\end{aligned}

קיבלנו איפה את הצמד הראשון של משוואות מקסוול :)  שימו לב שנקודת המוצא מצריכה היכרות עם הזוג השני של משוואות מקסוול שפתרונו הפורמלי מנפק את התלות המלאה והמפורשת של הלגרנג'יאן בשדות הפוטנציאל. בסופו של יום את הלגרנז'יאן של התורה בנינו אד-הוק: חיפשנו פונקציה שהפעלת עיקרון הוריאציה עליה תייצר את הזוג הראשון תוך שאנו מאלצים את קיומו של הזוג השני...

על פניו ניראת גישה זו פחות טבעית ואולי גם פחות אלגנטית מהגישה שקידמנו כאן וכאן, וחשיבותה נעוצה לכאורה רק בלינקייג' שהיא מייצרת עם עקרון הווריאציה המרכזי כל כך בפיזיקה. אבל לדעתי אין זה באמת כך: בשתי הגישות הזוג השני הוא אילוץ הכרחי שמקורו בעובדות החיים (אין מטענים מגנטיים). בגישה של עיקרון הפעולה הפוטנציאלים משחקים תפקיד מרכזי כיאה וכראוי ואולם אופן הצימוד שלהם למקורות נקבע כאנזץ. זאת ועוד, הגישה הלגרנג'יאנית מנפקת ישירות את כוח לורנץ (מבלי להניח הנחות נוספות), ועל כך אולי ברשומה נפרדת.

אם נציג עתה את הזוג הראשון של משוואות מקסוול חזרה בפונקציונאל הפעולה המקורי (זה שמכיל גם את איברי השפה) נקבל את ערך המינימום של הפעולה, המיוחס ללגרנז'יאן איתו התחלנו, \(\mathcal{L}_{\text{EM}}\):

\begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}^{פעולה  מינימלית}\,=\,-\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\end{aligned}  
מתוך תהליך הבנייה שביצענו ברור שמתקיים \(\tilde{\delta}\mathcal{L}_{EM}^{מינימום}=0\). היות וכל הנגזרות החלקיות מתחלפות עם הווריאציה נקבל במקרה זה

\begin{aligned}0\,=\,-\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\nabla\cdot\left(\tilde{\delta}\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\end{aligned}  
כלומר  "צפיפות המטען" האפקטיבית \(\tilde{\rho}\,=\,\boldsymbol{\delta\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו"צפיפות הזרם" האפקטיבית \(\tilde{\boldsymbol{j}}\,=\,\delta\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\delta\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\)  מקיימות את משוואת הרציפות! מהי המשמעות של הדבר איני יודע ואשמח אם מישהו יאיר את עיני.

ולבסוף, איך אפשר לדבר גבוהה-גבוהה בשפה הלגרנז'יאנית בלי להזכיר בכמה משפטים את הפורמליזם ההמילטוניאני? ובכן, אפשר אבל לא רצוי... קבלו-נא הצגה המילטוניאנית בחמש מערכות:

  1. הראו שהתנעים הקנונים המתאימים למשתנים המוכללים \(\phi\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ניתנים בהתאמה על-ידי \(\boldsymbol{\pi}_{\phi}=0\) ו- \(\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}=-\boldsymbol{\mathcal{D}}\). כלומר שדה ההעתק הוא התנע הקנוני הצמוד לפוטנציאל המגנטי, ואילו התנע הקנוני הצמוד לפוטנציאל החשמלי מתאפס...
  2. בצעו טרנספורמציית לז'נדר מתאימה על הצפיפות הלגרנז'יאנית \(\mathcal{L}_{\text{EM}}\) וקבלו את הצפיפות ההמילטוניאנית \begin{aligned}\mathscr{H}_{\text{EM}}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}\right)\,=\,\nabla\phi\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}-\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\rho\phi\end{aligned} וכרגיל, ההשראה המגנטית נגזרת מהפוטנציאל המגנטי באמצעות הרוטור, \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\).
  3. הראו שלמעט אברי שפה כלשהם (שאינם רלוונטים במינימיזציה של הפעולה) ההמילטוניאן הנ"ל שקול לחלוטין להמילטוניאן \begin{aligned}\mathscr{H}^{\ast}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi\right)\,=\,\left(\rho-\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\phi+\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\boldsymbol{j}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\end{aligned}
  4. השתמשו עתה במשוואות המילטון \begin{aligned}&\frac{\partial\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}}{\partial{t}}\,=\,-\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}+\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial{x}_{i}}\left[\displaystyle\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{x}_{i}}\right)}\right]\\&\frac{\partial\boldsymbol{\pi}_{\phi}}{\partial{t}}\,=\,-\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\phi}+\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial{x}_{i}}\left[\displaystyle\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial{x}_{i}}\right)}\right]\end{aligned} כדי לקבל במיידית את הזוג הראשון של משוואות מקסוול.
  5. ולבסוף, כיתבו את ההמילטוניאן כפונקציה של השדות והתנעים הצמודים להם והראו שמתקבלות משוואות המילטון בגירסתן המוכרת, \begin{aligned}\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\left(\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}\right)}=\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\,,\quad0=\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\,.\end{aligned}


יום חמישי, 9 באוגוסט 2012

The Mess about Mass - חלק שלישי


לכל גוף חומרי מסיבי צמודה מערכת יחוס בה הוא נמצא במנוחה, היא מערכת המנוחה של הגוף. מערכת המנוחה של הגוף איננה בהכרח מערכת התמד. למשל, מערכת המנוחה של גוף הנמצא בתאוצה אינה מערכת התמד משום שכוחות מדומים מופיעים בה. ואולם דבר אחד מובטח לנו בכל מקרה: תהא מערכת המנוחה של הגוף החומרי אשר תהא, תמיד נוכל לבצע טרנספורמציה ממערכת המנוחה שלנו למערכת המנוחה של הגוף.

ובפרט, תנועה במהירות קצובה שקולה לחלוטין למנוחה. לכן אין זה כלל משנה מהי המהירות של מערכת התמד מסויימת ביחס למערכת התמד אחרת: כל עוד המדובר במערכות התמד, הרי שגם אם מהירותן היחסית היא \(0.999999\%\) ממהירות האור, חוקי הפיזיקה בהכרח זהים בשתיהן, הואקום הוא בדיוק אותו הואקום ומהירות האור כפי שהיא תימדד על ידי צופים שונים בכל אחת מהן תהא בדיוק אותה מהירות האור. אכן כן, אין כל הבדל בין המערכות גם אם מספר התשיעיות אחרי הנקודה העשרונית הוא מיליארד בחזקת מיליארד, הגם שאין זה מעשי לייצר מהירויות יחסיות כאלו. 

לכן אין כל הגיון בתמונת העולם שבה התנועה לבדה בשדה ההיגס מייצרת אינרציה (מסה). לתנועה אין כל קשר לזה, אלא אם קוראים לכם אריסטו. תחת זאת נכון אולי יהיה לומר שתכונה מסויימת המייחדת את שדה ההיגס מכל שאר השדות הקוונטיים, משנה את המצב הפיזיקלי הבסיסי של חלק מהחלקיקים. והתכונה הזו היא המבנה "המיוחד" של הפוטנציאל שלו שהופך אותו לסוג של טכיון באנרגיות נמוכות. מדוע טכיון? משום שהאנרגיה הקינטית שלו היא שלילית ולכן המסה מופיעה כמספר מדומה (...) מדוע רק באנרגיות נמוכות? משום שפונקציית הפוטנציאל של ההיגס מכילה בנוסף גם איבר שהולך כמו החזקה הרביעית של השדה והוא חוסם את האנרגיה מלמטה.

זהו מודל אד-הוק, וככל הידוע לי אין הוא נובע מעיקרון פיזיקלי בסיסי כלשהו. באמצעותו אפשר לבשל "שבירת סימטריה" כך שחלק מהחלקיקים יהיו חסרי מסה (מצב 'טבעי' מאוד) וחלקם לא, וזו תוחלתו. יש עוד כמה כמוהו, כל אחד וחסרונותיו עימו, זה של ההיגס הוא כנראה "הנקי" מכולם, ומסיבות שאיני מכיר, גם העדיף מבחינתם של רוב התאורטיקאים. אבל היות ומדובר במכניזם אד-הוק, לא מעט מסתייגים ממנו או לכל הפחות חשים איזו אי-נוחות.

מסה היא כזכור מטען של התמד וביטוי לעצמת האינטראקציה הכבידתית. מצב ללא מסה הוא מצב ללא מערכת מנוחה; לחליפין, קיומה של מסה מחייב קיום מערכת מנוחה. אך מה בנוגע למטענים מסוגים אחרים, המטען החשמלי למשל? האם נוכחותו של זה מחייבת קיומה של מערכת מנוחה? ובכן, עד לפני כמה שנים הייתי שולף מהמותן תשובה שלילית. אחרי ככלות הכל, המודל הסטנדרטי שופע דוגמאות של חלקיקים חסרי מסה הנושאים מטענים מסוגים אחרים: שמונת הגלואונים של QCD הם אמנם חסרי מסה אבל טעונים במטען של צבע. הבוזונים הוקטורים של האינטראקציות החלשות, \(W^{\pm}\) טרום שבירת הסימטריה, הם חסרי מסה אבל טעונים במטענים חשמליים.

ובכן, היום איני שלם עוד עם התיאור הזה. קו המחשבה שלי הוא כזה: אם חלקיק חסר מסה טעון במטען חשמלי, אז היות ואין לייחס לו מערכת מנוחה לא ניתן גם לשייך לו שדה אלקטרוסטטי. אילולא כן, בהכרח קיימת הייתה מערכת (מנוחה) שבה השדה הוא סטטי... חלקיק טעון ללא שדה אלקטרוסטטי? נשמע קצת מוזר. אם כך, האם יתכן שהשיוך של תכונת המטען לחלקיק עצמו הוא שריד של חשיבה קלאסית שכלל ועיקר איננה קומפטבילית עם המבנה של התורה הקוונטית?

אחרי ככלות הכל, ובניגוד לגישה הקלאסית, דרגות החופש הבסיסיות בתורות השדה הקוונטיות הן לא החלקיקים האלמנטריים אלא השדות עצמם. החלקיקים האלמנטריים הם עירורים בשדה הקוונטי, עירורים להם ניתן לשייך מאפיינים דינמיים דוגמת מיקום, תנע, אנרגיה וכיו"ב (עד כדי המגבלות האובייקטיביות שמציב בפנינו עיקרון אי הודאות). אם אותם עירורים יושבים על קונוס האור, הרי שהמצב הקוונטי המתאר אותם בכללותם משולל מערכת מנוחה. ומנגד, אם העירורים יושבים בתוך קונוס האור הרי שהמצב הקוונטי המתאר אותם מתאפיין (בין השאר) בקיומה של מערכת מנוחה. אבל מה בנוגע למטענים הלא כבידתיים?

לעניות הבנתי כל סוגי המטענים למיניהם, כבידתיים כלא-כבידתיים, אינם מאפיינים ישירים של החלקיקים האלמנטריים (שהם, כאמור, עירורים בשדות קוונטיים) אלא מאפיינים ישירים של השדות עצמם. הללו באים לידי ביטוי באינטראקציה של החלקיקים האלמנטריים, בינם לבין עצמם ובינם לבין השדות המשרים אותם. נאמר זאת כך: לא העירור נושא את המטען, אלא השדה עצמו ואולם המטען בא לידי ביטוי כעוצמת האינטראקציה. הפרשנות הזו מייתרת את הצורך להצמיד לחלקיק האלמנטרי מטען אשר קורן את השפעתו למרחב, ובה בעת לטעון שאין בנמצא מערכת מנוחה בה ההקרנה הזו תיראה רדיאלית.

וזה מביא אותי להסבר המופרך האחרון בסירטון של אליס ששחררה CERN. כיצד יכול איש תורת השדות הקוונטיים להמשיל את חלקיק ההיגס לפתיתי השלג המרכיבים את השלוגית ההיגסית? חלקיקים אלמנטריים הם עירורים בשדה קוונטי ולא 'אטומים' מהם מורכב השדה הקוונטי. חייב אתה להעניק לשדה הקוונטי אנרגיה מינימלית מספקת כדי לייצר את העירורים הללו; בלעדי תוספת אנרגיה זו אין הם קיימים, אלא קיום שבכוח. כמובן שהשדה עצמו עשוי לייצר עירורים באופן ספונטני בכפוף לחוקי שימור למיניהם ובכפוף לעיקרון אי הודאות. אבל לעניות דעתי השדה הקוונטי היחסותי הוא בר-הקיימא, לא העירורים. האם יש מי שסבור אחרת?

סיפא (10/8/12): אני מודע לעובדה שלא קל להסביר את הרעיונות הללו למי שלא בא מהתחום. עוד פחות מכך קל לשכנע שיש בכוחה של המתמטיקה לבאר ולהאיר מה שבכל שפה אנושית אחרת נראה מעורפל, מתחמק, רדוד או חסר בסיס. אבל חוסר האונים הזה אינו מצדיק הסברים כלאחר-יד. אפשר להניח שכל מי שמצוי בתחום לא יפול בפח. אבל מה לגבי מי שמתעתד ללומדו? איזה רושם ראשוני הוא מקבל מסיפורי הבדים הללו וכמה מיסקונספציות עליו להשיל בטרם יראה נכוחה? אני מבין את הצורך לרצות את סקרנותו של הציבור שבסופו של דבר מממן את מסעות הגילוי של הפיזיקה. אבל לא בכל מחיר, ודאי לא במחיר של הולכת שולל. מדע טוב שואב את כוחו מן האמת ואל לעוסקים במלאכה (ואל לנו) להתפשר בה אף לא הקל שבפשרות. והרי מן האמת הם שואבים את כוחם ומבלעדיה אין להם דבר. לכן המעט שניתן לעשות הוא להשתדל להיצמד לה ככל הניתן.





יום חמישי, 2 באוגוסט 2012

The Mess about Mass - חלק שני


על פי ההגדרה הקלסית, חלקיקים אלמנטריים הם ממשויות פיזיקליות ללא מבנה פנימי. מתוך ההגדרה נובע שחלקיקים אלמנטריים הם נקודתיים (אלא אם כן המרחב-זמן עצמו הוא בדיד, אבל אני אינני מסוגל לדמיין מציאות שכזו). הדינמיקה של החלקיקים נקבעת על פי שיוכם לסקטורי הכוחות. ככל הידוע לנו כיום, סקטורי הכוחות השונים מושרים מסימטריות לוקליות המתקיימות במציאות ומתחייבות מתוך עקרונות פיזיקליים בסיסיים.

עוצמת האינטראקציה שקולה פחות או יותר למה שאנו מכנים בשם מטען. אנו מכירים ארבע סוגי אינטראקציות ולכן מוכרים ארבעה סוגי מטענים: כבידתי, חשמלי, גרעיני חלש, וגרעיני חזק, המכונה גם 'צבע'. אבל לא כל החלקיקים "מכילים" את כל המטענים (הסיבה למרכאות תבואר בהמשך). למשל, כל הלפטונים לא מגיבים צבעית, הניטרינים לא מגיבים חשמלית וכ'. כל סוג של תגובה מתרחש באמצעות "נשאי כוח", מעין מתווכים המתקבלים בתהליך הקוונטיזציה של תורת השדות המתארת את השחקנים בזירת ההתרחשויות.


יוצא מן הכלל בסיפור הזה הוא סקטור הכבידה. לא מדובר בהבדל מהותי: גם סקטור הכבידה מושרה מסימטריה לוקלית, במקרה זה מהסימטריה המקומית המתקיימת בין כל מערכות ההתמד. אבל את תורת הכבידה אין יודעים כיצד לקוונטט באופן שתתקבל תורת הפרעות רנורמזבילית ולכן נשאי הכוח לא יכולים להיות מתוארים כחלקיקים קוונטים, מה שמאלץ אותנו להסתפק בכלים של הגיאומטריה. ואכן, תורת היחסות הכללית הדנה בכבידה היא סוג של תורת שדות לא קוונטית שבה הגיאומטריה לבדה קובעת את הדינמיקה. האנלוג הכבידתי לנשא הכוח בתורת יאנג-מילס הוא הקישורת (connection) בתורת הכיול של חבורת הספין, השקולה (עד כדי קונטרקציה עם טטרדות) לזו של הגיאומטריה הרימנית אותה אפשר לתאר באמצעות סימן קריסטופל. במלים אחרות, קוונטיזציה של הקישורת הזו, אם היתה אפשרית, היתה מנפקת את הגרביטונים.


והיה ואפשר היה לקוונטט את נשא הכוח הכבידתי, היינו מקבלים גרביטונים, האנלוג הכבידתי המושלם לפוטונים (נשאי הכוח האלקטרומגנטי), לגלואונים (נשאי הכוח החזק) ולבוזונים הוקטוריים (נשאי הכוח החלש). במבט ראשון נראה שהתורה ההיולית העומדת בבסיסו של המודל הסטנדרטי של החלקיקים האלמנטריים היא עקבית רק אם כל נשאי הכוחות הם חסרי מסה שאם לא כן, אין הלגרנג'יאן נשמר תחת טרנספורמציות כיול בסקטורי הכוחות השונים וכל המבנה האידילי מתפרק. בפועל הפוטונים הגלואונים (וגם הגרביטונים, אם הם קיימים במציאות) אכן חסרי מסה אבל, נרצה או לא נרצה, וקטורי הכיול של האינטראקציות החלשות הם מסיבים.


נכון להיום אין לנו כבידה קוונטית קונסיסטנטית. תורת המיתרים אמנם מתיימרת להיות כזו אבל לפי שעה אין לה כל ביסוס אמפירי, היא לא מובנת למפתחיה כתורה סופית, והיות ואני בור גמור בתחום, אמנע מלהתייחס אליה. ברור אם כן שתיאור המציאות לא נגמר במודל הסטנדרטי, יש רובדים רבים הנסתרים מעיננו, יש אפילו בורות חשוכים במודל הסטנדרטי עצמו, ואותי מפתיע כל פעם מחדש להיווכח שיש כאלו המופתעים מכך...


כדי שחלקיקים אלמנטריים מסויימים יגיבו 'צבעית' עם חלקיקים אלמנטריים אחרים עליהם להתאפיין ב"מטען" צבעי (אנו מכנים מטען זה בשם "צבע" אבל כמובן שאין לכך כל קשר לצבע המוכר לנו מחיי היום-יום). באופן דומה, כדי שחלקיקים יגיבו זה עם זה אלקטרומגנטית עליהם להתאפיין במטען חשמלי. כאמור מעלה, ששת הלפטונים אינם נושאים מטען של צבע ולכן לא מגיבים צבעית עם כלום. ששת הקוורקים ושלשת הלפטונים האלקטרוניים נושאים מטען חשמלי ולכן מגיבים חשמלית זה עם זה ועם עצמם. הניטרינים אינם נושאים מטען חשמלי ולכן שקופים לתגובות אלקטרומגנטיות, וכך הלאה.


חלקיקים אלמנטריים הנושאים את המטען הכבידתי ודאי יגיבו זה עם זה, גם אם עוצמת התגובה חלשה להפליא. המטען הכבידתי מכונה בפינו בשם מסה ובהמשך, כשאחזור לדון על ההיגס, אף אבחין בין המושג "מסת התמד" ובין המושג "מסה כבידתית". שימו לב, בדברי על תגובה כבידתית הדדית, איני מתכוון לאינטראקציה בין נשאי הכוח כלומר בין גרביטונים, אלא לאינטראקציה בין נשאי המטען (אשר בתורת שדה קוונטית מתרחשת באמצעות החלפת נשאי כוח). אגב, נשאי הכוח עצמם לא ממהרים להגיב זה עם זה אלא אם מדובר בתורת כיול לוקאלית לא אבלית מקוונטטת.


יש חלקיקים הנושאים מטען מסוג אחד ונעדרים מטען מסוג אחר. וכך, בהחלט יתכן שחלקיקים מסויימים יחסרו את המטען הכבידתי. במקרה כזה אנו אומרים שהם חסרי מסה. פוטונים וגלואונים, למשל, הם חלקיקים אלמנטריים חסרי מסה. אבל כאן יש קאץ' קטן. היות ומסה שקולה לאנרגיה, והיות וכל חלקיק נושא עימו אנרגיה, כל החלקיקים האלמנטריים ללא יוצא מן הכלל (גם אלו שאינם נושאים את המטען הכבידתי) מגיבים כבידתית. זאת הסיבה, למשל, שפוטונים, שאין להם כלל מסה "נופלים" לעבר גוף מסיבי הנקרה בדרכם.


הסיבה הראשונית לכך שכל החלקיקים האלמנטריים מגיבים עם כבידה היא שכולם, ללא יוצא מן הכלל (טוב, עד כמה שידוע לנו היום) משובצים במרחב-זמן ולכן הדינמיקה שלהם מושפעת מהעקמומיות שלו. אבל לא כל החלקיקים 'משובצים' במרחבים המופשטים הנפרשים על ידי חבורות הסימטריה הפנימית, אלו המשרות את סקטורי הכוחות האחרים. וחלקיק שאינו משובץ על פי טבעו במרחב כזה, לא חש את עקמומיותו וממילא אין הדינמיקה שלו מושפעת ממנו. משובצים במרחב הסימטריה פירושו יושבים בהצגות של חבורת הסימטריה, מאכלסים מולטיפלטים של חבורת הסימטריה. דוגמאות:


קוורקים, למשל, משובצים במרחב הסימטריה של החבורה \(SU\left(3\right)\) ולכן חשים את הכוח החזק הנובע מהעקמומיות במרחב זה המבוטאת כידוע באמצעות התבנית הטנזורית \(F=\sum_{a}F_{\mu\nu}^{a}t^{a}\,\mathrm{d}x^{\mu}\wedge\mathrm{d}x^{\nu}\), האינדקס \(a\) רץ על יוצרי חבורת הסימטריה. הלפטונים למיניהם, ללא יוצא מן הכלל, אינם משובצים במרחב הסימטריה הזה ולכן כלל לא מושפעים מעקמומיותו, וממילא גם לא מגיבים צבעית. הניטרינים אינם משובצים במרחב הסימטריה \(U\left(1\right)\) (עובדה מעניינת כשלעצמה) ולכן לא סופרים את האלקטרומגנטיות ממטר... גם הלפטונים וגם הקוורקים משובצים במרחב הסימטריה \(SU\left(2\right)\) ולכן מגיבים חלש אחד עם השני. וכך הלאה.


O.K, עתה אפשר סוף כל סוף לחזור להיגס... ובכן, כל העיתונים והעיתונאים מספרים לנו שאילולא ההיגס, כל עולמנו היה חסר מסה וכל החלקיקים היו נעים במהירות האור. למרבה הצער אמירות מסוג זה תואמות את הסטריוטיפ בנוגע לדרגת האמינות של העיתונאים (בהקשר זה אולי כדאי שאסכור את פי); בפועל מדובר בקישקוש. וכל זאת למה? משום שעיקר המסה של המזונים והבריונים (פיונים, פרוטונים, ניטרונים, וכל מצב קשור של שניים שלושה או יותר קוורקים) מגיע מאנרגיית הקשר. אם אינני טועה, למעלה מתשעים אחוז.


לכן, גם אם הקוורקים היו חסרי מסה לחלוטין, הרי שבהיעדר ההיגס, עדיין יהיו הפרוטונים והניטרונים מסיביים כמעט כמו שהם במציאות. ובכל זאת, היציבות של המבנים האלו היתה נראית אחרת לגמרי ממה שמוכר לנו, וככל הידוע לי בסיטואציה מעין זו דווקא הניטרון יציב יותר מהפרוטון, אבל אל תתפסו אותי במילה, אני באמת לא מתמצא בפרטים הקטנים. מכל מקום, עולם ללא היגס הוא עדיין עולם מסיבי, גם אם שונה מאוד מהעולם המוכר לנו כיום. הבה נאמר זאת כך: על פניו נראה שלא צריך את הואקום ההיגסי כדי שבעולם תתקיים אינרציה, אם כי זו נקודה עדינה ואחזור אליה בהמשך.


ובכל זאת, לחלקיקים האלמנטריים יש מסת מנוחה ולכן אין מנוס מלשאול מהו המנגנון שמייצר אותה. אפשרות אחת היא שהם פשוט לא אלמנטריים אלא מצבים קשורים של משהו אלמנטרי יותר ומסת המנוחה מגיעה מאנרגית הקשר הזו. אבל אחת מהנחות היסוד העומדות בבסיסן של תורות הכיול הלוקאליות גורסת שהחלקיקים היושבים בהצגות של חבורות הסימטריה הם אלמנטריים. ברשותכם לא אכנס לדיון פילוסופי על תוקפה של ההנחה הזו, פשוט אקבל אותה כמו שהיא. ברשומה השלישית (והאחרונה, אני מעריך) אגע עוד בדקויות הקשורות במכניזם של ההיגס ובפרשנויות הרווחות סביבן נסובה ביקורתי.



 לחלק הראשון



יום שלישי, 10 ביולי 2012

The Mess about Mass - חלק ראשון


הרשת מלאה בסרטונים ומאמרים פופולרים המתיימרים להסביר את הקונספט של ההיגס להדיוטות. לעניות דעתי רובם (כמעט) ככולם נכשלים במשימה ונזקו של כל כישלון כזה רב (נימוקים בהמשך). למרבה הצער, הביקורת הפדגוגית שאציג כאן אינה פוסחת גם על הסרטונים הרשמיים ששוחררו על יד CERN. גם אני נתפתתי לשבץ סרטון כזה ברשימתי הקודמת על סאגת ההיגס, ובכך תרמתי את תרומתי הצנועה להולכת שולל... בסדרה של שתי שלוש רשימות אנסה כמיטב יכולתי להכניס קצת סדר בדברים ולהסביר היכן לדעתי יש בעיה באנלוגיות שכה מרבים להשתמש בהם.

ובכל זאת, סרטון אחד מוצלח למדי ומושקע מאוד יש. הסרטון מסביר באופן נאה ושווה לכל נפש את כל הבאז סביב ההיגס, ובאופן יחסי חף ממעידות (למעשה, רק פעם אחד נעתי בחוסר נוחות על הכיסה). לכן, לפני שאני נכנס לכל הטררם, הרי הוא לפניכם:



The Higgs Boson Explained from PHD Comics on Vimeo.


מציאת ההיגס היתה משימה מסובכת מאין כמוה. עתה, לאחר שבועיים של הרצאות שחלק לא מבוטל מהן נסב סביב נושאים טכנולוגיים, אני משוכנע שמדובר באקסודוס המדעי של כל הזמנים. דרגת התחכום והמורכבות של המערכת בכל היבטיה בלתי ניתנת לתפיסה, ואני אפילו לא אבצע נסיון לשכנע את קוראי בכך משום שכל מה שאכתוב כאן יהיה כאין ואפס לעומת המציאות... מקווה בכל זאת לכתוב מתישהו רשומה העוסקת במאיץ עצמו, לא בגלאים. מה שמדהים הוא שהמערכת הזו סיפקה את מה שהיה מצופה ממנה: סיגנלים ברורים בערוצי אינטראקציה הנחזים על ידי המודל הסטנדרטי עם חלקיק היגס.

שני ערוצים נבדקו ביסודיות על ידי שני גלאים בלתי תלויים זה בזה המנוהלים על ידי שתי קבוצות מתחרות: CMS ו-ATLAS. בכל מה שקשור בניתוח של נתונים אני מבין קטן מאוד (לשון המעטה) ולכן אין בכוונתי לצלול לתוך האוקיינוס הזה; אני מקבל את הסיכומים שמשחררים הצוותים של שתי הקבוצות כ'זה ראה וקדש', ונדמה לי שאין איש מטיל ספק עוד באמינות הניתוחים. אז חלקיק דמוי היגס כנראה שיש לנו. לפי מה שנאמר לנו עדיין לא ברור אם מדובר בחלקיק בעל ספין אפס או שתיים, לא ברור אם יש לו מבנה פנימי או לא, לא ברור עדיין אם יש כמה ממנו או רק אחד. כל אלו יבדקו לכשיצטברו עוד נתונים, והם מצטברים כל העת.

אז היכן ועל מה הביקורת? אתמקד בסרט הרשמי של CERN ובו מנסה ג'ון אליס להסביר את המכניזם לפיו שדה ההיגס 'מעניק' מסה לחלקיקים המסיבים. אליס עושה זאת באמצעות אנלוגיית שדה השלג (אחרים עושים זאת באמצעות אנלוגיות דומות מאוד). הנה:




במסגרת המודל הסטנדרטי, חלקיק ההיגס הוא עירור של שדה (קוונטי) סקלרי דהיינו, שדה שנשמר תחת טרנספורמציות לורנץ, כלומר תחת מעבר בין מערכות התמד. האינווריאנטיות הזו מובנית בתורה שאם לא כן, אין היא יחסותית וממילא חסרת עקביות. בשום פנים ואופן לא יהיה נכון לדמות את שדה ההיגס (או את ערך התצפית שלו בואקום) לאיזה סוג של אתר הממלא את כל המרחב וכל מה שנע בו עשוי איכשהו 'להתחכך' עימו, ובאופן זה לרכוש אינרציה. כל נסיון להציג זאת כך הוא לדעתי משגה פדגוגי שנזקו רב משום שהוא מצייר בדמיונו של הצופה תמונת עולם אריסטוטלית שאין בה שמץ של הגיון יחסותי, והיא שגוייה מן המסד ועד הטפחות...

הנקודה הזו היא מהותית: בתודעתו של הצופה ההדיוט, או זה שאינו הדיוט אבל גם אינו ערני דיו, עשוייה להצטייר תמונה שתהא שגויה אפילו ברמה הניוטונית: כל תלמיד כיתה י"א יודע שמטען האינרציה המאפיין גופים חומריים (inertial mass) מבטא את מידת ההתנגדות של הגוף להאצה, כלומר לשינוי וקטור המהירות, בהשפעת כוח נתון. למהירות כשלשעצמה אין כל קשר לכך משום שמהירות היא מושג יחסי. והרי כל גוף הנע במהירות פנטסטית ביחס אליך, נמצא במנוחה במערכת המנוחה שלו... מסת ההתמד של גוף חומרי היא אם כן תכונה יסודית הקשורה בתאוצת הגוף, לא במהירותו. עתה, בעיקבות התוצאות מ-CERN, אנו יכולים לומר שלאינטראקציה של החלקיקים האלמנטריים עם שדה ההיגס יש השפעה על התכונה הזו, השפעה שמקורה בערך התצפית של שדה ההיגס בואקום.

טענה המופיעה בסירטון במובלע כאילו גופים השקועים עמוק יותר בתוך ה'שלג' ההיגסי מבטאים אינרציה רבה יותר ולכן גם מהירותם נמוכה יותר פשוט מוליכה שולל. כך למשל, מספר לנו אליס שהאור אינו חש את התווך ההיגסי ולכן נע במהירות המקסימלית האפשרית, היא מהירות האור (מדוע שתהיה בכלל מהירות מקסימלית אפשרית, אם זו הפרשנות?), הניטרינים נעים מהר מאוד משום שהם מרגישים את התווך ההיגסי 'רק קצת', וככל שהחלקיק כבד יותר הוא ינוע לאט יותר משום ש'החיכוך' שלו עם שדה ההיגס גדול יותר. ובכן, חזרנו לימים של אריסטו בהם מידת המהירות של גוף חומרי היתה ביטוי למידת האינרציה שלו... יש לשוב ולהדגיש: לניטרינו יש גם מערכת מנוחה. ובמערכת הזו הוא נמצא במנוחה בדיוק כמו שהרי ההימליה נמצאים במנוחה במערכת היחוס של הפלטה הטיבטית. מההיבט הזה (ורק מההיבט הזה), אין שום הבדל בין ניטרינו אלקטרוני להר האוורסט.

המושג של מערכת מנוחה חשוב מאין כמוהו להבנת הנושא ויש בדעתי להרחיב על כך ברשומה הבאה. אבל הבעיתיות עם האנלוגיות של אליס לא מסתיימת בזה. עוד כמה וכמה מיסקונספציות חבויות בהסברים הללו, המתימרים אמנם להיות הסברים מסדר-אפס, אבל (אם יורשה לי להתבדח) של הפיתוח הלא נכון... על כך, ברשומה הבאה בנושא אותה אני מקווה לשחרר במהלך השבוע הקרוב.




יום שני, 2 ביולי 2012

סאגת ההיגס - המשך (רשמים מ-CERN)


רצה הגורל והגעתי ל-CERN לשהות בת שלושה שבועות בימים הכי חמים שידע עולם הפיזיקה של החלקיקים האלמנטרים בשני העשורים האחרונים; אני משתתף מטעם חמד"ע בפרוייקט בינלאומי שמטרתו לקרב את נושא החלקיקים האלמנטרים לליבם של מורי בתי הספר, בתקווה שאלו ישכילו לעורר השראה בתלמידיהם. בפעם הקודמת שהגעתי לכאן העברתי סמינר המסכם את הישגי עבודת הדוקטורט שלי בפני אנשי המחלקה התאורטית. עתה, בעבור תריסר שנים תמימות, אני מגיע ל-CERN כאחרון הפיונים, תרתי משמע.


עדכון 2/7/2012

כשבאתי כתלמיד מחקר לא יכולתי לקוות ליחס אישי מאנשים עסוקים דוגמת ג'ון אליס, המכונה בפי כל LORD OF THE RINGS. ואילו עתה, בהיותי מורה מן השורה, אחד מקבוצה של מורים מכל רחבי העולם ללא כל רקע קודם בתחום, נתפנה האיש ובא להעניק לנו הרצאת מבוא בת שעה שלמה, וכל זאת יומיים בלבד לפני מסיבת העיתונאים החשובה בתולדות התאגיד הבינלאומי היוקרתי. על שום מה LORD OF THE RINGS? על שום הטבעות המרכיבות את המאיץ (דרכן מואצים הפרוטונים), על שום היותו של ג'ון הסמכות הבלתי מעורערת כמעט בכל תחום התמחות הקשור בפרויקט, ידו בכל ויד כל בו, ומכיוון שדמותו החזותית נראית לקוחה מתוך סיפוריו של טולקין... בתמונה זו שצילמתי היום בכיתה, מתאר אליס את ארץ הפלאות של סקטור ההיגס באמצעות מפתה המפורטת המודפסת לבן על גבי שחור על חולצתו...




ג'ון אמנם לא סיפר מה בדיוק יאמר במסיבת העיתונאים אבל הוא כן סיפר מה לדעתו מתרחש מאחורי הקלעים... וזה לא משאיר מקום להרבה ספקולציות. בין השאר, הוא הציג בפננו את אותם גרפים שהופקו ב- VIXRA-LOG - גרפים שהעלתי כאן בבלוג ברשומה המתגלגלת על המודל הסטנדרטי - באומרו שלמרות שאלו הופקו ע"י בלוגר, הם כלל לא רחוקים מהמציאות. אמר וצחקק... כזכור האנליזה שם מובילה למסקנה שהחלקיק החמקמק נמצא באנרגיה של כ-125 GEV ברמת ודאות של שלוש סטיות תקן. ככל הנראה העדויות שהצטברו במהלך החורף האחרון העלו את רמת הודאות לחמש סטיות תקן, מה שמאפשר סוף כל סוף להכריז על גילוי (?...)

עד כאן השמועות וההשתמעויות. להכרזה האמיתית והמדוייקת נאלץ לחכות עוד קצת אבל אם אלו הם הממצאים, הרי שהמסה של החלקיק נמצאת במקום שמעלה סימן שאלה בנוגע למודל הסטנדרטי עצמו: סקטור ההיגס בתורה שונה במעט ממה שחשבו שהוא (אני לא מספיק מתמצא בפרטים כדי לומר במה בדיוק הוא שונה, אבל אנסה להבין זאת בהמשך). מובטחת לנו אם כן תקופה מעניינת של אבולוציה רעיונית ואנו נשתדל להיות קשובים...

לא זו בלבד שהאוטוריטה נתפנתה ובאה להרצות בפני אוסף של הדיוטות גמורים (מנקודת המבט המקצועית כמובן), אלא אף נתפנה השר לענייני טבעות במדינת "שקל-מדד" לענות לי על שתי שאלות שתמיד הטרידו אותי עד מאוד, שתיהן נוגעות לפרשנות הרווחת לסקטור ההיגס: האחת קשורה במבנה של שדה ההיגס עצמו, השנייה במשמעות המושג "הענקת מסה לחלקיקים חסרי מסה". למרבה הצער, לא יצא לי הרבה מזה. יתכן שלא נסחתי כראוי את השאלות או אולי לא הבנתי את התשובות; בסופו של יום נשארתי בדיוק עם אותם סימני שאלה. אני אעלה פה את השאלות הללו ברשומה עתידית במידה ולא תתקבלנה תשובות מספקות בהמשך. והרי נותרו לי פה עוד עשרים יום וכל שמנה וסלתה של אצולת הפיזיקה כבר נוכחת במקום (אל חדר ההסעדה המפורסם של CERN אי אפשר להחדיר אפילו סיכה בשעת ארוחת הצהריים...). נחכה ונראה.

ולסיום דיווח ראשוני זה (יהיו עוד, בכפוף למגבלות אובייקטיביות), הנה הנוף הנשקף מחלון חדרי במלון שבתוך הקומפלקס של CERN; מזג האוויר קריר וסגרירי, הכל ירוק, כרמי גפנים נפרשים מקו הגדר של בירת הפלך ועד לאופק... הרכס המוארך ברקע הוא המתחם המערבי של הרי היורה.




עדכון 3/7/2012:

הפתעה חביבה חיכתה לנו הבוקר בדמות פגישה קבוצתית עם פטר היגס. קבוצתנו מונה כארבעים מורים מ-27 מדינות (אם זכרוני אינו מטעני). מרבית המורים לא נפגשו מעולם עם פיזיקאי בעל שם, וההתרגשות היתה רבה... פטר היגס נכנס לחדר כחתן לחופתו וג'ון אליס משמש בתפקיד השושבין. דקה לאחר מכן נתפנה אליס לעיסוקיו והשאיר את היגס להסתדר לבד... אף שהוא די מורגל בכך, נראה שמבטי ההערצה שנשלחו אליו מכל עבר נעמו לו מאוד. מילות פירגון נזרקו לחלל החדר כמו סוכריות בחגיגת בר מצווה. למי שמתבונן מהצד זה באמת נראה משעשע :) היגס פרסם את הפיתרון שלו לבעיית המסה במודל הסטנדרטי כבר בשנות השישים, במקביל לפרסום בלתי תלוי של שני פיזיקאים מבריקים אחרים - פרנסואה אנגלרט ורוברט בראוט. אתרע מזלם של אלו, ואף על תרומתם לתחום, לא זכו (בינתיים) להיכנס להיכל התהילה.

לשאלת אחת המורות בקהל, סיפר לנו פטר שעבודתו הוגשה לפרסום אך נדחתה בטענה שאין לה כל רלוונטיות לפיזיקה. בסופו של דבר פורסמה מאוחר יותר בז'ורנל אחר, במקביל לפירסום של אנגלרט ובראוט. בכך ניסה לרמוז לנו (לדעתי) שהיה הראשון לנסח את המכניזים, מה שבהחלט יכול להיות נכון... וגם לא נכון. לפני שלוש-עשרה שנה יצא לי לשבת לארוחת ערב סביב שולחן אחד יחד עם פרנסואה אנגלרט במסגרת כינוס שנערך באוטרכט. אנגלרט הוא יהודי צרפתי חובב מושבע של יין משובח. כמה כוסיות מזה תספקנה להעלות חיוך שלא ניתן למחות מלחייו האדמוניות, השופעות חיוניות. אבל אם תספרו לו שהיגס ניסח את המכניזם של שבירת הסימטריה לפניו הוא עשוי לפלוט את כל היין ששתה ישר על פרצופכם. אם לא ראיתם את אנגלרט כועס לא ראיתם מחזה משעשע מימכם.

הנה עוד אנקדוטה חביבה שקראתי בספרו הפופולרי של מרטינוס ולטמן העוסק בחלקיקים ובחלקיקאים (לא מתחייב על הדיוק בפרטים הקטנים, אני שולף זאת מזכרוני): פעם ישבו ולטמן ואנגלרט יחד עם עוד כמה מאושיות הפיזיקה התאורטית סביב השולחן לארוחה דשנה. ולטמן סיפר לכל הנוכחים שערך בדיקה קטנה והסתבר לו שאם אתה פיזיקאי ונולדת בחודש מרץ יוני אז הסיכוי שלך לזכות בנובל גדול באופן משמעותי מהסיכוי של אלו שנולדו בחודשים אחרים. אנגלרט, שכבר ירד על כמה כוסיות של יין עתיק, הפטיר בקול גדול לעבר הנוכחים: אני לא צריך את הסטטיסטיקה הזו; אני יהודי. אזי פרץ בצחוק רם, מתגלגל, ובלתי נשלט, ובה בעת כל שאר המסובים סביב השולחן דממו (על פי עדותו של וולטמן, צחוקו של אנגלרט היה כה עז עד כי ממש חשש שמא יחנק...).

נחזור למפגש עם פטר היגס. בעיקבות אחת האמירות המתחנפות שנזרקו לחלל החדר (לא זוכר ממי ובהקשר למה) גדשה בת צחוק של שביעות רצון את פניו של פטר וכה הפטיר לעבר הנוכחים: "נראה לי שאחר מסיבת העיתונאים שתתקיים מחר אני יכול ללכת להתפגר במצפון נקי..."  שכה אחיה.  ובאמת, האיש כבר זקן למדי ושמיעתו חלשה והוא נזקק למכשיר שמיעה. משום כך התקשה מעט לשמוע את השאלה ששאלתיו באופן אישי בתום המפגש. תשובתו של היגס הייתה אמנם עניינית אבל הוא לא אווה לפתח את הנושא מעבר לתשובה הסטנדרטית (המוכרת לי) ואולי זה לא הוא שלא אווה, אלא מורים נרגשים שצבאו עליו מכל עבר כדי להצטלם עימו וממש רטנו על כך שאני גוזל מהם דקות יקרות שלא תשובנה. גיליתי רצון טוב, הנחתי להיגס ויצאתי את האולם. כמה נעים היה להחליף את האווירה הדחוסה בחדר באוויר הקריר והבשום של החוץ...

הערת חצות: על פי דברי ג'ון אליס (שנאמרו בכמה הזדמנויות בפורומים מקצועיים), הואקום של הסקטור האלקטרו-חלש במודל הסטנדרטי בלתי יציב עבור שדה היגס שמסתו נעה בין 114 GEV ל-135 GEV ולכן הממצאים שיפורסמו מחר לגבי ההיגס מחייבים קיומה של 'פיזיקה חדשה'. אם יהיה טעם, אפרט יותר על כך בהמשך.


עדכון 4/7/2012


CERN התעוררה הבוקר ליום החגיגי בתולדותיה. מאות פיזיקאים, מהנדסים, אנשי תקשורת וסתם סקרנים עם אישורי כניסה מתרוצצים אנא ואנא. מעטים זכו להיכנס לאולם המרכזי. הגעתי בתקווה לתפוס מקום אבל המחיר שצריך לשלם בשביל זה גבוה מידי... (לא, לא צריך לשחד אף אחד. פשוט הצפיפות והדוחק נוראיים). הרשת קרסה, האסוס טרנספורמר מקרטע כמו רכב משנות העשרים של המאה הקודמת. אחכה שהצונמי יעבור; יש תוצאות מעניינות שמובילות למסקנות מעניינות. STAY TUNED.

O.K. התוצאות מרתקות. שני הגלאים הגדולים של CERN, היינו, CMS ו-ATLAS הראו סיגנל ברור של היגס מסוג כלשהו, בשני ערוצי בדיקה בלתי תלויים וברמת ודאות של חמש סטיות תקן עבור כל אחד מהם בנפרד! למרבה הפלא, הסיגנל בערוץ שבו מתקבלים שני פוטונים חזק כמעט פי שניים ממה שחוזה המודל הסטנדרטי. לעניות דעתי זו עדות לכך שהבנת הדברים לוקה בחסר ועבודה רבה עוד צפוייה לתאורטיקאים. כדי להבין את כל המשמעויות של התוצאות יש צורך בעוד הרבה דאטה, וב-CERN כבר משנסים מתניים לעבודה מאומצת כפי שסיפר לנו רולף, אחד הדירקטורים כאן והמארח של קבוצת המורים. מהן ההשלכות של כל זה לסבירות שיגלו את SUSY ב-CERN? אין לי מושג אבל אנסה לברר ואעדכן במידה ואבין. 

הייתם צריכם לשמוע את התשואות ומחיאות הכפים באולם בעת ההכרזה: יש לנו חלקיק חדש והוא נראה כמו היגס... אנשים מחוץ לאולם ממש דמעו מהתרגשות. אחרי ככלות הכל, היה פה מאמץ עצום, משותף לאלפי אנשים, שנפרש על פני כמעט שני עשורים, מאמץ שבסופו של דבר הוכתר בהצלחה. כולם באופוריה, בלילה יערה כאן הרבה אלכוהול לתוך גרונות ניחרים... המורים בקבוצתי הלומי הלם מהחוויה הלא צפוייה שנזדמנה להם; סדר היום המקורי של בית הספר פורק לגמרי לרגל המצב. עכשיו רק נותר לראות מהו קבוע הדעיכה בזמן של האופוריה. אני מת מרעב ואי אפשר להיכנס לאתר ההסעדה המיתולוגי של CERN מרוב שהוא הומה אדם....

פטר היגס ופרנסואה אנגלרט היו אורחי הכבוד של הארוע, וכשנכנסו לאולם זכו לתשואות שרק כוכבי רוק זוכים להם. ואולם היגס עורר התלהבות רבה יותר, מה שעלול לשלוח את אנגלרט להתעלק על בקבוק יי"ש... התמונות מטה צולמו על ידי בחטף: בעליונה פטר היגס ביציאה מהארוע, ובתחתונה אנגלרט (מזוקן וחמוש במשקפיים עבות) כמה דקות לפני שעלה לאולם.






סגירה 6/7/2012

יומיים חלפו מאז ההכרזה הדרמטית והחיים כאן חוזרים למסלולם. גלים משניים ושלישוניים עדיין מכים בכל רחבי הבלוגוספירה, הרשת מלאה בדיונים, ויכוחים, ספקולציות, והרבה אדרנלין. זה הזמן בשבילי לסגור את הדיווח. אני מעריך שאכתוב על הנושא עוד בהמשך, ומהיבטים שונים. סוף השבוע מתקרב ו... הרי היורה נמצאים במרחק יריקה מכאן ופסגתם קורצת ;)

צירפתי למטה סירטון ששיחררה CERN ובו נראה ג'ון אליס מסביר את הקונספט של שדה ההיגס וחלקיק ההיגס. דיווח יום-יומי על קבוצת המורים והקורות אותה בתוך כל ההמולה תוכלו לקרוא בבלוג הנאה שפתח קובי שוורצברד (הוא ואני מהווים את הנציגות הישראלית בתוך קבוצת המורים), המופיע ברשימת הבלוגים למדע פופולרי מצד שמאל.






תוספת מאוחרת (23/1/2013): קבלו שיבוץ של הדף מ-CERN ובו הראיון שנערך לפרנסואה אנגלרט זמן קצר לאחר ארוע מסיבת העיתונאים המדובר (שיבוץ הראיון לבדו משום מה אינו פועל). דפדפו מעט למטה, כנסו לסרטון וראו תגובתו של אנגלרט כאשר הוא נשאל על תרומתו לתגלית; בפרט, שימו לב לשפת הגוף שלו החושפת טפח טעון במיוחד...





יום שלישי, 19 ביוני 2012

פונקציית דלתא של דיראק כרגולטור של סינגולריות


ברשימה זו שני חלקים: החלק הראשון משמש מבוא ובו אגדיר את הפונקציה עבור המקרה המרחבי, ואף אציג את פיתוח הפורייה שלה; בחלק השני אראה כיצד היא משמשת כסוג של רגולטור לטיפול בנקודות סינגולריות.


חלק א'

תהיינה \(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'\) שתי נקודות (וקטורי מקום) במרחב האאוקלידי התלת-ממדי \(\mathbb{E}_{3}\), ותהא \(\boldsymbol{r}_{0}\) נקודה מיוחדת במרחב זה המכונה נקודת הצטברות. פונקציית דלתא של דיראק, אותה נסמן באמצעות \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\), היא 'פונקציה' של שתי נקודות המקיימת את שלושת הדרישות הבאות:
\begin{aligned}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)&\;=\;\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}\right)&&\quad\left(1\right)\\\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)&\;=\;\left\{\begin{array}{rcl}0&&\text{if}\quad\boldsymbol{r}\neq\boldsymbol{r}'\\\infty&&\text{if}\quad\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'\end{array}\right.&&\quad\left(2\right)\\\left<\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}'\right),\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\right>&\,=\,\varphi\left(\boldsymbol{r}_{0}\right)&&\quad\left(3\right)\end{aligned}
המספר '\(3\)' הצמוד לסימול של פונקציית הדלתא אינו בא אלא לבטא את העובדה שמדובר באובייקט הפועל על פונקציות חלקות מעל \(\mathbb{E}_{3}\); שימו לב, בשבילנו \(\mathbb{E}_{3}\) ולא \(\mathbb{R}_{3}\), זאת מכיוון שקיומה של מטריקה חיוני לצורך הטיפול האנליטי בהמשך. שלוש הערות קצרות על שלשת הדרישות הללו ועל משמעותן:
  1. הדרישה הראשונה מבטאת סימטריה תחת החלפת שתי הנקודות. אם נגדיר \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\) הרי שהדרישה לסימטריה תחת החלפת שתי הנקודות שקולה לדרישה שהפונקציה \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\) תהיה זוגית במשתנה החדש \(\boldsymbol{x}\): \(\delta^{3}\left(-\boldsymbol{x}\right)=\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\).
  2. הדרישה השנייה מבטאת את העובדה שמדובר בהתפלגות המרוכזת כל-כולה בנקודה אחת, היא נקודת ההצטברות. יתר על כן, הפונקציה מתבדרת בנקודה היחידה שבה היא לא מתאפסת.
  3. הדרישה השלישית מבטאת את העובדה שפונקציית דלתא היא סוג של פונקציונאל (מן הסתם, לינארי) השולף ערך של פונקציה אחרת בדיוק בנקודת ההצטברות. 
חשוב להדגיש שהבחירה במרחב המקום לצורך ההגדרה היא שרירותית; שום דבר לא מגביל אותנו להגדיר את המושג במרחב תלת מימדי אחר (במרחב התנע למשל) ובלבד שיהא זה העתק של \(\mathbb{E}_{3}\).

את הפונקציונאל הלינארי מדרישה \((3)\) למעלה נהוג להגשים באמצעות אינטגרציה תלת-ממדית במרחב המקום (אני אף פעם לא נתקלתי בהגשמה מסוג אחר):
\[\int_{\Omega}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,=\,\varphi\left(\boldsymbol{r}_{0}\right)\]
באשר \(\Omega\) הוא התומך של \(\varphi\) וכמובן \(\boldsymbol{r}_{0},\boldsymbol{r}'\in\Omega\). ובפרט, אם נבחר את נקודת ההצטברות כנקודת ראשית הצירים (כלומר \(\boldsymbol{r}_{0}=\boldsymbol{0}\)), והיות ו- \(\delta^{3}\left(-\boldsymbol{r}\right)=\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}\right)\) נקבל:
\[\int_{\Omega}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'=\varphi\left(\boldsymbol{0}\right);\]
ועוד נקודה אחת שיש לתת עליה את הדעת בטרם נמשיך: שימו לב שפונקציית הדלתא מנורמלת מטבע הגשמתה (ובלי קשר לבחירתה של נקודת ההצטברות),
\[\int_{\Omega}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,=\,1\,.\]

מטעמי נוחות נעבור עתה למשתנה \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}_{0}-\boldsymbol{r}'\) ונפתח את פונקציית הדלתא שלנו כהתמרת פורייה במרחב התנע המיוצג באמצעות הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) (המכונה גם וקטור הגל) באופן הבא:
\[\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\tilde{\delta}^{3}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\]
באשר \(\tilde{\delta}^{3}\left(\boldsymbol{k}\right)\) הוא טרנספורם הפורייה של \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\), והוא כמובן "חי" במרחב התנע. אם נבצע עתה את ההתמרה ההפוכה נקבל
\[\tilde{\delta}^{3}\left(\boldsymbol{k}\right)\,=\,\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}\,=\,e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{0}}\,=\,1\,,\]
יוצא איפה שטרנספורם הפורייה של פונקציית דלתא של דיראק הוא פונקציה קבועה (במרחב התנע). עתה נציג זאת חזרה בפיתוח של \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\) ונקבל שוב את פונקציית דלתא של דיראק, והפעם כאינטגרל על כל הפזות האפשריות המיוצגות באמצעות הפרמטר הוקטורי הרציף \(\boldsymbol{k}\):
\[\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\,=\, \frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\]
מבחינה מתמטית משוואה זו מבטאת את ההצהרה בדבר שלמות משפחת הפונקציות הטריגונומטריות \(\left\{e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\right\}\). מבחינה פיזיקאלית, המשוואה מבטאת את העובדה שהמצב הממוקם ביותר שאפשר לבנות במרחב המקום בא בהכרח עם אי-ודאות מחלטת במשתנה הקנוני הצמוד במרחב התנע. על כך אני מקווה להרחיב בעתיד בסדרת רשומות נפרדת שתעסוק בעיקרון אי הוודאות. 

כבדיקה של עקביות נוכל עתה להציג את הפיתוח של פונקציית הדלתא כאינטגרל על פזות בנוסחת הגדרתה כפונקציונל, כדי לקבל את הנוסח הסטנדרטי לפיתוח פוריה: 
\begin{aligned}\varphi\left(\boldsymbol{r}\right)&\,=\,\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)\left[\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\right]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\left[\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\varphi\left(\boldsymbol{r}'\right)e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}'}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\right]e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&\,=\,\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\tilde{\varphi}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\end{aligned}
באשר \(\tilde{\varphi}\left(\boldsymbol{k}\right)\) מייצג את טרנספורם הפורייה של \(\varphi\left(\boldsymbol{r}\right)\).


חלק ב'

חישבו על הפונקציה \(\varphi\left(\boldsymbol{x}\right)=1/x\) כאשר \(x=\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|\) הוא המרחק בין \(\boldsymbol{r}\) לבין \(\boldsymbol{r}'\). הלפלסיאן של הפונקציה הזו הוא בעל חשיבות ראשונה במעלה מכיוון שהוא מככב בפתרון הפורמלי של משוואת פואסון \(\nabla^{2}\phi=-\rho/\epsilon\). במשוואה זו אגף שמאל הוא הלפלסיאן של הפוטנציאל החשמלי, ואגף ימין מכיל את (מינוס) צפיפות המטען החשמלי, מחולק בפרמבליות. אלא שפונקציית הפוטנציאל סינגולרית בראשית... איזה משמעות יש בכלל ללפלסיאן בסביבה הזו?

הלפלאסיאן של פונקציה סקלרית הוא הדיברגנס של הגרדיאנט שלה, \(\nabla^{2}\phi=\nabla\cdot\nabla\phi\). הבה נתבונן שוב בפונקציה הסקלרית \(\varphi\left(\boldsymbol{x}\right)=1/x\). את הגרדיאנט של \(\varphi\) נהוג לחשב רכיב רכיב בטכניקות הסטנדרטיות של החשבון הטנזורי במרחב אאוקלידי:
\begin{aligned}\partial_{i}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-1/2}&\,=\,-\frac{1}{2}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}\Big[\left(\partial_{i}x_{j}\right)x_{j}+x_{j}\left(\partial_{i}x_{j}\right)\Big]\\&\,=\,-\frac{1}{2}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}\left(2\delta_{ij}x_{j}\right)\,=\,-\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}x_{i}\end{aligned}
כך שבשפה וקטורית תקנית נקבל,
\[\nabla\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\]
אבל בחשבוננו זה 'החלקנו' בלי-משים את הסינגולריות שיושבת בראשית; פשוט התעלמנו מקיומה... האם זה באמת מוצדק והאם נוכל לשכלל את האליזה שלנו באופן שתכלול טיפול גם בסביבת הנקודה הסינגולרית? התשובה לכך היא חיובית, ואת זה נעשה עתה באמצעות הגדג'ט החביב על שם דיראק;

נקודת המוצא לטיפול שלנו היא חישוב האינטגרל הנפחי של הדיברגנס של הפונקציה הוקטורית \(\boldsymbol{\vartheta}\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}/x^{3}\), המתקבלת לכאורה מתוך הקשר \(\boldsymbol{\vartheta}=-\nabla\varphi\) כאמור לעיל. הבה נבצע את האינטגרציה בתחום הכדורי \(\left\{\Omega:x\leq{X}\right\}\), שמרכזו הנקודה \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\), באמצעות שימוש במשפט הדיברגנס (כאן \(\partial\Omega\) היא השפה של \(\Omega\), וכן \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\left(\mathrm{d}S\right)\widehat{\boldsymbol{x}}\) הוא אלמנט שטח וקטורי אינפיניטסימלי של \(\partial\Omega\)):
\begin{aligned}\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\right)\,\mathrm{d}V&\,=\,\oint_{\partial\Omega}\left.\frac{\boldsymbol{x}\cdot\widehat{\boldsymbol{x}}}{x^{3}}\right|_{x=X}\mathrm{d}S\,=\,\oint_{\partial\Omega}\frac{\mathrm{d}S}{X^{2}}\\&\,=\,\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\,\left(\text{הזווית המרחבית}\atop\partial\Omega\;\text{הנפרשת ע"י}\right)\,=\,4\pi\,.\end{aligned}
בחישוב זה הנחנו שאפשר להשתמש במשפט הדיברגנס למרות שהתחום עליו מתבצעת האינטגרציה מכיל נקודה סינגולרית (מה חוזקה ומה תוקפה של הנחה זו איני יודע, אבל היא נלקחת כמובן מאליו בכל חשבון שנתקלתי בו באלקטרומגנטיות כמו גם בתחומים רבים נוספים, ולכן אניח שהיא אמינה).  מצד שני נוכל לרשום \(4\pi=\int_{\Omega}4\pi\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}\). נשווה את האינטגראנדים של שתי האינטגרציות המרחביות ונקבל:
\[\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\right)\,=\,4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right).\]
זו באמת תוצאה מעניינת שנעשה בה שימוש נרחב בהמשך: "חזות" ההתבדרות שמתקבלת בראשית עבור \(\nabla\cdot\left(\boldsymbol{x}/x^{3}\right)\) ניתנת בדמותה של פונקציית דלתא של דיראק.

נבדוק עתה מה מתקבל מביצוע אותה אופרציה בשיטת החישוב הסטנדרטית תוך שאנו עוקבים אחר האיברים הפרובלמטים בגזירה ומסמנים אותם כך שקל יהיה לקבוע את ערכם בהמשך בדרך של השוואה:
\[\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}\right)\,=\,\frac{\nabla\cdot\boldsymbol{x}}{x^{3}}+\boldsymbol{x}\cdot\nabla\left(\frac{1}{x^{3}}\right)\,=:\,\frac{3}{x^{3}}+\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{\psi}\left(\boldsymbol{x}\right)\]
ברי שהפונקציה הוקטורית החדשה שהצגנו באגף ימין \(\boldsymbol{\psi}\left(\boldsymbol{x}\right):=\nabla\left(1/x^{3}\right)\) מצביעה בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\) (שהרי \(\boldsymbol{x}\) הוא רדיוס וקטור) ולכן נוכל לרשום \(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{\psi}\left(\boldsymbol{x}\right)=x\psi\left(\boldsymbol{x}\right)\). נציג כל זאת באגף שמאל במשוואה מעלה במקום \(\nabla\cdot\left(\boldsymbol{x}/x^{3}\right)\) ונקבל
\[\frac{3}{x^{3}}+x\,\psi\left(\boldsymbol{x}\right)\,=\,4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\]
ומכאן, לאחר שבודדנו את \(\psi\left(\boldsymbol{x}\right)\),
\begin{aligned}\nabla\left(\frac{1}{x^{3}}\right)&\,=\,\left(\frac{4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)}{x}-\frac{3}{x^{4}}\right)\boldsymbol{\widehat{x}}\\&\,=\,\frac{4\pi\,\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)}{x^{2}}-\frac{3\,\boldsymbol{x}}{x^{5}}\end{aligned}

סוף כל סוף אנו נמצאים בפוזיציה שמאפשרת לחשב את הגרדיאנט של \(\varphi\left(\boldsymbol{x}\right)=1/x\) מבלי לפספס את הראשית... נעשה זאת באופן טריקי המאפשר לנו להתבסס על תוצאות שכבר קיבלנו:
\begin{aligned}\nabla\left(\frac{1}{x}\right)&\,=\,\nabla\left(\frac{x^{2}}{x^{3}}\right)\,=\,\frac{\nabla\left(x^{2}\right)}{x^{3}}+x^{2}\nabla\left(\frac{1}{x^{3}}\right)\\&\,=\,\frac{2\boldsymbol{x}}{x^{3}}+x^{2}\left(\frac{4\pi\,\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)}{x^{2}}-\frac{3\,\boldsymbol{x}}{x^{5}}\right);\end{aligned}
נצמצם, נכנס איברים דומים, ונקבל לבסוף:
\[\nabla\left(\frac{1}{x}\right)\,=\,-\frac{\boldsymbol{x}}{x^{3}}+4\pi\,\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\]

תוצאה זו נותנת איזשהו מענה לפרובלמטיות של תהליך הגזירה בסביבת הראשית והיא מתקנת את החישוב הנאיבי שביצענו קודם לכם. כצפוי, במרחב המנוקב \(\Omega-\left\{\boldsymbol{0}\right\}\) מתקבלת התוצאה המוכרת \(\nabla\left(1/x\right)=-\left(\boldsymbol{x}/x^{3}\right)\), שהרי \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)=0\) לכל \(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}\).  שימו לב שהאינטגרל הקווי של \(\nabla\left(1/x\right)\) על מסלול סגור אכן מתאפס היות ופונקציית הדלתא מתאפסת על המסלול אלא אם הוא חוצה את הראשית (היכן שממילא הפונקציה המקורית סינגולרית). זאת ועוד, אפשר להתייחס לגודל \(\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\) כאל "סוג של אפס"; לכל הפחות, \(\int_{\Omega}\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}=0\) מעצם הגדרתה של פונקציית הדלתא.

ועדיין לא ענינו על השאלה מהו \(\nabla^{2}\left(1/x\right)\). ניקח דיוורגנס למשוואה ל-\(\nabla\left(1/x\right)\) ובהסתמך על התוצאות שקיבלנו עד כה נקבל:
\[\nabla^{2}\left(\frac{1}{x}\right)\,=\,-4\pi\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)+4\pi\,\nabla\cdot\left(\boldsymbol{x}\,\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\]
האיבר עם הדיברגנס המופיע באגף ימין אינו מצויין בספרות הסטנדרטית, ולא בכדי: שם נקודת המוצא היא ש- \(\nabla\left(1/x\right)=-\boldsymbol{x}/x^{3}\), וכפי שראינו היא מתעלמת מהצורך לתת מענה לשאלה מה קורה בסביבה המיידית של הנקודה הסינגולרית. יחד עם זאת, מסתבר שהתוספת אינה משנה את הפתרון המוכר של משוואת פואסון.

הבה נבדוק את הטענה; החתיכה הלא הומוגנית של הפתרון הפורמלי של משוואת פואסון ניתנת ע"
\begin{aligned}\phi\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\frac{1}{4\pi\epsilon}\int_{\Omega}\rho\left(\boldsymbol{r}',t\right)\varphi\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\end{aligned}
(התלות בזמן של הפיתרון נכנסת דרך התלות בזמן של צפיפות המטען ולמשוואה עצמה אין מה לומר על כך). הבה נבדוק את הפתרון:
\begin{aligned}\nabla^{2}\phi\left(\boldsymbol{r},t\right)&\,=\,\frac{1}{4\pi\epsilon}\int_{\Omega}\rho\left(\boldsymbol{r}',t\right)\nabla^{2}\varphi\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\\&\,=\,-\frac{\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)}{\epsilon}+\underbrace{\frac{1}{\epsilon}\oint_{\partial\Omega}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}'}_{\text{בהכרח מתאפס באינטגרציה על השפה}}.\end{aligned}
ובסופו של חשבון, \(\nabla^{2}\phi=-\rho/\epsilon\).

נסיים בעוד אפליקציה אחת חביבה. תהא \(\boldsymbol{\chi}\) פונקציה וקטורית כלשהי (חלקה) של המשתנה \(\boldsymbol{x}\). אזי, שימוש בזהות הוקטורית \(\nabla\cdot\left(\alpha\boldsymbol{\chi}\right)=\left(\nabla\alpha\right)\cdot\boldsymbol{\chi}+\alpha\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\chi}\right)\), באשר \(\alpha\) פונקציה סקלרית, מנפק את הפיתוח
\[\nabla\cdot\left(\boldsymbol{\chi}\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\,=\,\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\chi}\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)+\boldsymbol{\chi}\cdot\nabla\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\]
ניקח אינטגרציה מרחבית על שני אגפי המשוואה, נפעיל את משפט הדיברגנס על האגף השמאלי, אשר בסופו של דבר מתאפס היות והדלתא מתאפסת על השפה, ונקבל:
\[\int_{\Omega}\boldsymbol{\chi}\left(\boldsymbol{x}\right)\cdot\nabla\delta^{3}\left(\boldsymbol{x}\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{x}\,=\,-\left.\nabla\cdot\boldsymbol{\chi}\right|_{\,\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}\]
כלומר הגרדיאנט של פונקציית דלתא של דיראק הוא פונקציונאל לינארי וקטורי השולף את (מינוס) ערך הדיברגנס של פונקציה וקטורית כלשהי בנקודת ההצטברות.

**תודות לידידי יוסי קורדובה על הערותיו המועילות.