יום ראשון, 9 באוקטובר 2011

הזוג השני של משוואות מקסוול וקשרי המבנה של הואקום


ברשומה קודמת נוכחנו לדעת שהזוג הראשון של משוואות מקסוול הוא פועל יוצא של שתי הנחות יסוד פיזיקליות: ההנחה שהמטען החשמלי קורן השפעתו, וכן שערכו הכולל במערכת נשמר בזמן. מתוך הנחות אלו מתקבלות שתי משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את קשרי הגומלין בין צפיפות המטען החשמלי וצפיפות הזרם החשמלי לבין שדות העירור אותם הם משרים. ברשומה אחרת, זו העוסקת בשלשת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית, טענתי שהזוג השני של משוואות מקסוול הוא מעין אילוץ הבא לבטא את העובדה שאין בנמצא מטענים מגנטייים. עתה אייחד כמה מילים על כך כאן.

הזוג הראשון של משוואות מקסוול ראוי לכינוי משוואות החשמל שהרי, כאמור, בא הוא לבטא את קשרי הגומלין בין המטענים החשמליים לבין שדות הערור אותם הם משרים. כאן ארבעה מקורות, דהיינו צפיפות המטען החשמלי \(\rho\) וצפיפות הזרם החשמלי \(\boldsymbol{j}\), משרים שישה רכיבי שדה: שלשת המרכיבים של שדה הערור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\), ושלשת המרכיבים של שדה הערור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\). זה הראשון מושרה מנוכחות מטען חשמלי נייח, ואילו השני מושרה מנוכחות מטען חשמלי נייד, או מצפיפות זרם ההעתק. הבה נרשום את משוואות החשמל שוב לתזכורת:
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&\,=\,\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&\,=\,\boldsymbol{j}\end{aligned}
המקור של שדה העירור המגנטי הוא לא אחר מאשר הזרם החשמלי, ואין בין זה לבין שאלת קיומם של מטענים מגנטיים דבר וחצי דבר. לו היו כאלו בנמצא, היינו מצפים לזוג נוסף של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, זוג מגנטי למהדרין, בן דמותו של הזוג החשמלי דלעיל, אלא שעתה היו מקורות השדה מורכבים מצפיפות מטען מגנטית וצפיפות זרם מגנטית, ושדות הערור המושרים היו נוספים על אלו שהזכרו בהקשר החשמלי. לו היו בנמצא מטענים מגנטים, היו אלו מובחנים במפורש מהמטענים החשמליים, וטבעה של האינטראקציה ההדדית בין שני אלו נקבע היה באמצעות קשרי המבנה של הואקום, אותם אתאר בהמשך. ואולם, אין ולו עדות אמפירית אחת לקיומם של מונופולים מגנטים. נוכל אמנם לבנות קונפיגורציות של זרמים חשמליים אשר תנפקנה שדות מגנטיים הנראים כאילו קורנים הם מנקודה, אלא שאין אלו אלא מונופולים אפקטיביים, ולא חלקיקים 'אמיתיים'. האם קיימת סיבה טובה להיעדרם של מטענים מגנטיים מהטבע? לעניות דעתי בהחלט כן ועל כך אייחד רשימה נפרדת.

ובכל זאת, הבה נניח לרגע שיש צפיפות מטען מגנטית בטבע, אותה נציין באמצעות \(\rho_{\text{m}}\)... את שדה העירור המושרה ממנה נציין בסימון \(-\boldsymbol{B}\), והוא האנלוג המגנטי לשדה העירור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\). (סימן המינוס כאן חסר משמעות ומקורותיו היסטוריים גרידא.) צפיפות הזרם המגנטי ניתנת ע"י הוקטור \(\boldsymbol{j}_{\text{m}}=\rho_{\text{m}}\boldsymbol{v}\), באשר \(\boldsymbol{v}\) מייצג את שדה המהירות של המטענים המגנטיים כפי שהוא נדגם במערכת יחוס נתונה. גם צפיפות זו משרה שדה עירור, ואנו נציין אותו באות \(\boldsymbol{E}\); שדה עירור זה אנלוגי לגמרי לשדה הערור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\). משוואות המגנטיות המתאימות, האנלוגיות לצמד משוואות החשמל מלמעלה תינתנה איפה ע"י:
\begin{aligned}\nabla\cdot\left(-\boldsymbol{B}\right)&\,=\,\rho_{\text{m}}\\\nabla\times\boldsymbol{E}-\frac{\partial\left(-\boldsymbol{B}\right)}{\partial{t}}&\,=\,\boldsymbol{j}_{\text{m}}\end{aligned}
אבל אין מטענים מגנטים בטבע... תופעות מגנטיות - יש ויש. לכן אם יש משמעות כלשהי לסט המשוואות מלמעלה, הרי שאגף ימין המכיל את המקורות חייב להתאפס. וזה בדיוק מה שמוביל אותנו לזוג השני של משוואות מקסוול:
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{B}&\,=\,0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&\,=\,-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}\end{aligned}
השדה \(\boldsymbol{B}\) מכונה (מסיבות מובנות) השראה מגנטית, והשדה \(\boldsymbol{E}\) מכונה (מסיבות שמיד תתבררנה) שדה חשמלי.

ובכן, מה באמת קרה כאן? המצאנו מטענים שלא קיימים, המשרים סביבים שדות שלכאורה גם הם אינם קיימים, בנינו להם משוואות על פי רצפט מוגדר היטב (ראו הרשומה על הזוג הראשון) ואז באנו ואמרנו: "טוב, אם המטענים לא קיימים, נציג במקומם פשוט אפס... וכך נשארנו עם צמד משוואות דיפרנציאליות הומוגניות עבור שדות רפאים... ובכן, לכאורה אין לשדות הללו שום קיום. אלא שאנו נוכל למנף את הרעיון לתועלתנו: נוכל לראות בזוג השני של משוואות מקסוול אילוץ על התורה האלקטרומגנטית הבא לבטא את העובדה שאין בנמצא מקורות מגנטיים, ובלבד שנוכל לקשרם לשדות העירור האמיתיים מאוד של הזוג החשמלי...

וכאן נכנסים לתמונה קשרי המבנה של התורה האלקטרומגנטית. אנו מניחים שקיימים קשרים אינווריאנטים (תחת טרנספורמציה בין מערכות ההתמד) בין צמד שדות העירור של הזוג הראשון, לבין צמד שדות האילוץ של הזוג השני כלומר \(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{\mathcal{D}},\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\) וכמו כן \(\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{\mathcal{D}},\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\). קשרים אלו "מפיחים רוח חיים" בשדות \(\boldsymbol{B}\) ו- \(\boldsymbol{E}\) המשמשים עתה אילוץ על התורה האלקטרומגנטית, אילוץ שכאמור מבטא את היעדר קיומם המוחלט של מטענים מגנטים בטבע. במקרה הכללי ביותר, בתווך טעון הנמצא בתנועה מתמדת, הקשרים הללו לובשים צורה מסובכת ביותר: הם לא בהכרח לוקליים והם תלויים, בין השאר, גם בהסטוריה של השדות... ומנגד, בואקום של היחסות הפרטית מתקבלים קשרים לינארים, פשוטים להפליא:
\[\boldsymbol{B}=\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}\,,\quad\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\,.\]
מכאן גם ברור מדוע כינינו קודם לכן את \(\boldsymbol{E}\) בשם "שדה חשמלי", ומדוע נהוג לכנות את \(\boldsymbol{B}\) (בלי משים) בשם "שדה מגנטי"... הפרמטרים \(\epsilon_{0}\) ו- \(\mu_{0}\) הם קבועים אוניברסליים, ואם אין הם מקבלים את אותו ערך נומרי בכל מערכות ההתמד, הרי שלקשרי המבנה שרשמנו אין שום משמעות (למה?). קשרי המבנה דלעיל הם תעודת הזהות האלקטרומגנטית של הואקום, והם גם שעומדים מאחרי המבנה המטרי שלו! הקבועים האוניברסליים המופיעים בקשרי המבנה (המכונים גם הפרמביליות והפרמיטיביות של הואקום, בהתאמה) הם "הברקוד האלקטרומגנטי" של המרחב-זמן היחסותי. מכל מקום, חשוב להדגיש שקשרי המבנה של הואקום (המכונים לעיתים גם קשרי האתר) הם פוסטולט לכל דבר, בעוד שקשרי המבנה בתווך הם סוג של משוואות מצב המתקבלות באופן אמפירי.

במבט ראשון נראה כאילו יש לנו יותר מדי משוואות... ארבעה שדות וקטוריים הם שתיים-עשרה דרגות חופש. הזוג הראשון של משוואות מקסוול (משוואות החשמל) מנפק ארבע משוואות, הזוג השני של של משוואות מקסוול (משוואות המגנטיות) מנפק עוד ארבע משוואות, קשרי המבנה מנפקים שש משוואות, סה"כ ארבע-עשרה משוואות. אבל בקלות נוכל לשפר את המצב...

משוואות האילוץ נפתרות באופן זהותי ע"י
\begin{aligned}\boldsymbol{B}&\,=\,\nabla\times\boldsymbol{A},\\\boldsymbol{E}&\,=\,-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{t}}\end{aligned}
השדה הוקטורי \(\boldsymbol{A}\) מכונה הפוטנציאל המגנטי, והשדה הסקלרי \(\phi\) הוא הפוטנציאל החשמלי. קיבלנו איפה שששת הרכיבים של ההשראה המגנטית והשדה החשמלי ניתנים לתאור מלא באמצעות ארבעת רכיבי הפוטנציאלים. נוכל להשתמש עתה בקישרי המבנה של הואקום כדי לבטא את משוואות החשמל (כלומר את הזוג הראשון של משוואות מקסוול) באמצעות ארבע דרגות חופש אלו, ונקבל

\begin{aligned}\nabla^{2}\phi+\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)&\,=\,-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\,,\\\nabla^{2}\boldsymbol{A}-\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial{t}^{2}}-\nabla\left[\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\right)\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\right]&\,=\,-\mu_{0}\boldsymbol{j}\,.\end{aligned}

הנה לנו ארבע משוואות בארבע דרגות חופש עם ארבעה רכיבי מקורות... ומהיכן הגיחה קודם לכן המיותרות שקיבלנו? התשובה: מחופש הכיול. אבל על כך בפעם אחרת.

לפני סיום, הבה ננסח את הגירסא הגלובלית של הזוג השני: ובכן, אינטגרל על הנפח \(\Omega\) של המשוואה \(\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\), ושימוש במשפט הדיברגנס מנפק מייד את האנלוג המגנטי למשוואת מקסוול הראשונה, היינו
\begin{aligned}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,=\,0\,,\end{aligned}
ובמילים: השטף המגנטי דרך כל משטח סגור מתאפס. זוהי כמובן הגרסא הגלובלית של הטענה שאין בנמצא מונופולים מגנטיים. הלאה: אינטגרציה על משטח \(\Sigma\) של המשוואה \(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\partial\boldsymbol{B}/\partial{t}\) ושימוש במשפט סטוקס מובילים מייד אל האנלוג המגנטי של משוואת מקסוול השנייה,
\begin{aligned}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\,=\,-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}}\int_{\Sigma}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\end{aligned}
ומשמעותו הפיזיקלית: המרכיב הסירקולטיבי של השדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) מגיע כל כולו מהשינוי בשטף המגנטי דרך לולאת הסירקולציה. זהו חוק פרדיי המפורסם.




לפרק הראשון




אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה