יום רביעי, 21 בספטמבר 2011

משפט עבודה-אנרגיה מקינמטיקה


המטרה: לקבל את משפט עבודה-אנרגיה עבור מערכות חד מימדיות, מתוך הקינמטיקה ומבלי להיעזר בחוק השני של ניוטון ובהגדרת המושגים עבודה ואנרגיה...

הקדמה:

נניח קיומו של גוף "נקודתי" שמסתו \(m\). מיקומו של הגוף בכל זמן \(t\) ניתן באמצעות פונקציית מקום זמן \(x(t)\). המהירות הרגעית מוגדרת כקצב שינוי המקום, והיא מתקבלת באמצעות גזירה לפי הזמן של פונקציית מקום-זמן:
\[v\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\]
בשיטת SI מתקבלת המהירות הרגעית ביחידות של מטר לשנייה. אם מדובר במהירות הקבועה בזמן, כלומר בתנועה קצובה לאורך קו ישר, נוכל פשוט לרשום \(v=\Delta{x}/\Delta{t}\); במקרה זה המהירות הרגעית מתלכדת עם מושג המהירות הממוצעת, המוגדרת כהעתק הכולל במהלך התנועה חלקי הזמן הכולל של התנועה.

התאוצה הרגעית מוגדרת כקצב שינוי המהירות הרגעית (או המהירות הרגעית שבה משתנה המהירות הרגעית...), והיא מתקבלת באמצעות גזירה לפי הזמן של המהירות הרגעית, כלומר
\[a\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\]
בשיטת SI - מתקבלת התאוצה ביחידות של מטר לשנייה בריבוע. אם התאוצה הרגעית קבועה בזמן אנו אומרים שהתנועה שוות-תאוצה, ובמקרה זה נוכל לרשום  \(a=\Delta{v}/\Delta{t}\).

הפרדת משתנים:

הבה נרשום את התאוצה באופן הבא:
\[a\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\,v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\]
(בשוויון האחרון הצגנו  \(v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\)); עתה נבצע הפרדת משתנים ונקבל:
\[a\,\mathrm{d}x\,=\,v\,\mathrm{d}v\]
זוהי משוואה דיפרנציאלית שבה אגף ימין ניתן לאינטגרציה מיידית:
\[\int{v}\,\mathrm{d}v\,=\,\frac{v^{2}}{2}\]
התאוצה באגף שמאל, לעומת זאת, עשוייה להיות תלוייה במקום באופן לגמרי לא טריוויאלי, וכל שנוכל לרשום לפי שעה הוא ש- \(a=a(x)\). אמת, את התלות המפורשת של התאוצה במקום נוכל לקבל רק מתוך עיקרון פיזקלי כלשהו, למשל מתוך החוק השני של ניוטון, אבל תוקפה של המשוואה הדיפרנציאלית שקיבלנו איננו תלוי בדבר פרט להגדרות הקינמטיות מלמעלה.

אינטגרציה:

נוציא אם כן אינטגרל לשני האגפים של המשוואה הדיפרנציאלית. באגף ימין נבצע אינטגרציה מ- \(v(t=0)=v_{0}\) ועד \(v(t)\). בהתאם לכך, האינטגרציה באגף שמאל נלקחת מ- \(x(t=0)=x_{0}\) ועד \(x(t)\). הגדלים \(x_{0}\) ו-\(v_{0}\) הם כמובן תנאי ההתחלה בבעיה. מתוך כך מתקבלת נוסחת-אם סגורה וכללית למדי מהצורה
\[\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}a\left(x\right)\mathrm{d}x\,=\,\frac{v^{2}(t)}{2}-\frac{v_{0}^{2}}{2}\]
שימו לב לרישום: \(v^{2}(t)\equiv(v(t))^{2}\).

למען האמת, נוסחת-אם פשוטה זו שקולה למשפט עבודה אנרגיה. קל מאוד להיווכך בזאת: הכפילו את שני האגפים במסה ותקבלו שהעבודה המתבצעת ע"י הכוח (כלומר האינטגרל לאורך דרך של הגודל \(F:=ma\)) שווה לשינוי באנרגיה הקינטית... כל זאת מבלי להציג את מושג הכוח, ואף לא את מושג העבודה או האנרגיה הקינטית. המשוואה הזו, כאמור, לא מבוססת על דבר פרט להגדרות הבסיסיות של הקינמטיקה כלומר, אלו של המהירות הרגעית והתאוצה הרגעית.

הבה נסקור שלוש דוגמאות:

1) תנועה שוות תאוצה: במקרה זה התאוצה קבועה, אפשר להוציאה מחוץ לסימן האינטגרל, ונקבל
\[\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}a\left(x\right)\mathrm{d}x\,=\,a\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}\mathrm{d}x\,=\,a\left(x\left(t\right)-x_{0}\right)\,=\,a\Delta{x}\]
באשר \(\Delta{x}\) הוא ההעתק הכולל. נציג זאת באגף שמאל של נוסחת האם דלעיל, נעביר אגפים, נכפיל בשתיים, ונקבל את המשוואה המפורסמת
\[v^{2}\left(t\right)\,=\,v_{0}^{2}+2a\Delta{x}\]
משוואה זו שקולה כמובן למשפט עבודה אנרגיה בתנועה תחת כוח קבוע: הכפילו את המשוואה ב- \(m/2\), הגדירו \(F:=ma\) וזהו.

2) תנועה הרמונית: במקרה זה תלותה של התאוצה במקום ניתנת ע"י
\[a\,=\,-\omega^{2}x\]
באשר \(\omega\) מייצגת את תדירות התנודות (למשל, במקרה של קפיץ, \(\omega=\sqrt{K/m}\)). שימו לב שאפשר להתייחס למשוואה למעלה ככזו שמגדירה את סוג התנועה מבלי להזדקק כלל לחוק השני של ניוטון. (אבל כאמור, כדי לדעת שמערכת פיזיקלית מסויימת אכן מקיימת את משוואת התנועה הזו, לא יהיה מנוס מלהשתמש בחוק השני של ניוטון או במשוואת לגראנג').  נציג את הביטוי עבור התאוצה באגף שמאל של נוסחת-האם ונקבל:
\[\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}a\left(x\right)\mathrm{d}x\,=\,-\omega^{2}\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}x\,\mathrm{d}x\,=\,-\omega^{2}\left(\frac{x^{2}\left(t\right)}{2}-\frac{x_{0}^{2}}{2}\right)\]
ומכאן,
\[-\omega^{2}\left(x^{2}\left(t\right)-x_{0}^{2}\right)\,=\,v^{2}\left(t\right)-v_{0}^{2}\]
עתה נרכז את הפרמטרים הקבועים (כלומר את שני תנאי ההתחלה) באגף ימין, ואת המשתנים הדינאמיים נעביר לאגף שמאל ונקבל (הורדתי את התלות המפורשת בזמן לצורך נוחות ההצגה):
\[\omega^{2}x^{2}+v^{2}\,=\,\omega^{2}x_{0}^{2}+v_{0}^{2}\]
אגף ימין הוא גודל קבוע ואיננו משתנה במהלך התנועה. לכן כך גם אגף שמאל. קיבלנו איפה שסכום ריבועי "המהירויות" - זו "הזוויתית" וזו "הקווית" - הוא גודל שנשמר בזמן (ציינתי במרכאות כיוון שבפועל אין כאן תנועה מעגלית, פשוט השתמשתי באנלוגיה לתנועה מעגלית). לגודל כזה, שמורכב ממשתנים דינאמיים, אך נשמר במהלך התנועה, אנו קוראים קבוע של התנועה (constant of motion). מצאנו אם כן את הקבוע של התנועה המאפיין תנועה הרמונית קווית. אלא שהקבוע הזה הוא (כצפוי!) האנרגיה הכוללת במערכת (לחצי יחידת מסה), והמשוואה עצמה מבטאת את חוק שימור האנרגיה. נשים לב שהתקבלה משוואת מעגל שבה המהירויות ה"קווית" וה"זוויתית" משמשות קורדינטות, וריבוע רדיוסו הוא האנרגיה הכוללת (עד כדי \(m/2\)).

3) תנועה בשדה של כוח מרכזי:

נתבונן בתנועה לאורך ציר רדיאלי המקיימת את הקשר
\[a\left(r\right)\,=\,-\alpha/r^{2}\]
קשר זה מבטא תאוצה שערכה גדל ככל שהרדיוס קטן (ולהיפך), וכיוונה לעבר המרכז כאשר \(\alpha\) חיובי שהרי אינטגרציה (אשר נותנת את המהירות) מייצרת איבר בסימן הפוך. אינטגרציה מ- \(r_{0}\) ל- \(r(t)\) וסידור האיברים מחדש יתנו עתה
\[-\frac{\alpha}{r}+\frac{v^{2}}{2}\,=\,-\frac{\alpha}{r_{0}}+\frac{v_{0}^{2}}{2}\]
מה שמוכר לכולנו כמשוואת שימור האנרגיה בשדה כבידה בהיעדר תנע זוויתי, אבל כאמור איננו נדרשים למושג "אנרגיה" כדי לקבל את המשוואה. בכל אחת מהדוגמאות דלעיל כל שנדרש מאיתנו הוא "לנחש" קשר בין התאוצה לבין המקום, ומשוואת-האם תנפיק לנו את הקבוע המתאים של התנועה, אותו נוכל לכנות (אם נחפוץ) בשם אנרגיה ליחידת מסה...






תגובה 1:

  1. מרתק!
    כמו בחוקי מאקסוול, המתמטיקה מהווה את התשתית להכל, וצריך לתת רק את הדחיפה הקונספטואלית ה-"קטנה" שתיתן לכל המבנה את המשמעות הפיזיקאלית.

    השבמחק