יום שני, 18 ביולי 2011

הזוג הראשון של משוואות מקסוול

ברשומה זו אראה שניתן לקבל את הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתוך שתי הנחות יסוד פשוטות בתכלית הנתמכות בתצפית, ונראה כאילו הן כמעט מובנות מאליהן. למי שאיננו מתמצא בתורה האלקטרומגנטית אומר רק שזהו צמד המשוואות החשוב ביותר והבסיסי ביותר במסגרת התורה הקלאסית, בהיותו קושר את הדינמיקה של שדות העירור האלקטרומגנטיים (excitation fields) עם מקורותיהם, כלומר עם המטען החשמלי ועם הזרם החשמלי. ובכן, שתי הנחות המוצא שלנו הן:
  1. המטען החשמלי קורן את השפעתו למרחב.
  2. המטען החשמלי הכולל במערכת נשמר בזמן.
    הנחת היסוד הראשונה שקולה לאמירה שהמטען החשמלי מתנהג כחד-קוטב. משמעות הדבר היא שהשפעה חשמלית כלשהי, הנגרמת מעצם קיומו של המטען החשמלי, מתפשטת במרחב, ושניתן לכמתה באמצעות מושג השטף. הנחת היסוד השנייה מוכרת כחוק שימור המטען החשמלי ומשמעותה היא שמטען חשמלי איננו נוצר יש מאין, או שאיננו נעלם אל האין, אלא אם מלכתחילה היתה המערכת ניטרלית מבחינה חשמלית. עתה נראה כיצד שתי הנחות היסוד הללו מובילות הישר אל הזוג הראשון של משוואות מקסוול;

    יהא \(q\) המטען החשמלי הכולל הכלוא באיזור מרחבי כלשהו, אותו נסמן ב- \(\Omega\). את המשטח התוחם את \(\Omega\) נסמן ב- \(\partial\Omega\). אנו נטפל במקרה שהנפח התחום, כמו גם המשטח הסגור התוחם אותו, אינם תלויים בזמן; אפשר כמובן להסיר את המגבלה הזו אבל דיוננו אינו מצריך הכברה בסיבוכיות. על פי הנחת היסוד הראשונה, קורן המטען החשמלי את השפעתו מן השפה ולחוץ או להיפך, תלוי בסימן. הבה נגדיר שדה וקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) המכמת את ההשפעה הזו באמצעות הביטוי
    \[\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{\mathcal{D}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,=\,q\]
    כלומר השטף של השדה הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) דרך משטח סגור כלשהו שווה מבחינה נומרית ומימדית למטען החשמלי הכלוא ע"י משטח זה. השדה הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ידוע בכינויו העתיק "שדה ההעתק", אך בשפה מודרנית יותר נהוג לכנותו שדה הערור החשמלי. ההגדרה המוצגת כאן מוכרת לכולנו בשם חוק גאוס שהוא, מן הסתם, גם הנוסח האינטגרלי של משוואת מקסוול הראשונה. אלא שהגישה בה בחרנו מראה שלא מדובר בהכרח בחוק טבע פלאי, אלא בהגדרה בלבד (זו של שדה העירור החשמלי), היוצקת תוכן ומשמעות להנחת היסוד הראשונה.

    הערה: שימו לב להבחין בין משפט גאוס המתמטי (המכונה גם משפט הדיברגנס), המוכר לכולנו מהקורס בקלקולוס שנה א', לבין חוק גאוס המוגש מעלה, המוכר מיסודות התורה האלקטרומגנטית.


    המטען החשמלי הכולל התחום באיזור המרחבי \(\Omega\) מתקבל כמובן כאינטגרציה נפחית על צפיפות המטען המקומית \(\rho\). ניעזר עתה במשפט הדיברגנס כדי לתרגם את אגף שמאל של המשוואה לאינטגרל נפחי, ונקבל
    \[\underbrace{\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{\mathcal{D}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,=\,\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\,\mathrm{d}V}_{\text{משפט הדיברגנס}}\,=\,\underbrace{\int_{\Omega}\rho\,\mathrm{d}V}_{=\;q}.\]
    אם ההגדרה המקורית לא הטילה כל מגבלה משמעותית על שדה העירור החשמלי, בא הצעד האחרון וטרף כמה קלפים: לא נוכל לבצעו אלא אם נכפה על שדה העירור חלקות בכל תחום האינטגרציה. אבל דרישת החלקות ברורה מאליה כיוון שמטרתינו היא מציאת משוואה הנכונה באופן לוקלי. השוואת האינטגרנדים של שני האינטגרלים הנפחיים בשני אגפי המשוואה תיתן מיד את הנוסח הדיפרנציאלי של חוק גאוס, הוא משוואת מקסוול הראשונה
    \[\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\,=\,\rho\]
    ובאמת, משוואת מקסוול הראשונה איננה באה לבטא אלא את העובדה שצפיפות המטען החשמלי היא מקור שופע או מקור שואב (כלומר source or sink), ושהאופי הבסיסי של המטען החשמלי הוא זה של מונופול, כלומר חד-קוטב. והרי זו בדיוק המשמעות האופרטורית של הדיברגנס: לשמש מדד מדויק ואבן בוחן לשפיעה או השאיבה של השדה הוקטורי הנדון במקום בו אנו בוחנים את ערכו.

    עתה נעבור לחוק שימור המטען החשמלי. כמשתמע מהנחת היסוד השנייה, המטען החשמלי הכולל של "מערכת חשמלית" איננו נגרע ממנה או נוסף לה אלא אם התוספת או הגירעון נרשמו בספר מאזנים קפדני. כיצד נוכל להבטיח זאת? בעזרת מושג צפיפות הזרם החשמלי המוגדר לוקלית דרך המשוואה הוקטורית \(\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}\) באשר \(\boldsymbol{v}\) הוא וקטור המהירות של צפיפות המטען החשמלי \(\rho\) בנקודה האמורה. הזרם החשמלי עצמו (להבדיל מצפיפות הזרם) הוא השטף של צפיפות הזרם דרך משטח כלשהו (אותו נציין באות \(\Sigma\)), הווה אומר:
    \[i_{\Sigma}\,=\,\int_{\Sigma}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,.\]
    כמה הערות על הפרק בטרם נמשיך: יש לראות את \(\boldsymbol{v}\) כשדה המהירויות המוגדר על ההתפלגות המרחבית של צפיפות המטען החשמלי. שדה וקטורי זה אוצר בחובו אינפורמציה נוספת על המקורות ומשום כך נוח וראוי להתייחס לצפיפות הזרם החשמלי כסוג נוסף של מקור. בפועל, הזרמים החשמליים הם המקורות הבלעדיים לכל התופעות המגנטיות. נקודה נוספת: הזרם תלוי במשטח עליו אנו מבצעים את האינטגרציה. ובפרט, נוכל לקחת אינטגרל על משטח סגור ולקבל את הזרם כמדד לשינוי המטען הכלוא בתוך המשטח. כמו מקודם, אנו מניחים שהמשטחים עליהם אנו מבצעים את האינטגרציה קבועים בזמן. ההכללה למשטחים שעוברים דפורמציות איננה בשמיים ומובילה להכללה של משוואות מקסוול עבור מטענים המשובצים על גבי מצע דינאמי כמו למשל במקרה של פלזמה רוחשת. והערה אחרונה: מושג הזרם הוא תלוי מערכת יחוס (למה?). ואף על פי כן, כל ארבעת משוואות מקסוול הן אינווריאנטיות: ודאי תחת טרנספורמציות לורנץ, ובניגוד לדעה די רווחת, גם תחת טרנספורמציות גליליי! אתייחס לכך על קצה המזלג ברשומה עתידית שתוקדש לזוג השני.

    חוק שימור המטען בגירסתו הלוקאלית מבוטא במדויק באמצעות משוואת הרציפות,
    \[\frac{\partial\rho}{\partial{t}}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}\,=\,0\,;\]
    תרגיל חביב הוא להוכיח את נכונותה: תחילה עלינו להראות שהמטען החשמלי הכולל במערכת והזרם החשמלי הכולל המושרה ממנו מקיימים את משוואת שימור המטען הגלובלי, המנוסחת באמצעות הקשר המוכר
    \[-\overset{\displaystyle\, .}{q}_{\Omega}\,=\,i_{\partial\Omega}\]
    (או \(-\dot{q}=i\) בכתיבה קצת יותר רשלנית, אך גם יותר מוכרת). אין זה מסובך כלל ועיקר להראות זאת, אלא שיש לבצע את המהלכים בזהירות כדי לקבל את הסימן הנכון, תרגיל בית לקורא המסור... בשלב הבא יש לרשום את אגף שמאל במשוואה זו כנגזרת מלאה לפי הזמן של האינטגרל הנפחי של (מינוס) צפיפות המטען החשמלי, ואילו את הזרם החשמלי הכולל שבאגף ימין כאינטגרל משטחי על הגבול התוחם את איזור האינטגרציה הנפחית דלעיל. הכלת משפט הדיברגנס על אינטגרל זה תעביר אותנו לאינטגרל הנפחי של הדיוורגנס של צפיפות הזרם החשמלי, והשוואת האינטגרנדים בשני האגפים תיתן מיד את משוואת הרציפות.

    הערה: בתהליך הזה יש להשתמש בקשר
    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\left(\cdots\right)\,=\,\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\cdots\right)\]
    המתקיים כל אימת שאיזור האינטגרציה \(\Omega\) איננו משתנה עם הזמן. אתגר מתמטי חביב הוא לתקן את השוויון הזה עבור המקרה בו האיזור הנדון דווקא כן מתעוות עם הזמן... זו משימה סטנדרטית למדי במימד אחד (נדמה לי שזה בסילבוס של הקורס השני באינפי) אבל היא מצריכה קורטוב של וירטואוזיות בשניים ושלשה מימדים שהם המקרים הרלוונטים למשוואות מקסוול. מכל מקום, לא אכנס לזה כאן.

    עתה נגזור חלקית לפי הזמן את שני אגפי משוואת מקסוול הראשונה, ונשתמש בעובדה שהנגזרת החלקית לפי הזמן מתחלפת עם הנגזרות החלקיות המרחביות. נגייס לעזרתנו את משוואת הרציפות ונקבל (בצעו את השלבים):
    \[\nabla\cdot\left(\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}+\boldsymbol{j}\right)\,=\,0\]
    היות ושדה רוטורי הוא התצורה הוקטורית הלא-טריוויאלית היחידה שהדיוורגנס שלה מתאפס זהותית, הרי שהפיתרון הכללי של המשוואה שקיבלנו זה עתה ניתן ע"י
    \[\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}+\boldsymbol{j}\,=\,\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\]
    זהו בדיוק הנוסח הדיפרנציאלי של משוואת מקסוול השנייה. (בדרך כלל נהוג להציג את הנגזרת הזמנית החלקית של שדה העירור החשמלי באותו האגף יחד עם הרוטור). השדה הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) מכונה שדה הערור המגנטי או בקצרה "שדה מגנטי"; היזהרו לבל תבלבלו אותו עם ההשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) המוכרת לנו מבית הספר התיכון... זו האחרונה שייכת כל כולה לזוג השני של משוואות מקסוול עליו אייחד דיון נפרד.

    הנה כי כן, שיבוץ הדרישה לשימור לוקלי של המטען החשמלי בתוך משוואת מקסוול הראשונה, מנפק את משוואת מקסוול השנייה ומחייב אוטומטית את הצגתו של שדה הערור המגנטי. לשני האיברים של אגף שמאל במשוואה מלמעלה יש מימדים של צפיפות זרם. ובפרט, צפיפות הזרם המשוייכת לנגזרת החלקית לפי הזמן של שדה ההעתק מכונה צפיפות זרם ההעתק. אינטגרציה משטחית על האיבר הזה מייצרת את זרם ההעתק המוכר לנו מקורסי שנה א' באוניברסיטה.

    משימתנו עתה היא לקבל את הנוסח האינטגרלי של משוואת מקסוול השנייה. במקרה זה נרצה לקחת אינטגרציה משטחית על כל האיברים במשוואה הדיפרנציאלית. האינטגרציה על צפיפות זרם ההעתק תייצר את האיבר \(\dot{\Phi}_{\Sigma}[\boldsymbol{\mathcal{D}}]\) כלומר את הנגזרת לפי הזמן של השטף של שדה העירור החשמלי דרך המשטח \(\Sigma\). בדומה לכך, האינטגרציה על צפיפות הזרם \(\boldsymbol{j}\) תייצר את הזרם החשמלי \(i_{\Sigma}\) ואילו את האינטגרל המשטחי על הרוטור שבאגף ימין נוכל להמיר לאינטגרל קווי של שדה העירור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) לאורך הגבול התוחם את המשטח \(\Sigma\) באמצעות משפט סטוקס. בסופו של יום נקבל:
    \[\overset{\displaystyle .}{\Phi}_{\Sigma}\left[\boldsymbol{\mathcal{D}}\right]+i_{\Sigma}\,=\,\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{\mathcal{H}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\]
    ולבסוף, בתנאים בהם עוצמת השטף של שדה העירור החשמלי זניחה, או שהשטף משתנה לאט מאוד עם הזמן כך שנגזרתו זניחה (זהו ככל הנראה המצב הרווח באלקטרוניקה, אבל אני כלל לא בטוח שאני יודע להסביר מדוע זה כך, ואשמח אם מישהו יאיר את עיני בנושא), נישאר עם הביטוי הקומפקטי של חוק אמפר:
    \[i_{\Sigma}\,=\,\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{\mathcal{H}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\,.\]
    כדי לעורר עוד קצת את התיאבון אומר רק שאת הזוג השני של משוואת מקסוול ניתן לקבל באופן כמעט מיידי מתוך אילוץ שיש להכיל על התורה האלקטרומגנטית, ושמקורו תצפיתי. אבל את הנושא הלא-כל-כך מוכר הזה אציג כבר ברשומה אחרת...






    5 תגובות:

    1. כתוב מצוין ומעניין. היה כדאי להוסיף מקרא לסימנים במשוואות. מהו D מהו q וכו'

      השבמחק
      תשובות
      1. תודה רבה :) משמעות הסימנים אמנם מפורטת בתוך הטקסט אבל אולי באמת כדאי היה להוסיף מקרא בסוף הרשומה. לקחתי לתשומת ליבי.

        מחק
    2. שלום אני מתעניין לגבי ניסוח משוואות מקסוול יש הטוענים שע"י ניסוח המשוואות בנגזרות מלאות או טוטליות הן מקבלות פרשנות רחבה יותר כלומר למצב דינאמי.

      במצב של נגזרות חלקיות כפי שהן כתובות הן מתאימות למצב סטטי, האם אכן כך הם פני הדברים

      השבמחק
      תשובות
      1. המשוואות מכילות נגזרות חלקיות לפי הזמן ולכן פתרונן בהכרח מתאר את הדינמיקה של השדות האלקטרומגנטיים. אבל זה בהחלט נכון שניסוח המשוואות באמצעות חשבון תבניות חיצוני (מה שאתה מכנה נגזרות "מלאות" או "טוטליות") נותן תורה רחבה יותר ועשירה יותר שאיננה צמודה למערכת קורדינטות זו או אחרת. יתר על כן, הניסוח הזה אינו מותנה במספר המימדים של המרחב-זמן, הסקטור המטרי של התורה מובחן בבהירות רבה ומשתלב בתורה כמו כפפה ליד, וקל וטבעי יותר לשבץ את השדות הא"מ בתורת הכבידה.

        לעניות דעתי חשבון התבניות החיצוני הוא השפה "הטבעית" של הפיזיקה ולכן השימוש בו מנפק את הפרספקטיבה הרחבה ביותר וגם חושף את השלמות המבנית של התורה. בתכנית שלי להציג את הניסוח הזה ואת האופן שבו הוא מתקבל בעתיד, בלי נדר מקווה להגיע לזה עד סוף השנה.

        מחק
      2. *** סוף השנה האזרחית כמובן...

        מחק