יום ראשון, 20 בפברואר 2011

המתמטיקה והמציאות האובייקטיבית


אחת השאלות המסקרנות במסגרת הפילוסופיה של הפיזיקה היא השאלה הבאה: כיצד יתכן שהמתמטיקה, שהיא כל כולה פרי רוחו של האדם, מתארת באופן מוצלח כל כך את המציאות האובייקטיבית? ברשומה זו אנסה לבאר את התמיהה הזו, וגם לתת לה מענה מסויים כפי הבנתי. מה שאכנה כאן בשם "מציאות אובייקטיבית" מתייחס למציאות של עולם התופעות, או למה שאנו בדרך כלל מכנים "חוקי הטבע".


פיזיקאי תאורטיקן בעבודה בקפיטריה של ברקלי. לקוח מהפוסט
In search of brainpower של Steve Hsu (רוב תודות לסטיב).

המתמטיקה היא מבנה לוגי סדור. כל דיסציפלינה מתמטית מושתתת על סט של הגדרות מופשטות, על מספר מצומצם של הנחות יסוד שבד"כ אינן בנות הוכחה (אבל לעיתים בנות הפרכה), ועל סדרה של פעולות מוגדרות היטב המותרות להפעלה על האובייקים הבסיסיים שהגדרנו. על בסיס שלוש אלו אנו מפתחים מערכת סדורה ובנויה לתלפיות של היגדים, מסקנות והבניות, וכל דבר ודבר מחייב הוכחה בסטנדרטים גבוהים ביותר הנקבעים על ידי קהילת המתמטיקאים כולה. לצורך זה פיתחו המתמטיקאים שפה ייחודית (המובנת רק להם...) שאיננה מאפשרת 'להחליק' בעיות. על ההבדל באופן שבו מתמטיקאים מדברים מתמטית לאופן שבו פיזיקאים מדברים מתמטית, עוד ארחיב ברשומה נפרדת.

בין אם מדובר בהמצאה ובין אם מדובר בגילוי - ויש אסכולות לכאן ולכאן - העשייה המתמטית היא בעיקרה פרי רוחם של המתמטיקאים, ומה שמדריך אותם במלאכתם הוא עקביות, דיוק, ועושר מבני. המתמטיקה עצמה היא במובנים רבים סוג של שפה אנושית, אלא שלהבדיל מהשפות בן אנו דוברים בחיי היום-יום, היא מדויקת מאוד, אוניברסלית, וחד משמעית. עם זאת, אף ששני מתמטיקאים ידונו על מבנה מתמטי מסויים בשפה הנקיה מכפל-משמעויות, הרי שכל אחד מהם עשוי להעלות בעיני רוחו תמונה שונה במקצת מזו שמעלה רעהו, בהתאם ליחודיות תודעתו; המערכת בה דנים השניים היא אמנם עיקבית וחד משמעית אבל כל אחד מהם יוצק לתוכה פרשנויות אישיות המשקפות את רוחו, את היקף עולם הדימויים שלו, את השכלתו וכיו"ב. רוחנו החופשית מאפשרת לכל אחד ואחד מאיתנו להביט על אמת מתמטית מסויימת מזווית ראייה הייחודית רק לנו.

הנקודה המפתיעה בכל הסיפור הזה היא שהמתמטיקה - שהיא כאמור פרי רוחו של האדם - מתארת את המציאות באופן מאוד מדויק. חוקי הטבע עצמם, הדינמיקה של מערכות פיזיקליות, ההתנהגות של מערכות מורכבות ומרובות רבדים, תכונותיהם הצורניות של הגופים הגשמיים, מיון העצמים בטבע לקבוצות כאלו ואחרות, לחבורות... כל אלו ועוד מצייתים ללוגיקה המתמטית באופן מפליא ואף תמוה. למעשה נראה כאילו המציאות עצמה היא מתמטית באופן אינהרנטי, מעין הגשמה מלאה של המחשבה המתמטית. הבה נחדד אם כן את התמיהה:

כיצד זה שחוקי הטבע ניתנים לניסוח באמצעות המתמטיקה, אשר כל כולה מעוגנת ברוחו של האדם? מדוע שתהא המציאות האובייקטיבית נתונה בסד החשיבה האנושית?

המפתח לתעלומה טמון, לדעתי, באופן שבו תופס האדם את המציאות האובייקטיבית. מקובל לחשוב שהאדם תופס את המציאות האובייקטיבית באמצעות חמשת החושים, אבל בפועל חמשת חושינו הם לא יותר מחמישה סוגי חיישנים. תפיסת המציאות (כמו גם תחושת "האני"), להבדיל מהגירויים המתקבלים מאברי החישה, היא מה שמקובל לכנות "תודעה" (awareness, consciousness).

הבה נתבונן, לדוגמא, בתהליך הראייה: העין היא אמנם חיישן אור משוכלל אבל היא איננה "רואה". עיבוד המידע הקשור בהליך הראייה מתבצע כל כולו במוח בתגובה לגירויים המגיעים מן העין, ואולם גם עיבוד זה איננו ראוי להיקרא "ראייה". מה שאנו רואים הוא בסופו של דבר תמונה של מציאות המצטיירת בתודעתנו במנותק מכל מציאות פיזית שהיא; הראייה היא הפרשנות הסופית לפלט של ה"מעבד" הניזון מתוך אינספור תהליכים אלקטרוכימיים בעלי צימוד חזק, והמפרשן הוא התודעה. תהליך של "ראייה" עשוי להתרחש כמובן גם ללא גירויים המגיעים מהעין, כמו למשל כאשר אנו רואים בדמיוננו, בחלומותנו, בהזיותנו. אבל תנאי הכרחי (גם אם לא מספיק) לכך שמה שאנו רואים אכן מתאר נגזרת של המציאות האובייקטיבית הוא קבלת גירויים המתקבלים מהעין ושילובם בתהליך העיבוד הכולל.

המוח הוא זה המאפשר את פעילות התודעה במובן זה שהוא מעבד עבורה את הגירויים המגיעים מאברי החישה, אבל התודעה לכשעצמה איננה "תופעה" שניתנת למיקום באופן פיזי; איננו יכולים לומר, למשל, שהתודעה "יושבת" במוח משום שתודעה איננה כלל מושג גשמי ומסופקני אם היא בכלל ניתנת לכימות כלשהו.

לעניות דעתי, התודעה היא סוג משוכלל ביותר של מה שמקובל לכנות במדע emergent phenomenon, 'תופעה מגיחה' בעברית תקנית, פסגת ההישגים של הטבע. מעין עירור (excitation) קולקטיבי של אינספור עיבודים מוחיים שיש לו קיום עצמאי משל עצמו, הצף ועולה על גבי תהליכי העיבוד שמבצע המוח, במנותק מאינספור ההתרחשויות הפיזיות המשרות אותו. מתוך כל האמור לעיל יוצא איפה שאנו תופסים את המציאות ואת עצמנו באמצעות התודעה, ובאמצעותה בלבד. אבל מי יתקע לידנו שתודעתנו מספקת שיקוף אמין של המציאות האובייקטיבית? למען האמת, לא איש. כל שנוכל לומר הוא שתודעתנו מפותחת מספיק כדי להבטיח את קיומנו הפיזי בעולם שהוא לכאורה זר ומנוכר***. אמירה זו תופסת כמובן גם לגבי בעלי החיים, תהא תודעתם אשר תהא.

חלק בלתי נפרד ממבנה התודעה שלנו כבני אנוש הוא מה שאנו מכנים לוגיקה. אנו בנויים פיזית לתפוס את המציאות האובייקטיבית באופן עקבי ונטול סתירות ככל האפשר (תפיסה במובן perception). בשפה מטאפורית, הלוגיקה היא אוסף התבניות לתוכן אנו יוצקים את תפיסת המציאות שלנו, והיא זו המאפשרת לנו להעלות ברוחנו תמונת עולם סדורה ומדוייקת. אין זה הכרח שהלוגיקה "שלנו" היא הדרך היחידה לתפוס את המציאות האובייקטיבית באופן עקבי וחד משמעי, אבל ככל הנראה זו הדרך היחידה הפתוחה בפנינו אם חפצנו בתיאור כמותי שלה. ומכיוון שהמתמטיקה היא הביטוי הנאצל של התבניות הללו, הרי שבאמצעותה אנו מתארים את המציאות ומבינים אותה. המתמטיקה היא אם כן בבואה של המבנה הלוגי של התודעה האנושית ולאו דווקא בבואה של חוקי הטבע...

ובכן, האם המציאות האובייקטיבית היא מתמטית מיסודה? לעניות דעתי, לא ולא! המציאות האובייקטיבית קיימת במנותק לגמרי מהחוויה האישית שלנו, אף שמבחינה פיזית אנו מוכלים בה. היא פשוט "שם". אלא שהמתמטיקה היא השיטה העיקבית והכלי הכמותי באמצעותו יש לאל ידנו לתפוס אותה. משום כך אין זה נכון לומר שחוקי הטבע מצייתים למתמטיקה, אבל יהיה זה בהחלט נכון לומר שהמתמטיקה היא הדרך האחת הפתוחה בפנינו לנסח את חוקי הטבע.

תודעה היפותטית מסוג שונה, נאמר של ישויות "חוץ-ארציות" כלשהן, ודאי הייתה מפתחת "מתמטיקה אחרת" כדי לתאר את המציאות האובייקטיבית. הייתי מסתכן ומנחש שאפילו האריתמטיקה במתכונתה המוכרת לא הייתה שורדת את המעבר מהמתמטיקה "שלנו" למתמטיקה "שלהם". אבל שתי הפרקטיקות המתמטיות הללו, העשויות להיות זרות מאוד זו לזו, הן לא יותר משתי שפות לוגיות שונות שצומחות ועולות מתוך שני מבני תודעה שונים כדי לתאר את אותה מציאות אובייקטיבית. למה נוכל להמשיל זאת? לשני צופים אינרציאליים הנותנים תיאור פנומנולוגי שונה לחלוטין לאותה מציאות אובייקטיבית. למשל, אחד מהם עשוי לטעון ששני מאורעות מסוימים הם בו-זמניים, בעוד שהאחר יטען ששני המאורעות הללו מתרחשים בזמנים שונים. שניהם צודקים לחלוטין, שניהם מתארים בדיוק את אותה המציאות הפיזיקלית, אלא שהמציאות הזו מתגשמת באופן שונה עבור כל אחד מהם (זהו תוצא ידוע של תורת היחסות הפרטית).

לסיכום, זה לא הטבע שמציית למרות המתמטיקה, אלא אנו הם אלו המצייתים למרות הזו משום שמקורה הוא במבנה התודעה שלנו. אנו מתארים את חוקי הטבע בשפה מתמטית משום שאין לנו כל ברירה אחרת; זו ככל הנראה הדרך האחת בה נוכל לפרש את המציאות האובייקטיבית באופן עקבי וחד משמעי. אין בכך כדי לשלול קיומן של פרשנויות אחרות למציאות, אלא שהללו אינן נגישות לנו, לפחות לא באופן כמותי. יתרה מזאת, אין גם ביטחון שהמתמטיקה תוכל אי פעם לספק לנו תמונה מלאה של המציאות האובייקטיבית. אבל זה מה יש, וזה לא מעט...


*** זוהי כמובן נקודת מבט המתעלמת לחלוטין מקיומה של ההשגחה. אף שאינני סבור שיש בהתעלמות זו שמץ של הגיון, לקחתי על עצמי כאן חובה שלא לחרוג ממסגרת הדיון המדעי.