יום שבת, 8 בינואר 2011

שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית


תורת היחסות הפרטית היא דוגמא מובהקת לתאוריה מדעית בעלת שלמות פנימית המיוסדת על אוסף מצומצם ביותר של עקרונות יסוד פיזיקאליים. עקרונות היסוד הללו אינם בבחינת אקסיומות שרירותיות שנוסחו רק כדי להתאים מודל תאורטי לממצאים נסיוניים, אלא רעיונות פשוטים בתכלית שההגיון הפנימי שלהם נראה לנו טבעי ומוצק. רשימה זו עוסקת אם כן במבנה האקסיומטי של התורה.

ובכן, הצעד הראשון בניסוחה של תורת היחסות הפרטית מתחיל בעיקרון היסוד הבא:

עיקרון-יסוד ראשון: קיימת מחלקה מיוחדת ומאוד מיוחסת של מערכות ייחוס, המכונות מערכות התמד, אשר בן מתקיים החוק הראשון של ניוטון.

כזכור לכולנו, מערכת התמד היא מערכת ייחוס שבה וקטור המהירות של גוף נשמר בזמן, אלא אם פועלים עליו כוחות חיצוניים שאינם משתקללים לאפס. שימו לב שאין כאן כל מגבלה על פעולתם של כוחות חיצוניים כלשהם: אם הם קיימים, אז וקטור המהירות פשוט איננו נשמר בזמן, אבל אנו נזהרים מאוד להסיק מכך שבמקרה זה תקף החוק השני של ניוטון. הסקה כזו עשוייה להוות מכשלה רצינית משום שאז אנו קופצים היישר אל המים העמוקים של הדינאמיקה לפני שלמדנו לשחות. מאידך גיסא, אם וקטור המהירות איננו נשמר בזמן, זאת למרות שלא פועלים על הגוף כוחות חיצוניים, אזי אין מדובר במערכת התמד. במקרה זה אנו אומרים שפועלים במערכת כוחות מדומים, וכפי שכבר כתבתי בעבר, הללו משמשים אבן בוחן מהימנה לקביעה האם המערכת בה אנו דנים היא אכן מערכת התמד אם לאו. כיוון שוקטור המהירות הוא זה המשמש באיפיונה של מערכת ההתמד, הרי שמערכות ההתמד נבדלות זו מזו אך רק באמצעות מהירותן היחסית, וזו חייבת להראות קבועה בזמן מכל מערכת התמד. שהרי אם מהירותן היחסית איננה נראית קבועה בזמן ממערכת התמד כלשהי, אז בהכרח לפחות אחת מהן איננה מערכת התמד. זאת משום שגוף אשר יתמיד במהירותו במערכת האחת, יראה לצופה מהמערכת האחרת כמי שמהירותו משתנה בזמן ללא התערבותם של כוחות חיצוניים. המהירות היחסית היא, אם כן, סוג של פרמטר שבאמצעותו אנו מבדילים בין מערכות ההתמד השונות. הבה ניגש עתה לניסוחו של עיקרון היסוד השני:

עיקרון-יסוד שני: כל מערכות ההתמד שקולות לחלוטין זו לזו מבחינה פיזיקאלית.

מה משמעותה של השקילות הפיזיקאלית המוחלטת הזו? פירושו של דבר הוא שחוקי הטבע זהים לחלוטין בכל מערכות ההתמד. שימו לב שמכאן גם נובע שמצב מנוחה ומצב של תנועה קצובה הם אותו מצב עצמו מבחינה פיזיקאלית. ההבדל הוא קינמטי בלבד ומשמעותו: זו מערכת התמד אחת, וזו מערכת התמד אחרת. וזהו. מערכת המנוחה של צופה מתמיד שקולה לחלוטין למערכת הצמודה לאחיו התאום הנע במהירות הרחוקה מרחק של כלום ממהירות האור ביחס אליו. כפי שניווכח בהמשך, מהתורה שאת עקרונותיה אנו מנסחים כאן נגזר שמהירות האור איננה ברת השגה עבור צופה חומרי, תהיינה הנסיבות אשר תהיינה. מנקודת מבטו של צופה במערכת התמד, המציאות היא מוחלטת במובן זה שהיא מצייתת למערכת חוקים אחת ויחידה, בלי כל תלות בנקודת המבט. זוהי אמירה חזקה ביותר והיא עומדת בסתירה מובהקת לעמדות שנתקבעו להן בחשיבה הפוסט-מודרנית אצל כמה מאלו המכנים עצמם "הוגי-דעות". מוחלטותה של המציאות החומרית היא נדבך מרכזי בתורת היחסות הפרטית (כמו גם ביחסות הכללית), תורה אשר נמצאה תואמת באופן מושלם את כל התצפיות והניסויים שנערכו עד כה. וכי אפשר היה בכלל לעשות ולדבר פיזיקה אלמלא היו חוקי הטבע אחידים בעיני כל הצופים האינרציאליים? 

הבה נגדיר עתה מושג חדש: הואקום הקלאסי הוא מציאות של היעדר חומר. מציאות זו גוררת בהכרח גם היעדר מוחלט של מטען חשמלי על כל צורותיו (צפיפות מטען או צפיפות זרם) מכיוון שחשמליות היא תכונה העשויה לאפיין אך ורק חומר, הווה אומר, אך ורק חלקיקים בעלי מסה. נדגיש ונאמר: לא מדובר כאן בואקום של המכניקה הקוונטית; הואקום הקוונטי הוא מושג מתוחכם בהרבה מזה הקלאסי, אם כי קיים ביניהם קשר כלשהו. נקודה נוספת וחשובה ביותר: המציאות נטולת החומר עשויה בהחלט "להכיל" שדות אלקטרומגנטיים ועדיין להיחשב לואקום. לא זו בלבד שהיא עשוייה להכיל שדות כאלו; בפועל היא תמיד תכיל שדות כאלו, גם אם צפיפות האנרגיה שלהם נמוכה להפליא. זאת הסיבה שהואקום איננו "ריק" אמיתי אפילו במתכונתו הקלסית. חומר ומטען אין בו, אנרגיה יש ויש. הבה ניגש עתה לניסוחו של העיקרון השלישי החיוני מאין כמוהו לקביעת המסגרת המתמטית של תורת היחסות הפרטית: 

עיקרון-יסוד שלישי: הואקום הוא מציאות אוניברסלית המשותפת לכל מערכות ההתמד. ובפרט, המבנה האלקטרומגנטי של הואקום משותף לכל מערכות ההתמד.


למה אנו מתכוונים באומרנו "המבנה האלקטרומגנטי של הואקום"? כלום ל"ריק" יתכן מבנה כלשהו? התשובה היא, בהחלט כן! המסגרת המתמטית המתארת את הענף האלקטרומגנטי של המציאות מתמצאת בשני זוגות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתיימרות לנפק את ההתפתחות בזמן של ארבע שדות וקטורים. אלו הן משוואות מקסוול המוכרות לכולנו... הזוג הראשון של משוואות מקסוול קושר בין שדה העירור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) (המכונה גם שדה ההעתק) ושדה העירור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\), לבין המקורות של האינטראקציה האלקטרומגנטית, כלומר להתפלגות המטען החשמלי והתפלגות הזרם החשמלי. הזוג השני של משוואות מקסוול הוא אילוץ מסויים הבא לבטא את העובדה שאין בנמצא מטענים מגנטיים (מקורם של השדות המגנטיים הוא הזרמים החשמליים). לצורך זה אנו מגדירים שני "שדות אילוץ" נוספים: השדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) ושדה ההשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\), והללו מקיימים שתי משוואות חלקיות הומוגניות, כלומר משוואות ללא מקורות. המשוואה הראשונה בכל אחד מזוג המשוואות היא משוואה סקלרית, והמשוואה השנייה בכל זוג היא משוואה וקטורית. לכן סה"כ יש בידנו שמונה משוואות על שתיים-עשרה דרגות חופש. משהו אם כן חסר. ה"משהו" הזה הוא קישרי המבנה של התורה האלקטרומגנטית המתארים את הקשר בין שדות העירור לבין שדות האילוץ בהיעדר מקורות, כלומר בואקום. הנה הקשרים:
\[\boldsymbol{\mathcal{D}}\:=\:\epsilon_{0}\boldsymbol{E},\quad\boldsymbol{B}\:=\:\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}\]
לא אתעכב על הקשרים המיוחדים האלו כאן. אנו נתייחס אליהם כחלק אינטגראלי של התורה האלקטרומגנטית, לכן ההצדקה שלהם צריכה להגיע משם. הפרמטרים \(\epsilon_{0}\) ו-\(\mu_{0}\) הם קבועים אוניברסליים המאפיינים את המבנה האלקטרומגנטי של הואקום. אפשר לאמר באופן ציורי שזהו הברקוד האלקטרומגנטי של הואקום. במילים אחרות, התכונות האלקטרומגנטיות של הואקום מקודדות בקישרי המבנה של התורה האלקטרומגנטית. אם להסתמך על עיקרון היסוד השלישי, אזי הקשרים הללו נשמרים במדוייק במעבר ממערכת התמד אחת לשנייה.

משוואות מקסוול יחד עם קישרי המבנה מקיפות את כל הענף האלקטרומגנטי של המציאות. פיתרונן, בהינתן קונפיגורציה מסויימת של מטענים וזרמים, מתאר במדוייק (ברמה הקלאסית) את הדינאמיקה של השדות האלקטרומגנטיים ושל המטענים והזרמים המשובצים בם. ובפרט, המשוואות תקפות גם בואקום, בהיעדר מקורות. אם ניקח את ארבעת משוואות מקסוול ללא מקורות ונציג בן את קישרי המבנה, נצטמצם לשתי משוואות גלים עבור השדה החשמלי ושדה ההשראה המגנטית. פיתרונן של משוואות הגלים הללו מתאר הפרעות רוחביות בשדה החשמלי ובהשראה המגנטית המתקדמות בזמן תוך שהן שזורות זו בזו, ובמהירות הניתנת בביטוי

\[c\:=\:\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}\]
אנו מזהים את ההפרעות האלו עם אור! כל ניסוי וכל תצפית שנערכו עד כה מאששים את ההבחנה הזו. אבל שימו לב: מדובר בהפרעות המתקדמות בריק! כלומר בגלים המתפשטים באין תווך! משום כך הציעו רבים וטובים את קיומו של האתר - תווך בלתי משיש בו מתאפשרת התקדמות הגלים האלקטרומגנטיים. אלא שהעקביות המתחייבת מכל שניסחנו עד כה שוללת לחלוטין קיומו של תווך כזה. שהרי אם הוא קיים אז מערכת המנוחה שלו (שהיא בהכרח מערכת התמד) מיוחסת ביחס לכל מערכת התמד אחרת. רעיון כזה סותר את הבינה, ואת עיקרון היסוד השני המושתת עליה... לא נוכל אם כן להמנע מהמסקנה שהאור הוא-הוא המבנה האלקטרומגנטי של הואקום, ובפרט, מהירות האור בואקום היא קבוע אוניברסלי המתחייב מהמבנה האלקטרומגנטי של הואקום.

האינווריאנטיות של הואקום תחת מעבר ממערכת התמד אחת לשנייה מחייבת מהירות אור משותפת לכל מערכות ההתמד, עובדה שנתבררה כנכונה מבחינה אמפירית באינספור בדיקות ותצפיות. חשוב להדגיש: כל המסקנות הללו מוגבלות למחלקת מערכות ההתמד, והן אינן תופסות במערכות מואצות או בנוכחות שדות כבידה. יש הבוחרים לראות את הדברים מזווית מעט שונה: לדידם קביעות מהירות האור בכל מערכות ההתמד היא עובדה אמפירית, וככזו ראשונה בהיררכיה מבחינת חשיבותה. לכן תורת היחסות כולה צריך שתהא מושתתת על עובדה זו. או-אז, משקיבלנו זאת כזה-ראה-וקדש, לא נותר לנו אלא להסיק שמערכות ההתמד הן בהכרח שקולות זו לזו, מה שממילא מייתר ומבטל את הקונספט של האתר ומחליף אותו בדבר-מה אחר... ומהו אותו "דבר-מה" אחר?

הבה נחזור למתודה המושתתת על שלשת עקרונות היסוד. מבין השלושה, העיקרון השלישי והאחרון בדבר האינווריאנטיות של המבנה האלקטרומגנטי של הואקום הוא זה המכתיב את התיאור הקינמטי *הנכון* של המציאות, ומאפשר בהמשך לנסח את התיקונים המתבקשים בסקטור הדינאמי. עקרון זה מחייב הסתכלות שונה מזו שהיינו מורגלים בה עד כה בכל מה שקשור במעבר בין מערכות התמד, ולמעשה מכתיב את החלפתם של טרנספורמציות גלילייי בטרנספורמציות לורנץ. אלו הן הטרנספורמציות המינימלסטיות המבטיחות את האינווריאנטיות של קשרי המבנה תחת המעבר. לא אתעכב כאן על הפרטים הטכניים, רק אזכיר שטרנספורמציות לורנץ 'מערבבות' בין קורדינטת הזמן לקורדינטות המרחביות ובשל כך מאחדות הלכה ולמעשה את המרחב עם הזמן לכדי מהות אחת, מיוחדת וייחודית, הלא היא המרחב-זמן. מרגע שהפנמנו את האחדה המתבקשת הזו בא הקץ על קונספציות שגויות שכה הורגלנו בהן. בפרט, אבד הכלח לעד על מושג האתר; תחתיו בא המרחב-זמן המאוחד, הנפרש באמצעות סרגלים המתכיילים מחדש במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה. בהקשר זה מפתיעה במיוחד היא העובדה ששעונים הממוקמים במערכות התמד שונות מתקתקים בקצבים שונים, ושמושגים כמו בו-זמניות ומקומיות הם תלויי-צופה... יתר על כן, האור עצמו איננו מערכת התמד ולכן גם אין לו מערכת מנוחה! לכל מה שתארנו כאן (ולתוצאים רבים נוספים שלא תארנו כאן) יש משמעויות מרחיקות לכת בנוגע לאופן שבו אנו תופשים את עולמנו. על כך - ובלי נדר - ברשומה עתידית נפרדת...