יום ראשון, 9 באוקטובר 2011

הזוג השני של משוואות מקסוול וקשרי המבנה של הואקום


ברשומה קודמת נוכחנו לדעת שהזוג הראשון של משוואות מקסוול הוא פועל יוצא של שתי הנחות יסוד פיזיקליות: ההנחה שהמטען החשמלי קורן השפעתו, וכן שערכו הכולל במערכת נשמר בזמן. מתוך הנחות אלו מתקבלות שתי משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את קשרי הגומלין בין צפיפות המטען החשמלי וצפיפות הזרם החשמלי לבין שדות העירור אותם הם משרים. ברשומה אחרת, זו העוסקת בשלשת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית, טענתי שהזוג השני של משוואות מקסוול הוא מעין אילוץ הבא לבטא את העובדה שאין בנמצא מטענים מגנטייים. עתה אייחד כמה מילים על כך כאן.

הזוג הראשון של משוואות מקסוול ראוי לכינוי משוואות החשמל שהרי, כאמור, בא הוא לבטא את קשרי הגומלין בין המטענים החשמליים לבין שדות הערור אותם הם משרים. כאן ארבעה מקורות, דהיינו צפיפות המטען החשמלי \(\rho\) וצפיפות הזרם החשמלי \(\boldsymbol{j}\), משרים שישה רכיבי שדה: שלשת המרכיבים של שדה הערור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\), ושלשת המרכיבים של שדה הערור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\). זה הראשון מושרה מנוכחות מטען חשמלי נייח, ואילו השני מושרה מנוכחות מטען חשמלי נייד, או מצפיפות זרם ההעתק. הבה נרשום את משוואות החשמל שוב לתזכורת:
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&\,=\,\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&\,=\,\boldsymbol{j}\end{aligned}
המקור של שדה העירור המגנטי הוא לא אחר מאשר הזרם החשמלי, ואין בין זה לבין שאלת קיומם של מטענים מגנטיים דבר וחצי דבר. לו היו כאלו בנמצא, היינו מצפים לזוג נוסף של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, זוג מגנטי למהדרין, בן דמותו של הזוג החשמלי דלעיל, אלא שעתה היו מקורות השדה מורכבים מצפיפות מטען מגנטית וצפיפות זרם מגנטית, ושדות הערור המושרים היו נוספים על אלו שהזכרו בהקשר החשמלי. לו היו בנמצא מטענים מגנטים, היו אלו מובחנים במפורש מהמטענים החשמליים, וטבעה של האינטראקציה ההדדית בין שני אלו נקבע היה באמצעות קשרי המבנה של הואקום, אותם אתאר בהמשך. ואולם, אין ולו עדות אמפירית אחת לקיומם של מונופולים מגנטים. נוכל אמנם לבנות קונפיגורציות של זרמים חשמליים אשר תנפקנה שדות מגנטיים הנראים כאילו קורנים הם מנקודה, אלא שאין אלו אלא מונופולים אפקטיביים, ולא חלקיקים 'אמיתיים'. האם קיימת סיבה טובה להיעדרם של מטענים מגנטיים מהטבע? לעניות דעתי בהחלט כן ועל כך אייחד רשימה נפרדת.

ובכל זאת, הבה נניח לרגע שיש צפיפות מטען מגנטית בטבע, אותה נציין באמצעות \(\rho_{\text{m}}\)... את שדה העירור המושרה ממנה נציין בסימון \(-\boldsymbol{B}\), והוא האנלוג המגנטי לשדה העירור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\). (סימן המינוס כאן חסר משמעות ומקורותיו היסטוריים גרידא.) צפיפות הזרם המגנטי ניתנת ע"י הוקטור \(\boldsymbol{j}_{\text{m}}=\rho_{\text{m}}\boldsymbol{v}\), באשר \(\boldsymbol{v}\) מייצג את שדה המהירות של המטענים המגנטיים כפי שהוא נדגם במערכת יחוס נתונה. גם צפיפות זו משרה שדה עירור, ואנו נציין אותו באות \(\boldsymbol{E}\); שדה עירור זה אנלוגי לגמרי לשדה הערור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\). משוואות המגנטיות המתאימות, האנלוגיות לצמד משוואות החשמל מלמעלה תינתנה איפה ע"י:
\begin{aligned}\nabla\cdot\left(-\boldsymbol{B}\right)&\,=\,\rho_{\text{m}}\\\nabla\times\boldsymbol{E}-\frac{\partial\left(-\boldsymbol{B}\right)}{\partial{t}}&\,=\,\boldsymbol{j}_{\text{m}}\end{aligned}
אבל אין מטענים מגנטים בטבע... תופעות מגנטיות - יש ויש. לכן אם יש משמעות כלשהי לסט המשוואות מלמעלה, הרי שאגף ימין המכיל את המקורות חייב להתאפס. וזה בדיוק מה שמוביל אותנו לזוג השני של משוואות מקסוול:
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{B}&\,=\,0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&\,=\,-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}\end{aligned}
השדה \(\boldsymbol{B}\) מכונה (מסיבות מובנות) השראה מגנטית, והשדה \(\boldsymbol{E}\) מכונה (מסיבות שמיד תתבררנה) שדה חשמלי.

ובכן, מה באמת קרה כאן? המצאנו מטענים שלא קיימים, המשרים סביבים שדות שלכאורה גם הם אינם קיימים, בנינו להם משוואות על פי רצפט מוגדר היטב (ראו הרשומה על הזוג הראשון) ואז באנו ואמרנו: "טוב, אם המטענים לא קיימים, נציג במקומם פשוט אפס... וכך נשארנו עם צמד משוואות דיפרנציאליות הומוגניות עבור שדות רפאים... ובכן, לכאורה אין לשדות הללו שום קיום. אלא שאנו נוכל למנף את הרעיון לתועלתנו: נוכל לראות בזוג השני של משוואות מקסוול אילוץ על התורה האלקטרומגנטית הבא לבטא את העובדה שאין בנמצא מקורות מגנטיים, ובלבד שנוכל לקשרם לשדות העירור האמיתיים מאוד של הזוג החשמלי...

וכאן נכנסים לתמונה קשרי המבנה של התורה האלקטרומגנטית. אנו מניחים שקיימים קשרים אינווריאנטים (תחת טרנספורמציה בין מערכות ההתמד) בין צמד שדות העירור של הזוג הראשון, לבין צמד שדות האילוץ של הזוג השני כלומר \(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{\mathcal{D}},\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\) וכמו כן \(\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{\mathcal{D}},\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\). קשרים אלו "מפיחים רוח חיים" בשדות \(\boldsymbol{B}\) ו- \(\boldsymbol{E}\) המשמשים עתה אילוץ על התורה האלקטרומגנטית, אילוץ שכאמור מבטא את היעדר קיומם המוחלט של מטענים מגנטים בטבע. במקרה הכללי ביותר, בתווך טעון הנמצא בתנועה מתמדת, הקשרים הללו לובשים צורה מסובכת ביותר: הם לא בהכרח לוקליים והם תלויים, בין השאר, גם בהסטוריה של השדות... ומנגד, בואקום של היחסות הפרטית מתקבלים קשרים לינארים, פשוטים להפליא:
\[\boldsymbol{B}=\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}\,,\quad\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\,.\]
מכאן גם ברור מדוע כינינו קודם לכן את \(\boldsymbol{E}\) בשם "שדה חשמלי", ומדוע נהוג לכנות את \(\boldsymbol{B}\) (בלי משים) בשם "שדה מגנטי"... הפרמטרים \(\epsilon_{0}\) ו- \(\mu_{0}\) הם קבועים אוניברסליים, ואם אין הם מקבלים את אותו ערך נומרי בכל מערכות ההתמד, הרי שלקשרי המבנה שרשמנו אין שום משמעות (למה?). קשרי המבנה דלעיל הם תעודת הזהות האלקטרומגנטית של הואקום, והם גם שעומדים מאחרי המבנה המטרי שלו! הקבועים האוניברסליים המופיעים בקשרי המבנה (המכונים גם הפרמביליות והפרמיטיביות של הואקום, בהתאמה) הם "הברקוד האלקטרומגנטי" של המרחב-זמן היחסותי. מכל מקום, חשוב להדגיש שקשרי המבנה של הואקום (המכונים לעיתים גם קשרי האתר) הם פוסטולט לכל דבר, בעוד שקשרי המבנה בתווך הם סוג של משוואות מצב המתקבלות באופן אמפירי.

במבט ראשון נראה כאילו יש לנו יותר מדי משוואות... ארבעה שדות וקטוריים הם שתיים-עשרה דרגות חופש. הזוג הראשון של משוואות מקסוול (משוואות החשמל) מנפק ארבע משוואות, הזוג השני של של משוואות מקסוול (משוואות המגנטיות) מנפק עוד ארבע משוואות, קשרי המבנה מנפקים שש משוואות, סה"כ ארבע-עשרה משוואות. אבל בקלות נוכל לשפר את המצב...

משוואות האילוץ נפתרות באופן זהותי ע"י
\begin{aligned}\boldsymbol{B}&\,=\,\nabla\times\boldsymbol{A},\\\boldsymbol{E}&\,=\,-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{t}}\end{aligned}
השדה הוקטורי \(\boldsymbol{A}\) מכונה הפוטנציאל המגנטי, והשדה הסקלרי \(\phi\) הוא הפוטנציאל החשמלי. קיבלנו איפה שששת הרכיבים של ההשראה המגנטית והשדה החשמלי ניתנים לתאור מלא באמצעות ארבעת רכיבי הפוטנציאלים. נוכל להשתמש עתה בקישרי המבנה של הואקום כדי לבטא את משוואות החשמל (כלומר את הזוג הראשון של משוואות מקסוול) באמצעות ארבע דרגות חופש אלו, ונקבל

\begin{aligned}\nabla^{2}\phi+\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)&\,=\,-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\,,\\\nabla^{2}\boldsymbol{A}-\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial{t}^{2}}-\nabla\left[\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\right)\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\right]&\,=\,-\mu_{0}\boldsymbol{j}\,.\end{aligned}

הנה לנו ארבע משוואות בארבע דרגות חופש עם ארבעה רכיבי מקורות... ומהיכן הגיחה קודם לכן המיותרות שקיבלנו? התשובה: מחופש הכיול. אבל על כך בפעם אחרת.

לפני סיום, הבה ננסח את הגירסא הגלובלית של הזוג השני: ובכן, אינטגרל על הנפח \(\Omega\) של המשוואה \(\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0\), ושימוש במשפט הדיברגנס מנפק מייד את האנלוג המגנטי למשוואת מקסוול הראשונה, היינו
\begin{aligned}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,=\,0\,,\end{aligned}
ובמילים: השטף המגנטי דרך כל משטח סגור מתאפס. זוהי כמובן הגרסא הגלובלית של הטענה שאין בנמצא מונופולים מגנטיים. הלאה: אינטגרציה על משטח \(\Sigma\) של המשוואה \(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\partial\boldsymbol{B}/\partial{t}\) ושימוש במשפט סטוקס מובילים מייד אל האנלוג המגנטי של משוואת מקסוול השנייה,
\begin{aligned}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\,=\,-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}}\int_{\Sigma}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\end{aligned}
ומשמעותו הפיזיקלית: המרכיב הסירקולטיבי של השדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) מגיע כל כולו מהשינוי בשטף המגנטי דרך לולאת הסירקולציה. זהו חוק פרדיי המפורסם.




לפרק הראשון




יום רביעי, 21 בספטמבר 2011

משפט עבודה-אנרגיה מקינמטיקה


המטרה: לקבל את משפט עבודה-אנרגיה עבור מערכות חד מימדיות, מתוך הקינמטיקה ומבלי להיעזר בחוק השני של ניוטון ובהגדרת המושגים עבודה ואנרגיה...

הקדמה:

נניח קיומו של גוף "נקודתי" שמסתו \(m\). מיקומו של הגוף בכל זמן \(t\) ניתן באמצעות פונקציית מקום זמן \(x(t)\). המהירות הרגעית מוגדרת כקצב שינוי המקום, והיא מתקבלת באמצעות גזירה לפי הזמן של פונקציית מקום-זמן:
\[v\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\]
בשיטת SI מתקבלת המהירות הרגעית ביחידות של מטר לשנייה. אם מדובר במהירות הקבועה בזמן, כלומר בתנועה קצובה לאורך קו ישר, נוכל פשוט לרשום \(v=\Delta{x}/\Delta{t}\); במקרה זה המהירות הרגעית מתלכדת עם מושג המהירות הממוצעת, המוגדרת כהעתק הכולל במהלך התנועה חלקי הזמן הכולל של התנועה.

התאוצה הרגעית מוגדרת כקצב שינוי המהירות הרגעית (או המהירות הרגעית שבה משתנה המהירות הרגעית...), והיא מתקבלת באמצעות גזירה לפי הזמן של המהירות הרגעית, כלומר
\[a\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\]
בשיטת SI - מתקבלת התאוצה ביחידות של מטר לשנייה בריבוע. אם התאוצה הרגעית קבועה בזמן אנו אומרים שהתנועה שוות-תאוצה, ובמקרה זה נוכל לרשום  \(a=\Delta{v}/\Delta{t}\).

הפרדת משתנים:

הבה נרשום את התאוצה באופן הבא:
\[a\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\,v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\]
(בשוויון האחרון הצגנו  \(v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\)); עתה נבצע הפרדת משתנים ונקבל:
\[a\,\mathrm{d}x\,=\,v\,\mathrm{d}v\]
זוהי משוואה דיפרנציאלית שבה אגף ימין ניתן לאינטגרציה מיידית:
\[\int{v}\,\mathrm{d}v\,=\,\frac{v^{2}}{2}\]
התאוצה באגף שמאל, לעומת זאת, עשוייה להיות תלוייה במקום באופן לגמרי לא טריוויאלי, וכל שנוכל לרשום לפי שעה הוא ש- \(a=a(x)\). אמת, את התלות המפורשת של התאוצה במקום נוכל לקבל רק מתוך עיקרון פיזקלי כלשהו, למשל מתוך החוק השני של ניוטון, אבל תוקפה של המשוואה הדיפרנציאלית שקיבלנו איננו תלוי בדבר פרט להגדרות הקינמטיות מלמעלה.

אינטגרציה:

נוציא אם כן אינטגרל לשני האגפים של המשוואה הדיפרנציאלית. באגף ימין נבצע אינטגרציה מ- \(v(t=0)=v_{0}\) ועד \(v(t)\). בהתאם לכך, האינטגרציה באגף שמאל נלקחת מ- \(x(t=0)=x_{0}\) ועד \(x(t)\). הגדלים \(x_{0}\) ו-\(v_{0}\) הם כמובן תנאי ההתחלה בבעיה. מתוך כך מתקבלת נוסחת-אם סגורה וכללית למדי מהצורה
\[\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}a\left(x\right)\mathrm{d}x\,=\,\frac{v^{2}(t)}{2}-\frac{v_{0}^{2}}{2}\]
שימו לב לרישום: \(v^{2}(t)\equiv(v(t))^{2}\).

למען האמת, נוסחת-אם פשוטה זו שקולה למשפט עבודה אנרגיה. קל מאוד להיווכך בזאת: הכפילו את שני האגפים במסה ותקבלו שהעבודה המתבצעת ע"י הכוח (כלומר האינטגרל לאורך דרך של הגודל \(F:=ma\)) שווה לשינוי באנרגיה הקינטית... כל זאת מבלי להציג את מושג הכוח, ואף לא את מושג העבודה או האנרגיה הקינטית. המשוואה הזו, כאמור, לא מבוססת על דבר פרט להגדרות הבסיסיות של הקינמטיקה כלומר, אלו של המהירות הרגעית והתאוצה הרגעית.

הבה נסקור שלוש דוגמאות:

1) תנועה שוות תאוצה: במקרה זה התאוצה קבועה, אפשר להוציאה מחוץ לסימן האינטגרל, ונקבל
\[\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}a\left(x\right)\mathrm{d}x\,=\,a\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}\mathrm{d}x\,=\,a\left(x\left(t\right)-x_{0}\right)\,=\,a\Delta{x}\]
באשר \(\Delta{x}\) הוא ההעתק הכולל. נציג זאת באגף שמאל של נוסחת האם דלעיל, נעביר אגפים, נכפיל בשתיים, ונקבל את המשוואה המפורסמת
\[v^{2}\left(t\right)\,=\,v_{0}^{2}+2a\Delta{x}\]
משוואה זו שקולה כמובן למשפט עבודה אנרגיה בתנועה תחת כוח קבוע: הכפילו את המשוואה ב- \(m/2\), הגדירו \(F:=ma\) וזהו.

2) תנועה הרמונית: במקרה זה תלותה של התאוצה במקום ניתנת ע"י
\[a\,=\,-\omega^{2}x\]
באשר \(\omega\) מייצגת את תדירות התנודות (למשל, במקרה של קפיץ, \(\omega=\sqrt{K/m}\)). שימו לב שאפשר להתייחס למשוואה למעלה ככזו שמגדירה את סוג התנועה מבלי להזדקק כלל לחוק השני של ניוטון. (אבל כאמור, כדי לדעת שמערכת פיזיקלית מסויימת אכן מקיימת את משוואת התנועה הזו, לא יהיה מנוס מלהשתמש בחוק השני של ניוטון או במשוואת לגראנג').  נציג את הביטוי עבור התאוצה באגף שמאל של נוסחת-האם ונקבל:
\[\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}a\left(x\right)\mathrm{d}x\,=\,-\omega^{2}\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}x\,\mathrm{d}x\,=\,-\omega^{2}\left(\frac{x^{2}\left(t\right)}{2}-\frac{x_{0}^{2}}{2}\right)\]
ומכאן,
\[-\omega^{2}\left(x^{2}\left(t\right)-x_{0}^{2}\right)\,=\,v^{2}\left(t\right)-v_{0}^{2}\]
עתה נרכז את הפרמטרים הקבועים (כלומר את שני תנאי ההתחלה) באגף ימין, ואת המשתנים הדינאמיים נעביר לאגף שמאל ונקבל (הורדתי את התלות המפורשת בזמן לצורך נוחות ההצגה):
\[\omega^{2}x^{2}+v^{2}\,=\,\omega^{2}x_{0}^{2}+v_{0}^{2}\]
אגף ימין הוא גודל קבוע ואיננו משתנה במהלך התנועה. לכן כך גם אגף שמאל. קיבלנו איפה שסכום ריבועי "המהירויות" - זו "הזוויתית" וזו "הקווית" - הוא גודל שנשמר בזמן (ציינתי במרכאות כיוון שבפועל אין כאן תנועה מעגלית, פשוט השתמשתי באנלוגיה לתנועה מעגלית). לגודל כזה, שמורכב ממשתנים דינאמיים, אך נשמר במהלך התנועה, אנו קוראים קבוע של התנועה (constant of motion). מצאנו אם כן את הקבוע של התנועה המאפיין תנועה הרמונית קווית. אלא שהקבוע הזה הוא (כצפוי!) האנרגיה הכוללת במערכת (לחצי יחידת מסה), והמשוואה עצמה מבטאת את חוק שימור האנרגיה. נשים לב שהתקבלה משוואת מעגל שבה המהירויות ה"קווית" וה"זוויתית" משמשות קורדינטות, וריבוע רדיוסו הוא האנרגיה הכוללת (עד כדי \(m/2\)).

3) תנועה בשדה של כוח מרכזי:

נתבונן בתנועה לאורך ציר רדיאלי המקיימת את הקשר
\[a\left(r\right)\,=\,-\alpha/r^{2}\]
קשר זה מבטא תאוצה שערכה גדל ככל שהרדיוס קטן (ולהיפך), וכיוונה לעבר המרכז כאשר \(\alpha\) חיובי שהרי אינטגרציה (אשר נותנת את המהירות) מייצרת איבר בסימן הפוך. אינטגרציה מ- \(r_{0}\) ל- \(r(t)\) וסידור האיברים מחדש יתנו עתה
\[-\frac{\alpha}{r}+\frac{v^{2}}{2}\,=\,-\frac{\alpha}{r_{0}}+\frac{v_{0}^{2}}{2}\]
מה שמוכר לכולנו כמשוואת שימור האנרגיה בשדה כבידה בהיעדר תנע זוויתי, אבל כאמור איננו נדרשים למושג "אנרגיה" כדי לקבל את המשוואה. בכל אחת מהדוגמאות דלעיל כל שנדרש מאיתנו הוא "לנחש" קשר בין התאוצה לבין המקום, ומשוואת-האם תנפיק לנו את הקבוע המתאים של התנועה, אותו נוכל לכנות (אם נחפוץ) בשם אנרגיה ליחידת מסה...






יום שני, 18 ביולי 2011

הזוג הראשון של משוואות מקסוול

ברשומה זו אראה שניתן לקבל את הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתוך שתי הנחות יסוד פשוטות בתכלית הנתמכות בתצפית, ונראה כאילו הן כמעט מובנות מאליהן. למי שאיננו מתמצא בתורה האלקטרומגנטית אומר רק שזהו צמד המשוואות החשוב ביותר והבסיסי ביותר במסגרת התורה הקלאסית, בהיותו קושר את הדינמיקה של שדות העירור האלקטרומגנטיים (excitation fields) עם מקורותיהם, כלומר עם המטען החשמלי ועם הזרם החשמלי. ובכן, שתי הנחות המוצא שלנו הן:
  1. המטען החשמלי קורן את השפעתו למרחב.
  2. המטען החשמלי הכולל במערכת נשמר בזמן.
    הנחת היסוד הראשונה שקולה לאמירה שהמטען החשמלי מתנהג כחד-קוטב. משמעות הדבר היא שהשפעה חשמלית כלשהי, הנגרמת מעצם קיומו של המטען החשמלי, מתפשטת במרחב, ושניתן לכמתה באמצעות מושג השטף. הנחת היסוד השנייה מוכרת כחוק שימור המטען החשמלי ומשמעותה היא שמטען חשמלי איננו נוצר יש מאין, או שאיננו נעלם אל האין, אלא אם מלכתחילה היתה המערכת ניטרלית מבחינה חשמלית. עתה נראה כיצד שתי הנחות היסוד הללו מובילות הישר אל הזוג הראשון של משוואות מקסוול;

    יהא \(q\) המטען החשמלי הכולל הכלוא באיזור מרחבי כלשהו, אותו נסמן ב- \(\Omega\). את המשטח התוחם את \(\Omega\) נסמן ב- \(\partial\Omega\). אנו נטפל במקרה שהנפח התחום, כמו גם המשטח הסגור התוחם אותו, אינם תלויים בזמן; אפשר כמובן להסיר את המגבלה הזו אבל דיוננו אינו מצריך הכברה בסיבוכיות. על פי הנחת היסוד הראשונה, קורן המטען החשמלי את השפעתו מן השפה ולחוץ או להיפך, תלוי בסימן. הבה נגדיר שדה וקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) המכמת את ההשפעה הזו באמצעות הביטוי
    \[\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{\mathcal{D}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,=\,q\]
    כלומר השטף של השדה הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) דרך משטח סגור כלשהו שווה מבחינה נומרית ומימדית למטען החשמלי הכלוא ע"י משטח זה. השדה הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ידוע בכינויו העתיק "שדה ההעתק", אך בשפה מודרנית יותר נהוג לכנותו שדה הערור החשמלי. ההגדרה המוצגת כאן מוכרת לכולנו בשם חוק גאוס שהוא, מן הסתם, גם הנוסח האינטגרלי של משוואת מקסוול הראשונה. אלא שהגישה בה בחרנו מראה שלא מדובר בהכרח בחוק טבע פלאי, אלא בהגדרה בלבד (זו של שדה העירור החשמלי), היוצקת תוכן ומשמעות להנחת היסוד הראשונה.

    הערה: שימו לב להבחין בין משפט גאוס המתמטי (המכונה גם משפט הדיברגנס), המוכר לכולנו מהקורס בקלקולוס שנה א', לבין חוק גאוס המוגש מעלה, המוכר מיסודות התורה האלקטרומגנטית.


    המטען החשמלי הכולל התחום באיזור המרחבי \(\Omega\) מתקבל כמובן כאינטגרציה נפחית על צפיפות המטען המקומית \(\rho\). ניעזר עתה במשפט הדיברגנס כדי לתרגם את אגף שמאל של המשוואה לאינטגרל נפחי, ונקבל
    \[\underbrace{\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{\mathcal{D}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,=\,\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\,\mathrm{d}V}_{\text{משפט הדיברגנס}}\,=\,\underbrace{\int_{\Omega}\rho\,\mathrm{d}V}_{=\;q}.\]
    אם ההגדרה המקורית לא הטילה כל מגבלה משמעותית על שדה העירור החשמלי, בא הצעד האחרון וטרף כמה קלפים: לא נוכל לבצעו אלא אם נכפה על שדה העירור חלקות בכל תחום האינטגרציה. אבל דרישת החלקות ברורה מאליה כיוון שמטרתינו היא מציאת משוואה הנכונה באופן לוקלי. השוואת האינטגרנדים של שני האינטגרלים הנפחיים בשני אגפי המשוואה תיתן מיד את הנוסח הדיפרנציאלי של חוק גאוס, הוא משוואת מקסוול הראשונה
    \[\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\,=\,\rho\]
    ובאמת, משוואת מקסוול הראשונה איננה באה לבטא אלא את העובדה שצפיפות המטען החשמלי היא מקור שופע או מקור שואב (כלומר source or sink), ושהאופי הבסיסי של המטען החשמלי הוא זה של מונופול, כלומר חד-קוטב. והרי זו בדיוק המשמעות האופרטורית של הדיברגנס: לשמש מדד מדויק ואבן בוחן לשפיעה או השאיבה של השדה הוקטורי הנדון במקום בו אנו בוחנים את ערכו.

    עתה נעבור לחוק שימור המטען החשמלי. כמשתמע מהנחת היסוד השנייה, המטען החשמלי הכולל של "מערכת חשמלית" איננו נגרע ממנה או נוסף לה אלא אם התוספת או הגירעון נרשמו בספר מאזנים קפדני. כיצד נוכל להבטיח זאת? בעזרת מושג צפיפות הזרם החשמלי המוגדר לוקלית דרך המשוואה הוקטורית \(\boldsymbol{j}=\rho\boldsymbol{v}\) באשר \(\boldsymbol{v}\) הוא וקטור המהירות של צפיפות המטען החשמלי \(\rho\) בנקודה האמורה. הזרם החשמלי עצמו (להבדיל מצפיפות הזרם) הוא השטף של צפיפות הזרם דרך משטח כלשהו (אותו נציין באות \(\Sigma\)), הווה אומר:
    \[i_{\Sigma}\,=\,\int_{\Sigma}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,.\]
    כמה הערות על הפרק בטרם נמשיך: יש לראות את \(\boldsymbol{v}\) כשדה המהירויות המוגדר על ההתפלגות המרחבית של צפיפות המטען החשמלי. שדה וקטורי זה אוצר בחובו אינפורמציה נוספת על המקורות ומשום כך נוח וראוי להתייחס לצפיפות הזרם החשמלי כסוג נוסף של מקור. בפועל, הזרמים החשמליים הם המקורות הבלעדיים לכל התופעות המגנטיות. נקודה נוספת: הזרם תלוי במשטח עליו אנו מבצעים את האינטגרציה. ובפרט, נוכל לקחת אינטגרל על משטח סגור ולקבל את הזרם כמדד לשינוי המטען הכלוא בתוך המשטח. כמו מקודם, אנו מניחים שהמשטחים עליהם אנו מבצעים את האינטגרציה קבועים בזמן. ההכללה למשטחים שעוברים דפורמציות איננה בשמיים ומובילה להכללה של משוואות מקסוול עבור מטענים המשובצים על גבי מצע דינאמי כמו למשל במקרה של פלזמה רוחשת. והערה אחרונה: מושג הזרם הוא תלוי מערכת יחוס (למה?). ואף על פי כן, כל ארבעת משוואות מקסוול הן אינווריאנטיות: ודאי תחת טרנספורמציות לורנץ, ובניגוד לדעה די רווחת, גם תחת טרנספורמציות גליליי! אתייחס לכך על קצה המזלג ברשומה עתידית שתוקדש לזוג השני.

    חוק שימור המטען בגירסתו הלוקאלית מבוטא במדויק באמצעות משוואת הרציפות,
    \[\frac{\partial\rho}{\partial{t}}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}\,=\,0\,;\]
    תרגיל חביב הוא להוכיח את נכונותה: תחילה עלינו להראות שהמטען החשמלי הכולל במערכת והזרם החשמלי הכולל המושרה ממנו מקיימים את משוואת שימור המטען הגלובלי, המנוסחת באמצעות הקשר המוכר
    \[-\overset{\displaystyle\, .}{q}_{\Omega}\,=\,i_{\partial\Omega}\]
    (או \(-\dot{q}=i\) בכתיבה קצת יותר רשלנית, אך גם יותר מוכרת). אין זה מסובך כלל ועיקר להראות זאת, אלא שיש לבצע את המהלכים בזהירות כדי לקבל את הסימן הנכון, תרגיל בית לקורא המסור... בשלב הבא יש לרשום את אגף שמאל במשוואה זו כנגזרת מלאה לפי הזמן של האינטגרל הנפחי של (מינוס) צפיפות המטען החשמלי, ואילו את הזרם החשמלי הכולל שבאגף ימין כאינטגרל משטחי על הגבול התוחם את איזור האינטגרציה הנפחית דלעיל. הכלת משפט הדיברגנס על אינטגרל זה תעביר אותנו לאינטגרל הנפחי של הדיוורגנס של צפיפות הזרם החשמלי, והשוואת האינטגרנדים בשני האגפים תיתן מיד את משוואת הרציפות.

    הערה: בתהליך הזה יש להשתמש בקשר
    \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\left(\cdots\right)\,=\,\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\cdots\right)\]
    המתקיים כל אימת שאיזור האינטגרציה \(\Omega\) איננו משתנה עם הזמן. אתגר מתמטי חביב הוא לתקן את השוויון הזה עבור המקרה בו האיזור הנדון דווקא כן מתעוות עם הזמן... זו משימה סטנדרטית למדי במימד אחד (נדמה לי שזה בסילבוס של הקורס השני באינפי) אבל היא מצריכה קורטוב של וירטואוזיות בשניים ושלשה מימדים שהם המקרים הרלוונטים למשוואות מקסוול. מכל מקום, לא אכנס לזה כאן.

    עתה נגזור חלקית לפי הזמן את שני אגפי משוואת מקסוול הראשונה, ונשתמש בעובדה שהנגזרת החלקית לפי הזמן מתחלפת עם הנגזרות החלקיות המרחביות. נגייס לעזרתנו את משוואת הרציפות ונקבל (בצעו את השלבים):
    \[\nabla\cdot\left(\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}+\boldsymbol{j}\right)\,=\,0\]
    היות ושדה רוטורי הוא התצורה הוקטורית הלא-טריוויאלית היחידה שהדיוורגנס שלה מתאפס זהותית, הרי שהפיתרון הכללי של המשוואה שקיבלנו זה עתה ניתן ע"י
    \[\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}+\boldsymbol{j}\,=\,\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\]
    זהו בדיוק הנוסח הדיפרנציאלי של משוואת מקסוול השנייה. (בדרך כלל נהוג להציג את הנגזרת הזמנית החלקית של שדה העירור החשמלי באותו האגף יחד עם הרוטור). השדה הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) מכונה שדה הערור המגנטי או בקצרה "שדה מגנטי"; היזהרו לבל תבלבלו אותו עם ההשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) המוכרת לנו מבית הספר התיכון... זו האחרונה שייכת כל כולה לזוג השני של משוואות מקסוול עליו אייחד דיון נפרד.

    הנה כי כן, שיבוץ הדרישה לשימור לוקלי של המטען החשמלי בתוך משוואת מקסוול הראשונה, מנפק את משוואת מקסוול השנייה ומחייב אוטומטית את הצגתו של שדה הערור המגנטי. לשני האיברים של אגף שמאל במשוואה מלמעלה יש מימדים של צפיפות זרם. ובפרט, צפיפות הזרם המשוייכת לנגזרת החלקית לפי הזמן של שדה ההעתק מכונה צפיפות זרם ההעתק. אינטגרציה משטחית על האיבר הזה מייצרת את זרם ההעתק המוכר לנו מקורסי שנה א' באוניברסיטה.

    משימתנו עתה היא לקבל את הנוסח האינטגרלי של משוואת מקסוול השנייה. במקרה זה נרצה לקחת אינטגרציה משטחית על כל האיברים במשוואה הדיפרנציאלית. האינטגרציה על צפיפות זרם ההעתק תייצר את האיבר \(\dot{\Phi}_{\Sigma}[\boldsymbol{\mathcal{D}}]\) כלומר את הנגזרת לפי הזמן של השטף של שדה העירור החשמלי דרך המשטח \(\Sigma\). בדומה לכך, האינטגרציה על צפיפות הזרם \(\boldsymbol{j}\) תייצר את הזרם החשמלי \(i_{\Sigma}\) ואילו את האינטגרל המשטחי על הרוטור שבאגף ימין נוכל להמיר לאינטגרל קווי של שדה העירור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) לאורך הגבול התוחם את המשטח \(\Sigma\) באמצעות משפט סטוקס. בסופו של יום נקבל:
    \[\overset{\displaystyle .}{\Phi}_{\Sigma}\left[\boldsymbol{\mathcal{D}}\right]+i_{\Sigma}\,=\,\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{\mathcal{H}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\]
    ולבסוף, בתנאים בהם עוצמת השטף של שדה העירור החשמלי זניחה, או שהשטף משתנה לאט מאוד עם הזמן כך שנגזרתו זניחה (זהו ככל הנראה המצב הרווח באלקטרוניקה, אבל אני כלל לא בטוח שאני יודע להסביר מדוע זה כך, ואשמח אם מישהו יאיר את עיני בנושא), נישאר עם הביטוי הקומפקטי של חוק אמפר:
    \[i_{\Sigma}\,=\,\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{\mathcal{H}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\,.\]
    כדי לעורר עוד קצת את התיאבון אומר רק שאת הזוג השני של משוואת מקסוול ניתן לקבל באופן כמעט מיידי מתוך אילוץ שיש להכיל על התורה האלקטרומגנטית, ושמקורו תצפיתי. אבל את הנושא הלא-כל-כך מוכר הזה אציג כבר ברשומה אחרת...






    יום שבת, 9 באפריל 2011

    ההוויה בראי היחסות הפרטית - חלק שלישי


    מקובל לראות באיחודן המושלם של התופעות החשמליות והתופעות המגנטית את אחד ההישגים המרשימים ביותר של היחסות הפרטית. אלא שלא רבים מודעים לכך שמשוואות מקסוול הן אינווריאנטיות למעבר בין מערכות התמד כבר בפרדיגמה הגלילאנית (...) לא זו בלבד שארבע משוואות וקטוריות אלו נשמרות תחת טרנספורמציית גליליי ברקע של מרחב וזמן מוחלטים, אלא שאפילו אם נניח את המקורות של השדה האלקטרומגנטי (מטענים וזרמים חשמליים) על מצע דינאמי, כך שלכל נקודה במרחב התלת-מימדי יש וקטור מהירות תלוי-זמן משל עצמה, עדיין תכבדנה המשוואות הללו את הסימטריה הגליליאנית.

    ואולם הפסטורליה הגלילאנית הזו היא מקסם שוא היות והואקום האלקטרומגנטי, להבדיל ממשוואות מקסוול, איננו מכבד את הסימטריה הגלילאנית. די בכך כדי להסיק שהסימטריה הזו אינה סמטריה בסיסית של הטבע ויש להחליפה בסמטריה רחבה יותר, כלומר בסימטריה של לורנץ, מה שמוביל מייד להתפכחות מרעננת מהאשליה של האתר. הדרישה לקיומו של ואקום אלקטרומגנטי אוניברסלי המשותף לכל מערכות ההתמד מחייבת את ניסוחן של שתי משוואות וקטוריות נוספות - אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית לורנץ - המכונות "קשרי המבנה" (ולפעמים באופן מעט מטעה, "קשרי האתר"), והן אלו המעניקות למהירות האור סטטוס אוניברסלי מיוחד.

    מכאן אנו למדים שמשוואות מקסוול לכשעצמן אינן מתארות את המציאות האלקטרומגנטית, אלא אם הן באות בצמוד לקשרי המבנה. נכון יהיה לדעתי להתייחס אל הקשרים הללו כאל "תעודת הזהות" האלקטרומגנטית של הואקום. כל התורה האלקטרומגנטית כולה מתמצאת, אם כן, בשני סטים קומפקטיים של משוואות בארבעה משתנים וקטוריים: ארבעת משוואות מקסוול ושני קשרי מבנה. הנה:

    \begin{aligned}\begin{array}{cc}\left.\begin{array}{rcl}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=&\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&=&\boldsymbol{j}\\\nabla\cdot\boldsymbol{B}&=&0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&=&-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}\quad\end{array}\right|&\begin{array}{rcl}\boldsymbol{\mathcal{D}}&=&\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}&=&\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}\end{array}\end{array}\end{aligned}

    מערכת המשוואות הללו היא אינווריאנטית תחת מעבר בין מערכות התמד, כלומר מכבדת את הסימטריה של חבורת לורנץ. זהו תנאי הכרחי, גם אם לא מספיק, כדי להשתייך לקטגוריה של "חוקי טבע". מה עוד חסר כדי שנוכל להכתיר את מערכת המשוואות הזו כחוק טבע? התשובה המדוייקת לכך היא: הגשמה של סמטריית כיול. הסקטור האלקטרומגנטי כולו מתגשם מתוך קיומה של סימטריה לוקלית תחת טרנספורמציות פאזה, העוברת כחוט השני בין כל החלקיקים החומריים. למה הכוונה? במכניקה הקוונטית מתואר כל חלקיק חומרי באמצעות פונקציית גל. הפיזיקה הגלומה בפונקציית הגל אמורה להיות שקופה לפאזה של הפונקציה, גם אם הפאזה הזו היא תלויית נקודת מרחב-זמן, כלומר מקומית. והנה, השקיפות הזו בהכרח מכתיבה את קיומו של סקטור כוחות נפרד - הוא הסקטור האלקטרומגנטי. על הרעיון המדהים הזה ועל ההרחבות שלו לסקטורי הכוחות האחרים (שדות יאנג-מילס באינטראקציות גרעיניות) ארחיב ברשומה נפרדת.

    כל צופה, מכל מערכת התמד, ישתמש בדיוק באותו סט משוואות - זה המוגש למעלה - כדי לתאר את מכלול כל התופעות האלקטרומגנטיות הניגלות לו בסקאלות מזוסקופיות אם כי בד"כ הוא יעדיף לפתח להן גרסא אינטגראלית קודם לכן. לא ניתן לגרוע מהן פסיק, לא ניתן להוסיף להן אות. משוואות אלו הן החותם האלקטרומגנטי של הטבע במרחב-זמן נטול כבידה, והחותם הזה הוא מוחלט, ואיננו נתון לפרשנויות אישיות. זהו ספר החוקים האלקטרומגנטי של הטבע; ארבעת השדות הוקטוריים של האלקטרומגנטיות מצייתים למערכת של משוואות חלקיות מצומדות שאין להפירן, ותלותם זה בזה כפופה לחוקיות נוקשה. זוהי תמונה מלאה ומאחדת של כל מכלול התופעות החשמליות והמגנטיות, והיא עקבית ושלמה אך ורק במסגרת תורת היחסות הפרטית. ובאמת, הדרייב המקורי של אינשטיין לניסוח תורת היחסות הפרטית הגיע מהאחדת מכלול התופעות האלקטרומגנטיות.

    כפי שהדגשתי ברשומה השנייה בסדרה, מוחלטותה של המציאות מכתיבה תופעתיות שהיא לחלוטין בעיני המתבונן. במילים אחרות, האובייקטיביות של המציאות ושל חוקי הטבע מכתיבה תופעתיות סובייקטיבית. וכך גם בכל מה שקשור באלקטרומגנטיות: כל הצופים האינרציאלים משתמשים בדיוק באותו סט של משוואות כדי לתאר את המציאות האלקטרומגנטית, ואולם כל אחד מהם מודד ערכים שונים כמעט לכל גודל מעניין. לדוגמא: צופה הנמצא במערכת הצמודה למטען חשמלי מודד שדה אלקטרוסטטי בעטיו של אותו מטען, והוא איננו מבחין בשדות מגנטים שהם. ומנגד, כל צופה אחר הנע ביחס אליו במהירות קבועה מודד גם שדה מגנטי. אפילו החוק השלישי של ניוטון לא שורד את המעבר ממערכת התמד אחת לרעותה: שני חלקיקים טעונים הנעים זה בניצב לזה מפעילים זה על זה כוחות שאינם מצביעים בכיוונים מנוגדים... וגם כאן, ממש כמו במכניקה, ישנם אינווריאנטים השקופים לטרנספורמציית לורנץ; הלגרנג'יאן האלקטרומגנטי הוא רק דוגמא אחת לכך.

    הנה כי כן, חוקי הטבע הם מוחלטים, והמוחלטות הזו מכתיבה תופעתיות יחסית. היות והיחסות הפרטית מנסחת את חוקי הטבע מתוך עקרונות יסוד, ומכיוון שמטרתה לתאר את הטבע ברמה הראשונית ביותר, ראוי אולי היה לכנותה "תורת המוחלטות" דווקא, ולא תורת היחסות. היחסיות של התופעות היא משנית למוחלטות של המציאות, ונגזרת ממנה כהכרח לוגי. המציאות האובייקטיבית משמשת אמת מידה אחידה לכל צופה, ואף שצופים שונים עשויים לדווח על תופעתיות שונה בהתבוננם באותה מציאות בדיוק, הרי שחוק אחד לכולם ודרך אחת ויחידה פתוחה בפניהם בבואם לתרגם תופעתיות ממערכת למערכת. לכן, לא בעולם הזוי של נרטיבים סובייקטיבים אנו חיים אלא בתוך מציאות המשקפת אידאה של שלמות מבנית.




    יום שבת, 26 במרץ 2011

    ההוויה בראי היחסות הפרטית - חלק שני


    כאמור, הפרדיגמה היחסותית בנוייה על השקילות הפיזיקלית המלאה של כל מערכות ההתמד. המשמעות המתמטית של השקילות הזו היא שהטבע (היינו, המציאות החלופית) מכבד באופן גלובלי את סמטריית לורנץ. מה פירוש המונח סימטריה גלובלית? פירושו של דבר שהמעבר ממערכת התמד אחת לאחרת איננו תלוי נקודת מרחב-זמן אלא מאפיין את המרחב-זמן כולו. ואולם, זאת יש להדגיש: סמטריה גלובלית היא סמטריה חלשה בהרבה מסימטריה לוקלית. הלוקליזציה של סמטריית לורנץ מובילה היישר לתורת היחסות הכללית, אשר תחום תקפותה רחב בהרבה. על סמטריות לוקליות ועל משמעותן הפיזיקלית אסביר ברשומות עתידיות. כפי שתיארתי בהרחבה ברשומה "שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית", הרי שמעיקרון השקילות של מערכות ההתמד נובע שמנוחה ותנועה במהירות קצובה (קרובה ככל שנחפוץ למהירות האור) היינו-הך הן, שמהירות האור היא קבוע אוניברסאלי המשותף לכל מערכות ההתמד, ושהמערכות הללו חולקות בינהן את אותו הואקום. מה הלאה?

    לאור אין מערכת מנוחה. מערכת מנוחה שכזו היא א-לוגית ולכן קיומה בלתי אפשרי. נקודה זו חשובה ביותר: לא מדובר במגבלה טכנית כלשהי לקיומה של מערכת ייחוס כזו, אלא במגבלה לוגית; אין מערכת ייחוס לאור. הילכך האור הוא ממשות פיזיקאלית שאנו, כבני אנוש, נתקשה מאוד לדמיין. לכן, לדוגמא, לשאלה "מהי מהירות האור של פוטון מנקודת מבט של פוטון הנע בכיוון ההפוך?" אין כל משמעות. שהרי אין בנמצא נקודת מבט של פוטון. שאלה כזו אפשר שתישאל רק לגבי מי שצמודה לו מערכת מנוחה, ואז התשובה תהא פשוטה בתכלית: אם אתה במערכת התמד אז המהירות הזאת היא C. לאור אין זמן ואין מרחב. רק אנו, המוגבלים בזמן ובמרחב, עשויים לשאול שאלות כמו "מה השעה?" או "היכן מצוי הפוטון ברגע זה?".

    האור הוא חסר מסה אבל הוא נושא עימו תנע ואנרגיה. אלא שתורת היחסות מלמדת אותנו שמסה ואנרגיה ניתנים להמרה זו בזו וששער החליפין הוא ריבוע מהירות האור. ובאמת, אור עשוי להפוך לחומר, וחומר עשוי להפוך לאור. כל זה מתאפשר באמצעות סוג מיוחד של אינטראקציה המכונה בשם "הכוח הגרעיני החלש". סקטור הכוחות הזה של הטבע משנה את זהותם של החלקיקים האלמנטריים: תחילה הוא ממיר זוג חלקיקים חומריים לפוטון וירטואלי (אפשרי גם לחלקיקי W ו-Z), ואחר הוא ממיר את הפוטון הוירטאלי לזוג חלקיקים חומריים בעלי זהות שונה. וכמובן חומר ואנטי-חומר מתאיינים לפוטונים, ולהיפך: פוטונים עשויים לברוא זוג חלקיק-אנטי-חלקיק. לא אכנס לתחום המרתק הזה של תורת השדות הקוונטיים כאן.

    קורדינטות המרחב והזמן מתערבבות זו בזו במעבר ממערכת התמד אחת לשניה. הילכך, לזמן ולמרחב אין קיום נפרד או בלתי תלוי. הללו מאוחדים לכדי ישות אחת, הלא היא המרחב-זמן (spacetime). מערכת התמד היא רק נקודת מבט מאוד מסויימת על המרחב-זמן. וכשם שאין כל נקודת מבט מיוחסת, אין גם מערכת אתר. ובאמת, תחת המושג האנכרוניסטי של האתר בא המרחב-זמן, הפורש את המציאות באופן שממשותה בלתי כפופה לנקודת מבט שהיא. ודווקא משום כך, ובניגוד גמור לפרדיגמה הגלילאנית השבוייה בקונספציה של האתר, סרגלי הזמן והמרחב מתכיילים אחרת בכל מערכת ומערכת. 

    כולם צודקים. כל צופה רואה את שעונו שלו מתקתק בקצב "טבעי", ואילו את שעוניהם של חבריו הנמצאים במערכות התמד אחרות מתקתקים לאט יותר, באופן התלוי במהירותם ביחס אליו. מכאן נובע שכל אחד ואחד מהצופים האינרציאלים רואה את כל חבריו האחרים כאילו הם חיים בעולם איטי יותר, ב-slow motion... אם כך, מי מהם צודק? הלא נראה זה בלתי סביר ששנייה בשעוני היא שעה בשעונך ובה בעת שנייה בשעונך היא שעה בשעוני? ובכן, כולם צודקים לחלוטין! האם כל זה יתכן מבלי לגרור אותנו לסתירות לוגיות? לא זו בלבד שאין פה כל כשל לוגי, אלא שתורת היחסות מספקת לנו פורמליזם מדוייק למעבר ממערכת למערכת ולהכרעות חד משמעיות דוגמת מי מהצופים באמת מזדקן מהר יותר וכ'. 

    קריסת המושגים "בו-זמניות" ו"לוקליות". שני מאורעות A ו-B המתרחשים סימולטנית במערכת התמד אחת, אך במקומות שונים במרחב, מתרחשים בזמנים שונים בכל מערכות ההתמד האחרות. ובפרט, קיימות מערכות התמד בהן A קודם ל-B, ומערכות התמד אחרות בהן B קודם ל-A. ואולם אם B קשור ב-A בקשר של סיבתיות (כלומר B נמצא בתוך קונוס האור של A) אז קשר הסיבתיות ישמר בכל מערכות ההתמד באשר הן. באופן דומה, שני מאורעות שאינם בו-זמניים אך ממוקמים באותו מקום במערכת התמד אחת, מתרחשים במקומות שונים לגמרי בכל מערכת התמד אחרת...


    המחשה נאה ליחסיות הסימולטניות באמצעות דיאגרמת מינקובסקי.
    המאורעות A ו-B סימולטניים במערכת ההתמד הירוקה, המאורע A
    קודם למאורע B במערכת ההתמד האדומה, והמאורע B קודם
    למאורע A במערכת ההתמד הכחולה. מקור: ויקיפדיה.


    אפקט דופלר: בניגוד לכל סוג אחר של גלים, האור מתפשט בואקום, כלומר ללא מדיה לנוע באה, ללא אתר. אלא שתדירות האור תלוייה במהירות היחסית שבין המשדר לבין הקולט. ומכיוון שהאנרגיה והתנע שהאור נושא עימו תלויים בתדירות הגל, הרי שהמושגים הללו של תנע ואנרגיה אינם אינווריאנטים. אור שיראה אנרגטי מאוד לצופה הנע במהירות יחסותית לעבר מקור האור, יראה חלש ורפה לצופה הנע במהירות יחסותית ממקור האור והלאה... שידור בקרני רנטגן לצופה אחד הוא שידור בגלי רדיו לצופה אחר...

    הבה נתבונן במערכות מאיצות: מסתבר שגם אם נאיץ לעד, ואפילו בתאוצה אדירה, לעולם לא נוכל להגיע למהירות האור, זאת למרות שמהירות האור היא גודל סופי בהחלט. אמנם נוכל להתקרב למהירות האור באופן אסימפטוטי (לפי טנגנס היפרבולי), אבל לעולם לא נהיה שם. אם חשבתם לרגע שכוסכם רוויה, קבלו גם את זאת: לדידו של צופה מאיץ, מהירות האור קטנה עם עוצמת התאוצה, ובאופן בלתי תלוי, קטנה גם עם חלוף הזמן המתקתק בשעונו! לא להיבהל, תהא תאוצתכם אשר תהא, האור "יעצור" עבורכם רק בעבור זמן אינסופי. זאת ועוד: כל צופה מאיץ מבחין בקיומו של משטח במרחב-זמן המכונה "אופק ארועים", וכל מה שנמצא מעבר לאופק הזה לעולם לא יהיה נגיש לו. 

    מי שאיננו בקיא ברזי התורה ודאי ישאל עצמו כיצד כל זה יתכן?... האם אין כל מה שנאמר כאן שומט את הקרקע מתחת ל-common sense שלנו?... האם לא ירדנו לגמריי מהפסים?... ובכן, לחלוטין לא. נהפוכו: זהו ה-common sense האפשרי היחיד התואם את שלשת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית, והללו, כך אנו סבורים, הם כה מוצקים עד כי אנו מתקשים להאמין שאי-פעם ימצא אי-מי אשר ימצא סיבה מספקת להחליפם באחרים... (אבל לדעתי בהחלט יתכן שיורחבו). עד עתה לא נמצא ולו ממצא בודד אחד שיערער על הפרדיגמה היחסותית, אבל יש להודות: פיזיקה היא דיסציפלינה דינאמית וההכרעה נתונה למציאות עצמה. אם הניסוי או התצפית יסתרו את הפרדיקציות של התורה, אזי לא יהיה מנוס מהצורך לשדרגה או, למצער, להחליפה באחרת. 

    על בסיס כל שנאמר כאן, האין זאת שכל האמיתות הפיזיקאליות אינן חד משמעיות עוד?... ובכן, אין טעות גדולה מזו. תורת היחסות הפרטית מלמדת אותנו שהמציאות היא ודאית לחלוטין. מה שמרכיב אותה הם המאורעות, וקיומם הוא ודאי ואין עליו עוררין (הדבר פחות נהיר במצב של תאוצה, אבל לא אגע בזה כאן). רק היחסים השונים המתקיימים בין המאורעות הם אלו המקבלים פרשנות שונה בעיני כל מתבונן. לדוגמא: אם אני מכה בעת ובעונה אחת בשתי כפות ידי, בשני מקומות שונים על השולחן, יראו זאת צופים שונים הנעים במהירויות יחסותיות ביחס אלי כאילו שתי ידיי מכות על השולחן בזמנים שונים. וככל שמהירות הצופה תהיה גדולה יותר, כך יראה לו מרווח הזמן שבין הכאת יד אחת להכאת היד השנייה גדול יותר. אבל אם אמחא כפיי זו על גבי זו, יראו כל הצופים את שתי כפות ידי מוחאות יחדיו... לא ימצא הצופה שיבחין במחיאתה של כף היד האחת... 

    כמובן שהפרשנות האישית המוענקת ליחסים בין מאורעות כלל איננה אקראית. שהרי קיימת מערכת מדוייקת וחד משמעית של משוואות המכתיבה בדיוק איזו תמונה תיראה לאיזה צופה ומתי. יתרה מזאת, תורת היחסות מגדירה גדלים אינווריאנטים, או קשרים אינווריאנטים, כאלו שאינם משתנים במעבר ממערכת התמד אחת לשנייה. האינווריאנטים הללו בודאי שאינם נתונים לפרשנות אישית. לדוגמא: הקשר בין תנע אנרגיה ומסה הוא אינווריאנט, וממנו נגדרת מייד נוסחת סחר החליפין בין מסה לאנרגיה... אם לסכם, התופעתיות היא אמנם בעיני המתבונן אבל המציאות היא מוחלטת. ברשומה הבאה אביא את התורה האלקטרומגנטית כדי להמחיש את הנקודה החשובה הזו, ואדון במשמעויות האונתולוגיות הנובעות מכך. 




    יום שישי, 18 במרץ 2011

    ההוייה בראי היחסות הפרטית - חלק ראשון


    כפי שציינתי ברשומה קודמת, תורת היחסות הפרטית משמשת עמוד תווך מרכזי בפיזיקה התאורטית, יצוק איתנים על עקרונות פיזיקאלים בני קיימא שלא בנקל ניתן יהיה לערערם, אף שחוזרים ומנסים כל העת, חזור ונסה. לדוגמא: כל ניסוי בודד באחד ממאיצי החלקיקים הגדולים מהווה פלטפורמה מצויינת לבחינת התוצאים של התאורייה, מכיוון שכל ניסוי כזה מייצר רבבות רבות של מאורעות יחסיותיים המנוטרים אחד לאחד באופן ממוחשב, ונבחנים בשבע עיניים ע"י פנומנולוגים התאבים לכל בדל של הפתעה. בבסיסה של הפרדיגמה היחסותית עומדת סימטריה גלובלית המכונה "סמטריית לורנץ". המשמעות המעשית של הסימטריה הזו היא השקילות הפיזיקאלית המוחלטת של כל מערכות היחוס האינרציאליות (מערכות ההתמד) ועד כה לא נמצא כל ממצא שיערער על כך, ולו ברמז.

    הפרדיגמה הגלילאנית (הגורסת קיומה של מערכת אתר) תופסת את המרחב ואת הזמן כמהויות מוחלטות המהוות את זירת ההתרחשויות של המציאות החומרית: המרחב מספק את הזירה, הזמן מאפשר את ההתרחשויות. על בסיס התפיסה הזו מבחינים בין עבר הווה ועתיד, בין כאן ובין שם, והללו נתפסים בתודעתנו כמושגים מוחלטים שאינם נתונים לפרשנויות אישיות. זירת ההתרחשויות פורשת את עולמנו, ובתוכה משובצות ממשויות פיזיקאליות המגיבות זו עם זו על פי חוקי הטבע. בתפיסת עולם זו איננו שואלים מניין באו הממשויות הללו ומה מקורם של חוקי הטבע, אלא פשוט מקבלים כל זאת כפי שהוא, ומנסים להבין מדוע ואם בכלל יש בהם יחודיות (uniqueness). בגישה זו שאלות בעלות גוון אפיסטמולוגי הן כריעות מבחינה עקרונית, האינטואיציה הראשונית בנוגע לטבעם של הדברים נכונה בקירוב והפרשנות המיידית שאנו מעניקים לכל מה שסובב אותנו איננה רחוקה מהמציאות, גם אם אין בה כדי לתאר אותה באופן כמותי.

    אלא שהיום אנו יודעים שהמציאות האובייקטיבית שונה עד מאוד מהפרדיגמה הנאיבית הזו. היום אנו יודעים שתמונת העולם הזו כלל איננה קונסיסטנטית מבחינה לוגית, שהיא פשטנית למדי, במובנים חשובים נעדרת מעוף, ולמעשה רדודה מבחינה קונספטואלית. לא זו בלבד שהיא רחוקה מאוד מלתאר את המציאות כפי שהיא, היא גם רחוקה מלתאר מציאות אפשרית שהיא. על הבנת המהות של חוקי הטבע בהתבסס על הפרדיגמה הגלילאנית אין כמעט מה לדבר, להוציא הבנת חשיבותן של סימטריות ותרגומן לחוקי שימור באמצעות הפורמליזם האלגנטי של עיקרון הווריאציה, ובמסגרת התיאור הלגרנג'יאני או ההמילטוניאני. לאחרונה גם זכתה התיאוריה הקלאסית לחיזוק תיאורטי מרשים בדמותה של הגיאומטריה הסימפלקטית אלא ששיטה זו חורגת מהשכלתם של רבים מהפיזיקאים והיא עודנה נחלתם הכמעט בלעדית של המתמטיקאים.

    ואם כל זאת, ולמען ההגינות, חשוב לומר: למרות המוגבלויות האונתולוגיות והאפיסטמולוגיות החמורות של הפרדיגמה הגלילאנית, למרות שאין בכוחה לתאר את המציאות הפיזיקאלית כמות שהיא (כפי שאנו קולטים אותה בתצפיותנו ובמכשירי המדידה שלנו), הרי שהיא מספקת לנו כלים נוחים למדי לצורך תיאור *אפקטיבי* של המציאות המקרוסקופית היומיומית, ואף כלים טכניים וחישוביים לצורך פיתוחן של אי-אלו טכנולוגיות. כל זאת כל עוד אין מדובר באנרגיות גבוהות מידי או מהירויות יחסיותיות, היכן שהטבע חושף בפנינו את צפונותיו ואת עמקותו. ועם זאת, יש בה, בשיטה הזו, מעין תקרת זכוכית מובנית המונעת מאיתנו להרקיע שחקים ומשום כך חוסמת בפנינו כל אפשרות לקלוט אמיתות ראשוניות ולהעריך את יופיין ואת עומקן. לתקרת הזכוכית הנוקשה הזו קוראים "מערכת אתר".

    והתקרה הזו הוסרה אחת ולתמיד עם הופעתה של היחסות הפרטית. והשחקים הורקעו בדמותה של תורת היחסות הכללית, בדמותן של תורות השדה של יאנג ומילס ובאמצעות הפרשנות הגיאומטרית המושרית מן התורות הללו. מהי אם כן אותה תמונת העולם שונה כל כך העולה מתוך תורת היחסות הפרטית, אשר הופכת את הגישות המדעיות הגלילאניות למיושנות, רדודות, ושגויות במהותן? על כך בחלקים הבאים בסדרת רשומות זו.



    יום ראשון, 20 בפברואר 2011

    המתמטיקה והמציאות האובייקטיבית


    אחת השאלות המסקרנות במסגרת הפילוסופיה של הפיזיקה היא השאלה הבאה: כיצד יתכן שהמתמטיקה, שהיא כל כולה פרי רוחו של האדם, מתארת באופן מוצלח כל כך את המציאות האובייקטיבית? ברשומה זו אנסה לבאר את התמיהה הזו, וגם לתת לה מענה מסויים כפי הבנתי. מה שאכנה כאן בשם "מציאות אובייקטיבית" מתייחס למציאות של עולם התופעות, או למה שאנו בדרך כלל מכנים "חוקי הטבע".


    פיזיקאי תאורטיקן בעבודה בקפיטריה של ברקלי. לקוח מהפוסט
    In search of brainpower של Steve Hsu (רוב תודות לסטיב).

    המתמטיקה היא מבנה לוגי סדור. כל דיסציפלינה מתמטית מושתתת על סט של הגדרות מופשטות, על מספר מצומצם של הנחות יסוד שבד"כ אינן בנות הוכחה (אבל לעיתים בנות הפרכה), ועל סדרה של פעולות מוגדרות היטב המותרות להפעלה על האובייקים הבסיסיים שהגדרנו. על בסיס שלוש אלו אנו מפתחים מערכת סדורה ובנויה לתלפיות של היגדים, מסקנות והבניות, וכל דבר ודבר מחייב הוכחה בסטנדרטים גבוהים ביותר הנקבעים על ידי קהילת המתמטיקאים כולה. לצורך זה פיתחו המתמטיקאים שפה ייחודית (המובנת רק להם...) שאיננה מאפשרת 'להחליק' בעיות. על ההבדל באופן שבו מתמטיקאים מדברים מתמטית לאופן שבו פיזיקאים מדברים מתמטית, עוד ארחיב ברשומה נפרדת.

    בין אם מדובר בהמצאה ובין אם מדובר בגילוי - ויש אסכולות לכאן ולכאן - העשייה המתמטית היא בעיקרה פרי רוחם של המתמטיקאים, ומה שמדריך אותם במלאכתם הוא עקביות, דיוק, ועושר מבני. המתמטיקה עצמה היא במובנים רבים סוג של שפה אנושית, אלא שלהבדיל מהשפות בן אנו דוברים בחיי היום-יום, היא מדויקת מאוד, אוניברסלית, וחד משמעית. עם זאת, אף ששני מתמטיקאים ידונו על מבנה מתמטי מסויים בשפה הנקיה מכפל-משמעויות, הרי שכל אחד מהם עשוי להעלות בעיני רוחו תמונה שונה במקצת מזו שמעלה רעהו, בהתאם ליחודיות תודעתו; המערכת בה דנים השניים היא אמנם עיקבית וחד משמעית אבל כל אחד מהם יוצק לתוכה פרשנויות אישיות המשקפות את רוחו, את היקף עולם הדימויים שלו, את השכלתו וכיו"ב. רוחנו החופשית מאפשרת לכל אחד ואחד מאיתנו להביט על אמת מתמטית מסויימת מזווית ראייה הייחודית רק לנו.

    הנקודה המפתיעה בכל הסיפור הזה היא שהמתמטיקה - שהיא כאמור פרי רוחו של האדם - מתארת את המציאות באופן מאוד מדויק. חוקי הטבע עצמם, הדינמיקה של מערכות פיזיקליות, ההתנהגות של מערכות מורכבות ומרובות רבדים, תכונותיהם הצורניות של הגופים הגשמיים, מיון העצמים בטבע לקבוצות כאלו ואחרות, לחבורות... כל אלו ועוד מצייתים ללוגיקה המתמטית באופן מפליא ואף תמוה. למעשה נראה כאילו המציאות עצמה היא מתמטית באופן אינהרנטי, מעין הגשמה מלאה של המחשבה המתמטית. הבה נחדד אם כן את התמיהה:

    כיצד זה שחוקי הטבע ניתנים לניסוח באמצעות המתמטיקה, אשר כל כולה מעוגנת ברוחו של האדם? מדוע שתהא המציאות האובייקטיבית נתונה בסד החשיבה האנושית?

    המפתח לתעלומה טמון, לדעתי, באופן שבו תופס האדם את המציאות האובייקטיבית. מקובל לחשוב שהאדם תופס את המציאות האובייקטיבית באמצעות חמשת החושים, אבל בפועל חמשת חושינו הם לא יותר מחמישה סוגי חיישנים. תפיסת המציאות (כמו גם תחושת "האני"), להבדיל מהגירויים המתקבלים מאברי החישה, היא מה שמקובל לכנות "תודעה" (awareness, consciousness).

    הבה נתבונן, לדוגמא, בתהליך הראייה: העין היא אמנם חיישן אור משוכלל אבל היא איננה "רואה". עיבוד המידע הקשור בהליך הראייה מתבצע כל כולו במוח בתגובה לגירויים המגיעים מן העין, ואולם גם עיבוד זה איננו ראוי להיקרא "ראייה". מה שאנו רואים הוא בסופו של דבר תמונה של מציאות המצטיירת בתודעתנו במנותק מכל מציאות פיזית שהיא; הראייה היא הפרשנות הסופית לפלט של ה"מעבד" הניזון מתוך אינספור תהליכים אלקטרוכימיים בעלי צימוד חזק, והמפרשן הוא התודעה. תהליך של "ראייה" עשוי להתרחש כמובן גם ללא גירויים המגיעים מהעין, כמו למשל כאשר אנו רואים בדמיוננו, בחלומותנו, בהזיותנו. אבל תנאי הכרחי (גם אם לא מספיק) לכך שמה שאנו רואים אכן מתאר נגזרת של המציאות האובייקטיבית הוא קבלת גירויים המתקבלים מהעין ושילובם בתהליך העיבוד הכולל.

    המוח הוא זה המאפשר את פעילות התודעה במובן זה שהוא מעבד עבורה את הגירויים המגיעים מאברי החישה, אבל התודעה לכשעצמה איננה "תופעה" שניתנת למיקום באופן פיזי; איננו יכולים לומר, למשל, שהתודעה "יושבת" במוח משום שתודעה איננה כלל מושג גשמי ומסופקני אם היא בכלל ניתנת לכימות כלשהו.

    לעניות דעתי, התודעה היא סוג משוכלל ביותר של מה שמקובל לכנות במדע emergent phenomenon, 'תופעה מגיחה' בעברית תקנית, פסגת ההישגים של הטבע. מעין עירור (excitation) קולקטיבי של אינספור עיבודים מוחיים שיש לו קיום עצמאי משל עצמו, הצף ועולה על גבי תהליכי העיבוד שמבצע המוח, במנותק מאינספור ההתרחשויות הפיזיות המשרות אותו. מתוך כל האמור לעיל יוצא איפה שאנו תופסים את המציאות ואת עצמנו באמצעות התודעה, ובאמצעותה בלבד. אבל מי יתקע לידנו שתודעתנו מספקת שיקוף אמין של המציאות האובייקטיבית? למען האמת, לא איש. כל שנוכל לומר הוא שתודעתנו מפותחת מספיק כדי להבטיח את קיומנו הפיזי בעולם שהוא לכאורה זר ומנוכר***. אמירה זו תופסת כמובן גם לגבי בעלי החיים, תהא תודעתם אשר תהא.

    חלק בלתי נפרד ממבנה התודעה שלנו כבני אנוש הוא מה שאנו מכנים לוגיקה. אנו בנויים פיזית לתפוס את המציאות האובייקטיבית באופן עקבי ונטול סתירות ככל האפשר (תפיסה במובן perception). בשפה מטאפורית, הלוגיקה היא אוסף התבניות לתוכן אנו יוצקים את תפיסת המציאות שלנו, והיא זו המאפשרת לנו להעלות ברוחנו תמונת עולם סדורה ומדוייקת. אין זה הכרח שהלוגיקה "שלנו" היא הדרך היחידה לתפוס את המציאות האובייקטיבית באופן עקבי וחד משמעי, אבל ככל הנראה זו הדרך היחידה הפתוחה בפנינו אם חפצנו בתיאור כמותי שלה. ומכיוון שהמתמטיקה היא הביטוי הנאצל של התבניות הללו, הרי שבאמצעותה אנו מתארים את המציאות ומבינים אותה. המתמטיקה היא אם כן בבואה של המבנה הלוגי של התודעה האנושית ולאו דווקא בבואה של חוקי הטבע...

    ובכן, האם המציאות האובייקטיבית היא מתמטית מיסודה? לעניות דעתי, לא ולא! המציאות האובייקטיבית קיימת במנותק לגמרי מהחוויה האישית שלנו, אף שמבחינה פיזית אנו מוכלים בה. היא פשוט "שם". אלא שהמתמטיקה היא השיטה העיקבית והכלי הכמותי באמצעותו יש לאל ידנו לתפוס אותה. משום כך אין זה נכון לומר שחוקי הטבע מצייתים למתמטיקה, אבל יהיה זה בהחלט נכון לומר שהמתמטיקה היא הדרך האחת הפתוחה בפנינו לנסח את חוקי הטבע.

    תודעה היפותטית מסוג שונה, נאמר של ישויות "חוץ-ארציות" כלשהן, ודאי הייתה מפתחת "מתמטיקה אחרת" כדי לתאר את המציאות האובייקטיבית. הייתי מסתכן ומנחש שאפילו האריתמטיקה במתכונתה המוכרת לא הייתה שורדת את המעבר מהמתמטיקה "שלנו" למתמטיקה "שלהם". אבל שתי הפרקטיקות המתמטיות הללו, העשויות להיות זרות מאוד זו לזו, הן לא יותר משתי שפות לוגיות שונות שצומחות ועולות מתוך שני מבני תודעה שונים כדי לתאר את אותה מציאות אובייקטיבית. למה נוכל להמשיל זאת? לשני צופים אינרציאליים הנותנים תיאור פנומנולוגי שונה לחלוטין לאותה מציאות אובייקטיבית. למשל, אחד מהם עשוי לטעון ששני מאורעות מסוימים הם בו-זמניים, בעוד שהאחר יטען ששני המאורעות הללו מתרחשים בזמנים שונים. שניהם צודקים לחלוטין, שניהם מתארים בדיוק את אותה המציאות הפיזיקלית, אלא שהמציאות הזו מתגשמת באופן שונה עבור כל אחד מהם (זהו תוצא ידוע של תורת היחסות הפרטית).

    לסיכום, זה לא הטבע שמציית למרות המתמטיקה, אלא אנו הם אלו המצייתים למרות הזו משום שמקורה הוא במבנה התודעה שלנו. אנו מתארים את חוקי הטבע בשפה מתמטית משום שאין לנו כל ברירה אחרת; זו ככל הנראה הדרך האחת בה נוכל לפרש את המציאות האובייקטיבית באופן עקבי וחד משמעי. אין בכך כדי לשלול קיומן של פרשנויות אחרות למציאות, אלא שהללו אינן נגישות לנו, לפחות לא באופן כמותי. יתרה מזאת, אין גם ביטחון שהמתמטיקה תוכל אי פעם לספק לנו תמונה מלאה של המציאות האובייקטיבית. אבל זה מה יש, וזה לא מעט...


    *** זוהי כמובן נקודת מבט המתעלמת לחלוטין מקיומה של ההשגחה. אף שאינני סבור שיש בהתעלמות זו שמץ של הגיון, לקחתי על עצמי כאן חובה שלא לחרוג ממסגרת הדיון המדעי.


    יום שבת, 8 בינואר 2011

    שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית


    תורת היחסות הפרטית היא דוגמא מובהקת לתאוריה מדעית בעלת שלמות פנימית המיוסדת על אוסף מצומצם ביותר של עקרונות יסוד פיזיקאליים. עקרונות היסוד הללו אינם בבחינת אקסיומות שרירותיות שנוסחו רק כדי להתאים מודל תאורטי לממצאים נסיוניים, אלא רעיונות פשוטים בתכלית שההגיון הפנימי שלהם נראה לנו טבעי ומוצק. רשימה זו עוסקת אם כן במבנה האקסיומטי של התורה.

    ובכן, הצעד הראשון בניסוחה של תורת היחסות הפרטית מתחיל בעיקרון היסוד הבא:

    עיקרון-יסוד ראשון: קיימת מחלקה מיוחדת ומאוד מיוחסת של מערכות ייחוס, המכונות מערכות התמד, אשר בן מתקיים החוק הראשון של ניוטון.

    כזכור לכולנו, מערכת התמד היא מערכת ייחוס שבה וקטור המהירות של גוף נשמר בזמן, אלא אם פועלים עליו כוחות חיצוניים שאינם משתקללים לאפס. שימו לב שאין כאן כל מגבלה על פעולתם של כוחות חיצוניים כלשהם: אם הם קיימים, אז וקטור המהירות פשוט איננו נשמר בזמן, אבל אנו נזהרים מאוד להסיק מכך שבמקרה זה תקף החוק השני של ניוטון. הסקה כזו עשוייה להוות מכשלה רצינית משום שאז אנו קופצים היישר אל המים העמוקים של הדינאמיקה לפני שלמדנו לשחות. מאידך גיסא, אם וקטור המהירות איננו נשמר בזמן, זאת למרות שלא פועלים על הגוף כוחות חיצוניים, אזי אין מדובר במערכת התמד. במקרה זה אנו אומרים שפועלים במערכת כוחות מדומים, וכפי שכבר כתבתי בעבר, הללו משמשים אבן בוחן מהימנה לקביעה האם המערכת בה אנו דנים היא אכן מערכת התמד אם לאו. כיוון שוקטור המהירות הוא זה המשמש באיפיונה של מערכת ההתמד, הרי שמערכות ההתמד נבדלות זו מזו אך רק באמצעות מהירותן היחסית, וזו חייבת להראות קבועה בזמן מכל מערכת התמד. שהרי אם מהירותן היחסית איננה נראית קבועה בזמן ממערכת התמד כלשהי, אז בהכרח לפחות אחת מהן איננה מערכת התמד. זאת משום שגוף אשר יתמיד במהירותו במערכת האחת, יראה לצופה מהמערכת האחרת כמי שמהירותו משתנה בזמן ללא התערבותם של כוחות חיצוניים. המהירות היחסית היא, אם כן, סוג של פרמטר שבאמצעותו אנו מבדילים בין מערכות ההתמד השונות. הבה ניגש עתה לניסוחו של עיקרון היסוד השני:

    עיקרון-יסוד שני: כל מערכות ההתמד שקולות לחלוטין זו לזו מבחינה פיזיקאלית.

    מה משמעותה של השקילות הפיזיקאלית המוחלטת הזו? פירושו של דבר הוא שחוקי הטבע זהים לחלוטין בכל מערכות ההתמד. שימו לב שמכאן גם נובע שמצב מנוחה ומצב של תנועה קצובה הם אותו מצב עצמו מבחינה פיזיקאלית. ההבדל הוא קינמטי בלבד ומשמעותו: זו מערכת התמד אחת, וזו מערכת התמד אחרת. וזהו. מערכת המנוחה של צופה מתמיד שקולה לחלוטין למערכת הצמודה לאחיו התאום הנע במהירות הרחוקה מרחק של כלום ממהירות האור ביחס אליו. כפי שניווכח בהמשך, מהתורה שאת עקרונותיה אנו מנסחים כאן נגזר שמהירות האור איננה ברת השגה עבור צופה חומרי, תהיינה הנסיבות אשר תהיינה. מנקודת מבטו של צופה במערכת התמד, המציאות היא מוחלטת במובן זה שהיא מצייתת למערכת חוקים אחת ויחידה, בלי כל תלות בנקודת המבט. זוהי אמירה חזקה ביותר והיא עומדת בסתירה מובהקת לעמדות שנתקבעו להן בחשיבה הפוסט-מודרנית אצל כמה מאלו המכנים עצמם "הוגי-דעות". מוחלטותה של המציאות החומרית היא נדבך מרכזי בתורת היחסות הפרטית (כמו גם ביחסות הכללית), תורה אשר נמצאה תואמת באופן מושלם את כל התצפיות והניסויים שנערכו עד כה. וכי אפשר היה בכלל לעשות ולדבר פיזיקה אלמלא היו חוקי הטבע אחידים בעיני כל הצופים האינרציאליים? 

    הבה נגדיר עתה מושג חדש: הואקום הקלאסי הוא מציאות של היעדר חומר. מציאות זו גוררת בהכרח גם היעדר מוחלט של מטען חשמלי על כל צורותיו (צפיפות מטען או צפיפות זרם) מכיוון שחשמליות היא תכונה העשויה לאפיין אך ורק חומר, הווה אומר, אך ורק חלקיקים בעלי מסה. נדגיש ונאמר: לא מדובר כאן בואקום של המכניקה הקוונטית; הואקום הקוונטי הוא מושג מתוחכם בהרבה מזה הקלאסי, אם כי קיים ביניהם קשר כלשהו. נקודה נוספת וחשובה ביותר: המציאות נטולת החומר עשויה בהחלט "להכיל" שדות אלקטרומגנטיים ועדיין להיחשב לואקום. לא זו בלבד שהיא עשוייה להכיל שדות כאלו; בפועל היא תמיד תכיל שדות כאלו, גם אם צפיפות האנרגיה שלהם נמוכה להפליא. זאת הסיבה שהואקום איננו "ריק" אמיתי אפילו במתכונתו הקלסית. חומר ומטען אין בו, אנרגיה יש ויש. הבה ניגש עתה לניסוחו של העיקרון השלישי החיוני מאין כמוהו לקביעת המסגרת המתמטית של תורת היחסות הפרטית: 

    עיקרון-יסוד שלישי: הואקום הוא מציאות אוניברסלית המשותפת לכל מערכות ההתמד. ובפרט, המבנה האלקטרומגנטי של הואקום משותף לכל מערכות ההתמד.


    למה אנו מתכוונים באומרנו "המבנה האלקטרומגנטי של הואקום"? כלום ל"ריק" יתכן מבנה כלשהו? התשובה היא, בהחלט כן! המסגרת המתמטית המתארת את הענף האלקטרומגנטי של המציאות מתמצאת בשני זוגות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתיימרות לנפק את ההתפתחות בזמן של ארבע שדות וקטורים. אלו הן משוואות מקסוול המוכרות לכולנו... הזוג הראשון של משוואות מקסוול קושר בין שדה העירור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) (המכונה גם שדה ההעתק) ושדה העירור המגנטי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\), לבין המקורות של האינטראקציה האלקטרומגנטית, כלומר להתפלגות המטען החשמלי והתפלגות הזרם החשמלי. הזוג השני של משוואות מקסוול הוא אילוץ מסויים הבא לבטא את העובדה שאין בנמצא מטענים מגנטיים (מקורם של השדות המגנטיים הוא הזרמים החשמליים). לצורך זה אנו מגדירים שני "שדות אילוץ" נוספים: השדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) ושדה ההשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\), והללו מקיימים שתי משוואות חלקיות הומוגניות, כלומר משוואות ללא מקורות. המשוואה הראשונה בכל אחד מזוג המשוואות היא משוואה סקלרית, והמשוואה השנייה בכל זוג היא משוואה וקטורית. לכן סה"כ יש בידנו שמונה משוואות על שתיים-עשרה דרגות חופש. משהו אם כן חסר. ה"משהו" הזה הוא קישרי המבנה של התורה האלקטרומגנטית המתארים את הקשר בין שדות העירור לבין שדות האילוץ בהיעדר מקורות, כלומר בואקום. הנה הקשרים:
    \[\boldsymbol{\mathcal{D}}\:=\:\epsilon_{0}\boldsymbol{E},\quad\boldsymbol{B}\:=\:\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}\]
    לא אתעכב על הקשרים המיוחדים האלו כאן. אנו נתייחס אליהם כחלק אינטגראלי של התורה האלקטרומגנטית, לכן ההצדקה שלהם צריכה להגיע משם. הפרמטרים \(\epsilon_{0}\) ו-\(\mu_{0}\) הם קבועים אוניברסליים המאפיינים את המבנה האלקטרומגנטי של הואקום. אפשר לאמר באופן ציורי שזהו הברקוד האלקטרומגנטי של הואקום. במילים אחרות, התכונות האלקטרומגנטיות של הואקום מקודדות בקישרי המבנה של התורה האלקטרומגנטית. אם להסתמך על עיקרון היסוד השלישי, אזי הקשרים הללו נשמרים במדוייק במעבר ממערכת התמד אחת לשנייה.

    משוואות מקסוול יחד עם קישרי המבנה מקיפות את כל הענף האלקטרומגנטי של המציאות. פיתרונן, בהינתן קונפיגורציה מסויימת של מטענים וזרמים, מתאר במדוייק (ברמה הקלאסית) את הדינאמיקה של השדות האלקטרומגנטיים ושל המטענים והזרמים המשובצים בם. ובפרט, המשוואות תקפות גם בואקום, בהיעדר מקורות. אם ניקח את ארבעת משוואות מקסוול ללא מקורות ונציג בן את קישרי המבנה, נצטמצם לשתי משוואות גלים עבור השדה החשמלי ושדה ההשראה המגנטית. פיתרונן של משוואות הגלים הללו מתאר הפרעות רוחביות בשדה החשמלי ובהשראה המגנטית המתקדמות בזמן תוך שהן שזורות זו בזו, ובמהירות הניתנת בביטוי

    \[c\:=\:\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}\]
    אנו מזהים את ההפרעות האלו עם אור! כל ניסוי וכל תצפית שנערכו עד כה מאששים את ההבחנה הזו. אבל שימו לב: מדובר בהפרעות המתקדמות בריק! כלומר בגלים המתפשטים באין תווך! משום כך הציעו רבים וטובים את קיומו של האתר - תווך בלתי משיש בו מתאפשרת התקדמות הגלים האלקטרומגנטיים. אלא שהעקביות המתחייבת מכל שניסחנו עד כה שוללת לחלוטין קיומו של תווך כזה. שהרי אם הוא קיים אז מערכת המנוחה שלו (שהיא בהכרח מערכת התמד) מיוחסת ביחס לכל מערכת התמד אחרת. רעיון כזה סותר את הבינה, ואת עיקרון היסוד השני המושתת עליה... לא נוכל אם כן להמנע מהמסקנה שהאור הוא-הוא המבנה האלקטרומגנטי של הואקום, ובפרט, מהירות האור בואקום היא קבוע אוניברסלי המתחייב מהמבנה האלקטרומגנטי של הואקום.

    האינווריאנטיות של הואקום תחת מעבר ממערכת התמד אחת לשנייה מחייבת מהירות אור משותפת לכל מערכות ההתמד, עובדה שנתבררה כנכונה מבחינה אמפירית באינספור בדיקות ותצפיות. חשוב להדגיש: כל המסקנות הללו מוגבלות למחלקת מערכות ההתמד, והן אינן תופסות במערכות מואצות או בנוכחות שדות כבידה. יש הבוחרים לראות את הדברים מזווית מעט שונה: לדידם קביעות מהירות האור בכל מערכות ההתמד היא עובדה אמפירית, וככזו ראשונה בהיררכיה מבחינת חשיבותה. לכן תורת היחסות כולה צריך שתהא מושתתת על עובדה זו. או-אז, משקיבלנו זאת כזה-ראה-וקדש, לא נותר לנו אלא להסיק שמערכות ההתמד הן בהכרח שקולות זו לזו, מה שממילא מייתר ומבטל את הקונספט של האתר ומחליף אותו בדבר-מה אחר... ומהו אותו "דבר-מה" אחר?

    הבה נחזור למתודה המושתתת על שלשת עקרונות היסוד. מבין השלושה, העיקרון השלישי והאחרון בדבר האינווריאנטיות של המבנה האלקטרומגנטי של הואקום הוא זה המכתיב את התיאור הקינמטי *הנכון* של המציאות, ומאפשר בהמשך לנסח את התיקונים המתבקשים בסקטור הדינאמי. עקרון זה מחייב הסתכלות שונה מזו שהיינו מורגלים בה עד כה בכל מה שקשור במעבר בין מערכות התמד, ולמעשה מכתיב את החלפתם של טרנספורמציות גלילייי בטרנספורמציות לורנץ. אלו הן הטרנספורמציות המינימלסטיות המבטיחות את האינווריאנטיות של קשרי המבנה תחת המעבר. לא אתעכב כאן על הפרטים הטכניים, רק אזכיר שטרנספורמציות לורנץ 'מערבבות' בין קורדינטת הזמן לקורדינטות המרחביות ובשל כך מאחדות הלכה ולמעשה את המרחב עם הזמן לכדי מהות אחת, מיוחדת וייחודית, הלא היא המרחב-זמן. מרגע שהפנמנו את האחדה המתבקשת הזו בא הקץ על קונספציות שגויות שכה הורגלנו בהן. בפרט, אבד הכלח לעד על מושג האתר; תחתיו בא המרחב-זמן המאוחד, הנפרש באמצעות סרגלים המתכיילים מחדש במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה. בהקשר זה מפתיעה במיוחד היא העובדה ששעונים הממוקמים במערכות התמד שונות מתקתקים בקצבים שונים, ושמושגים כמו בו-זמניות ומקומיות הם תלויי-צופה... יתר על כן, האור עצמו איננו מערכת התמד ולכן גם אין לו מערכת מנוחה! לכל מה שתארנו כאן (ולתוצאים רבים נוספים שלא תארנו כאן) יש משמעויות מרחיקות לכת בנוגע לאופן שבו אנו תופשים את עולמנו. על כך - ובלי נדר - ברשומה עתידית נפרדת...