יום שבת, 13 בנובמבר 2010

גדג'ט ושמו "מערכת התמד רגעית"


ברשומה הזו אנסה להראות כיצד ניתן להכניס מערכות ייחוס לא אינרציאליות בסד החוק השני של ניוטון. אעשה זאת כאן עבור מערכות המאיצות לינארית, ואילו ברשומה הבאה שתעסוק בנושא זה אעשה זאת גם עבור מערכות מסתובבות.

הגדרה: מערכת התמד גלילאנית היא מערכת ייחוס בה תקפים החוק הראשון והחוק השני של ניוטון.

הערה: מערכות התמד גלילאניות אינן מערכות התמד "אמיתיות" כיוון שהן אינן באמת שקולות זו לזו מבחינה פיזיקאלית. והראיה: הואקום של התורה האלקטרומגנטית איננו נשמר במעבר ממערכת התמד גלילאנית אחת למערכת התמד גלילאנית שנייה. למעשה, במערכות התמד אמיתיות נוכל לעסוק רק במסגרת תורת היחסות!


הגדרה של המושג טרנספורמציית גלילי: תהינה \(\mathcal{O}\) ו-\(\mathcal{O}'\) שתי מערכות התמד גלילאניות הנעות במהירות קצובה \(\boldsymbol{u}\) זו ביחס לזו. יתאר הוקטור \(\boldsymbol{v}\) את מהירותו של חלקיק ניוטוני כלשהו במערכת \(\mathcal{O}\) ויהא \(\boldsymbol{v}'\) וקטור מהירותו של אותו חלקיק במערכת \(\mathcal{O}'\). אזי נדרוש: 

  1. הזמן הוא אוניברסלי (כלומר, הדינמיקה של החלקיק הניוטוני בשתי המערכות תתואר באמצעות פרמטר זמן יחיד \(t\) המשותף לשתיהן). 
  2. מהירות החלקיק הניוטוני כפי שהיא נצפית בשתי מערכות הייחוס הללו מקיימת את הקשר המכונן: \(\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\).
בהנתן הגדרה זו נוכל לבצע אינטגרציה ביחס לפרמטר הזמן המשותף \(t\) ולקבל:
\[\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{u}t\]
גזירה, לעומת זאת, תיתן מיד \(\boldsymbol{a}'=\boldsymbol{a}\), מה שמבטיח את האינווריאנטיות של הסקטור הקינמטי של החוק השני של ניוטון תחת הטרנספורמציה, בהנחה שהמסה קבועה בזמן.

אבל מה לגבי הסקטור הדינמי? האם גם הוא נשמר תחת הטרנספורמציה? הבה נניח שיש לנו מערכת של \(N\) חלקיקים ושהכוחות הפועלים ביניהם נגזרים מסכימה על פוטנציאלים באופן הבא:
\[\boldsymbol{F}_{i}=-\nabla\left[\sum_{j\neq{i}}V_{ij}\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right|\right)\right]\]
כאן \(\boldsymbol{F}_{i}\) הוא שקול כל הכוחות הפועלים על החלקיק ה-\(i\) בעטיים של כל החלקיקים האחרים במערכת, וכמובן האינדקס \(j\) רץ מ-\(1\) ועד \(N\), לא כולל \(i\). הביטוי דלעיל הוא למעשה הביטוי הכללי ביותר שניתן לרשום עבור כוחות משמרים הפועלים בין החלקיקים. במקרה זה האינווריאנטיות של סקטור הכוחות תחת הטרנספורמציה נובעת מיידית מהאינווריאנטיות של הוקטור \(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\) (בידקו זאת בקלות), ומהאינווריאנטיות של הגרדיאנט:

$$\frac{\partial}{\partial{x}'_{\alpha}}=\frac{\partial{x}_{\beta}}{\partial{x}'_{\alpha}}\frac{\partial}{\partial{x}_{\beta}}+\frac{\partial{t}}{\partial{x}'_{\alpha}}\frac{\partial}{\partial{t}}=\delta_{\alpha}^{\beta}\frac{\partial}{\partial{x}_{\beta}}=\frac{\partial}{\partial{x}_{\alpha}}$$
(כאן מימשנו את הסכם הסומציה). אם לסכם, החוק השני של ניוטון נשמר תחת טרנספורמציית גליליי, ובלבד שהכוחות הפועלים בין החלקיקים הם כוחות משמרים, ומסתם של החלקיקים קבועה בזמן.

הערה: ברגיל, הפיזיקה הקלסית מתעלמת מהאפשרות של אברי self-interactions, הגורמים להתבדרויות. ההתעלמות הזו איננה מזיקה כל עוד איננו מסתכלים 'קרוב מידי' לחלקיקים עצמם. הבאג הזה בא לידי תיקון מלא רק בתורת השדות הקוואנטים במסגרת הטכניקה המכונה 'רנורמליזציה' אבל אני מניח שלא אעסוק בזה בזמן הקרוב...

עד כאן טוב ויפה. אבל מה קורה כאשר \(\mathcal{O}'\) היא מערכת יחוס לא אינרציאלית, היכן שהמהירות היחסית בינה לבין מערכת הייחוס האינרציאלית \(\mathcal{O}\) היא פונקציה וקטורית של הזמן, \(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}(t)\)? כידוע, במערכות אלו לא מתקיימים לא החוק הראשון ולא החוק השני, מצב שלכאורה משאיר אותנו חסרי כלים לטיפול אנליטי... לאמיתו של דבר אין זה כך כלל ועיקר. בדיוק פה נכנס הגדג'ט החביב הזה שנקרא מערכת התמד רגעית

הגדרה: מערכת התמד (גליליאנית) רגעית היא אוסף אינסופי של מערכות התמד גלילאניות \(\left\{\mathcal{O}_{t}\right\}\) כך ש- \(\mathcal{O}_{t}=\mathcal{O}'(t)\;\forall\;t\).

פירושו של דבר שכל אחת ואחת מהמערכות שבאוסף (המתוייגות כולן באמצעות הפרמטר הרציף \(t\)) מתלכדת עם \(\mathcal{O}'\) באופן רגעי, בזמן \(t\). ומכיוון שמדובר במערכות התמד גלילאניות - גם אם הן מתקיימות רק באופן רגעי - אזי בהכרח תקף עבורן החוק השני. ובפרט, טרנספורמציית גליליי ממערכת ההתמד \(\mathcal{O}\) למערכות התמד רגעיות אלו תקיים: \[\boldsymbol{v}_{t}=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}(t)\] שהרי \(\boldsymbol{u}(t)\) היא המהירות היחסית בין שתי מערכות ההתמד \(\mathcal{O}_{t}\) ו-\(\mathcal{O}\). גזירה לפי הזמן תיתן עתה: \[\boldsymbol{a}_{t}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{A}\]
באשר \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(t)\) היא תאוצת המערכת המתוייגת כפי שהיא נצפית במערכת ההתמד הגלילאנית הלא-מתוייגת בכל רגע נתון \(t\). כיוון שמערכות ההתמד הרגעיות הן גלילאניות, ומכיוון שהכוחות האמיתיים הם אינווריאנטים של טרנספורמציית גליליי (כך שמתקיים \(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{t}\) לכל \(t\)), הרי שביחס לכל אחת ואחת מהן נוכל לרשום ללא חשש:  \(\boldsymbol{F}_{t}=\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}=m\boldsymbol{a}_{t}+m\boldsymbol{A}\)  ומכאן, \[\boldsymbol{F}-m\boldsymbol{A}=m\boldsymbol{a}_{t}\] התאוצה הרגעית באגף ימין מייצגת את תאוצת החלקיק הניוטוני במערכת המתויגת (הלא-אינרציאלית) כפי שהיא 'נקלטת' במערכת ההתמד הרגעית בזמן \(t\). שקול הכוחות שבאגף שמאל מייצג את סך כל הכוחות הפועלים על החלקיק במערכת זו. האיבר הנוסף המופיעה באגף שמאל, היינו \(m\boldsymbol{A}\), הוא איבר "דמוי כוח". משוואה זו היא "תשקיף" של החוק השני במערכת ההתמד הרגעית: באגף שמאל הסקטור הדינמי, באגף ימין הסקטור הקינמטי. אבל מערכת ההתמד הרגעית איננה אלא תשקיף רגעי של מערכת הייחוס המואצת. במילים אחרות, מצאנו דרך אלגנטית לתרגם את החוק השני לשפה לא אינרציאלית...

כמובן שהאלמנט \(m\boldsymbol{A}\) במשוואה דלעיל איננו כוח אמיתי כיוון שאין אף גורם חיצוני שיצר אותו. הצופה במערכת המאיצה אמנם חש בו כאילו היה אמיתי אבל אין תחושה זו באה לבטא אלא את האינרציה הגלומה במסתו. לכן האלמנט הזה מכונה כוח מדומה. בפיזיקה הקלסית מוכרים כמה וכמה סוגים של כוחות מדומים. זה שהצגנו כאן (כלומר בהקשר של מערכות ייחוס המאיצות לינארית) מכונה כוח דלמברט. האם ניתן להכיל את הרעיון של מערכות התמד רגעיות גם על סיבובים? בהחלט כן! על כך ברשומה הבאה.







אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה