יום שישי, 26 בנובמבר 2010

כוחות מדומים במערכות מסתובבות

הטיפול האנליטי במערכות מסתובבות הוא לדעתי אמנות של ממש... יש כמה דרכים לגשת לנושא, אבל אני אהיה נאמן לקו שהתוותי ברשומות הקודמות, ואנסה להציג את הטיפול במערכות מסתובבות מתוך עקרונות היסוד הפיזיקליים, מבלי להזדקק מפורשות לחבורת הסיבובים, ותוך שימוש במושג מערכת ההתמד הרגעית.

מהי, אם כן, מטרתנו? אנו מחפשים את חוקי הטרנספורמציה ממערכת התמד למערכת יחוס מסתובבת.

הערה:  עתה אנו נהיה פחות נוקדנים ונזהה היישר את מה שנקלט במערכת ההתמד הרגעית עם מה שנצפה בפועל במערכת הלא אינרציאלית. אבל תמיד נזכור: המערכת המתוייגת, אף שהיא רושמת את שנקלט במערכת המסתובבת, היא בסופו של דבר מערכת התמד (באופן רגעי) ומשום כך תקפים בה החוק הראשון והחוק השני של ניוטון.

לפני שנתחיל, הקדמה קצרה באלגברה.

כל וקטור ב- \(\mathbb{R}_{n}\) הוא למעשה אינווריאנט של טרנספורמציות לינאריות ב- \(\mathbb{R}_{n}\). הבה נתבונן בוקטור כלשהו \(\boldsymbol{X}\in\mathbb{R}_{n}\). בהינתן בסיס כלשהו \(\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}\) הפורש את המרחב הוקטורי הנ"ל, נוכל להציג את הוקטור \(\boldsymbol{X}\) כצירוף לינארי מהצורה \(\boldsymbol{X}=X^{i}\boldsymbol{e}_{i}\). הסט הסדור של המספרים \(\left(X^{1},X^{2},\ldots,X^{n}\right)\) מכונה וקטור הקוארדינטות של \(\boldsymbol{X}\) בבסיס \(\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}\); משמעות הדבר היא שהפרישה של \(\boldsymbol{X}\) בבסיס \(\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}\) מתוארת באמצעות \(n\)-יה של מספרים, היא מס' תעודת הזהות של הוקטור בבסיס זה.

שימו לב: כאן, ובכל שלב בהמשך, אנו מאמצים את הסכם הסומציה: על אינדקס המופיע פעמיים באותו איבר יש תמיד לסכם. את האינווריאנטיות תחת טרנספורמציות לינאריות נוכל לתאר באמצעות השוויון
\[\boldsymbol{X}\,=\,X^{i}\boldsymbol{e}_{i}\,=\,X^{i'}\boldsymbol{e}_{i'}\]
זאת כיוון שהטרנספורמציה של הבסיס הפוכה לזו של וקטור הקואורדינטות והרכבתן נותנת את טרנספורמציית הזהות. הערהמסיבות שונות אני מעדיף לסמן פרישה בבסיס מתוייג באמצעות תג על האינדקס ולא על האות, וכך יהיה גם ברשומות עתידיות שאפרסם כאן.

הבה נתמקד עתה במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{3}\). זהו למעשה המרחב \(\mathbb{R}_{3}\) לאחר שציידנו אותו במטריקה אאוקלידית המוגדרת באמצעות המכפלה הסקלרית הסטנדרטית. אנו נניח שהוקטור \(\boldsymbol{X}\) תלוי בפרמטר הזמן \(t\) ונבחר את הבסיס הלא מתוייג כבסיס סטנדרטי (אורתונורמלי) במערכת התמד כלשהי, ואת הבסיס המתוייג כמערכת יחוס מסתובבת אשר ראשיתה מתלכדת כל העת עם ראשיתה של מערכת ההתמד. בבחירה זה נוכל לרשום (שימו לב לתלויות בזמן):
\[\boldsymbol{X}\left(t\right)\,=\,X^{i}\left(t\right)\,\boldsymbol{e}_{i}\,=\,X^{i'}\left(t\right)\,\boldsymbol{e}_{i'}\left(t\right)\]
כאשר האינדקסים רצים מאחת עד שלוש בסכימה. אם להזדקק למילים מפורשות, הרי שבמערכת ההתמד נכנסת התלות בזמן רק דרך וקטור הקואורדינטות ואילו במערכת המסתובבת גם וקטור הקואורדינטות וגם הבסיס תלויים בזמן.

גזירה לפי הזמן תיתן עתה:
\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}\,=\,\underbrace{\frac{\mathrm{d}X^{i}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{i}\,=\,\frac{\mathrm{d}X^{i'}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{i'}+X^{i'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{i'}}{\mathrm{d}t}}_{\displaystyle\overset{\displaystyle\,.}{\boldsymbol{X}}\,=\,\overset{\displaystyle\!.}{\boldsymbol{X}'}+X^{i'}\overset{\displaystyle\,.}{\boldsymbol{e}}_{i'}}\]
כאשר אגף שמאל במשוואה התחתונה מייצג את הפרישה של הנגזרת לפי הזמן בבסיס הלא מתוייג, ואילו אגף ימין נפרש בבסיס המתוייג. יש לנו, אם כן, רצפט לחוק הטרנספורמציה. אבל בטרם נרשום אותו במפורש, יש לחשב קודם את הנגזרת לפי הזמן של הבסיס...

למה אם כן שווה הנגזרת לפי הזמן של וקטור הבסיס? את זה קל למדי להסיק מהגדרת הנגזרת: אם במרווח הזמן \(\Delta{t}\) מסתובב הבסיס המתוייג בזווית \(\Delta\phi\) נגד כיוון השעון, אז (היווכחו בעצמכם באמצעות תרשים קטן!):

\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{i'}}{\mathrm{d}t}\,=\,\lim_{\Delta{t}\to0}\left[\frac{\boldsymbol{e}_{i'}\left(t+\Delta{t}\right)-\boldsymbol{e}_{i'}\left(t\right)}{\Delta{t}}\right]\,=\,\lim_{\Delta{t}\to0}\left[\frac{\Delta\phi\times\boldsymbol{e}_{i'}}{\Delta{t}}\right]\]

כאשר \(\Delta\boldsymbol{\phi}\) הוא וקטור השינוי בזווית המצביע בכיוון ציר הסיבוב. אם ניקח את הגבול במפורש נקבל:
\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{i'}}{\mathrm{d}t}\,=\,\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{e}_{i'}\]
וכאן \(\boldsymbol{\omega}=\mathrm{d}\boldsymbol{\phi}/\mathrm{d}t=\left(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t\right)\widehat{\boldsymbol{k}}\) הוא וקטור המהירות הזוויתית\(\widehat{\boldsymbol{k}}\) מצביע בכיוון ציר הסיבוב.

תזכורת: המכפלה הסקלרית במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{3}\) ניתנת ע"י \(\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{Y}=\delta_{ij}X^{i}Y^{j}\), והמכפלה הוקטורית ב-\(\mathbb{E}_{3}\) ניתנת ע"י \(\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{Y}\right)_{i}=\epsilon_{ijk}X^{j}Y^{k}\), וכמובן יש לסכום מאחד ועד שלוש על אינדקסים המופיעים פעמיים באותו איבר. ועוד שתי הערות:
  1. וקטור התנע הזוויתי משותף לשתי מערכות הייחוס! זהו אינווריאנט.
  2. אם בחרתם במקרה בסיבוב עם כיוון השעון, הכפילו את \(\boldsymbol{\omega}\) במינוס אחד.

נציג עתה את התוצאה מלמעלה בנגזרת לפי הזמן של הוקטור \(\boldsymbol{X}\) ונקבל לבסוף:
\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}'}{\mathrm{d}t}+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{X}'\]
זהו חוק הטרנספורמציה לגזירה של וקטורים לפי הזמן, במעבר ממערכת התמד למערכת המסתובבת. באגף שמאל מופיעה הנגזרת במערכת ההתמד, באגף ימין מופיעה הנגזרת במערכת המסתובבת. כאן, במערכת המסתובבת, אנו מזהים שתי תרומות לנגזרת: האחת נובעת מהשינוי בזמן של הוקטור \(\boldsymbol{X}\) עצמו, השנייה נובעת מהסיבוב של הבסיס. כמובן שחוק זה תקף רק עבור גזירה של וקטורים. (אתגר קל: נסחו חוק טרנספורמציה עבור גזירה לפי הזמן של טנזורים.)

נחזור עתה לעניינו. נפעיל את חוק הטרנספורמציה שקיבלנו על וקטור המקום \(\boldsymbol{r}\) ונקבל את חוק הטרנספורמצייה עבור המהירויות:
\[\boldsymbol{v}\,=\,\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'.\]
עתה נפעיל את נוסחת הטרנספורמצייה שלנו על וקטור המהירות על מנת לקבל נוסחת טרנספורמצייה עבור התאוצות:
\begin{aligned}\boldsymbol{a}&\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)+\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\\&\,=\,\boldsymbol{a}'+\overset{\displaystyle\: .}{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}'+2\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'\right)+\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right).\end{aligned}

זה הזמן לשוב ולהיזכר בשתי העובדות הבאות:

  • אנו מתייחסים אל המערכת המתוייגת כאל מערכת התמד רגעית אשר מצייתת לשני חוקי הדינאמיקה של ניוטון.
  • הכוחות האמיתיים המופיעים במערכות התמד הם אינווריאנטים של טרנספורמציית גליליי.

מצויידים במידע הזה נכפיל את חוק הטרנספורמציה עבור התאוצות במסה, נעביר אגפים, נציג את החוק השני \(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\) במערכת הלא מתוייגת, ומייד נקבל:
\[m\boldsymbol{a}'\,=\,\boldsymbol{F}-m\big(\overset{\displaystyle\: .}{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}'\big)-2m\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'\right)-m\left(\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\right)\]
שימו לב ששקול כל הכוחות האמיתיים \(\boldsymbol{F}\) המובחנים במערכת ההתמד, איננו משתנה במעבר למערכת ההתמד הרגעית (שהיא תעתיק רגעי של המערכת המסתובבת), ולכן נוכל לרשום ללא חשש \(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}'\).

הבה נסכם: הסקטור הקינמטי של החוק השני מכיל עתה את התאוצה של החלקיק הניוטוני \(\boldsymbol{a}'\)  כפי שהיא נרשמת במערכת ההתמד הרגעית. הסקטור הדינמי מכיל את הכוחות האמיתיים הפועלים על החלקיק (הנשמרים במעבר ממערכת ההתמד הפרמננטית למערכת ההתמד הרגעית), בתוספת שלוש תרומות המובחנות אך ורק במערכת המסתובבת:

\begin{aligned}\boldsymbol{F}_{\text{E}}&\,=\,-m\big(\overset{\displaystyle\: .}{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}'\big)&\Rightarrow&\;\text{Euler Force}\\\boldsymbol{F}_{\text{C}}&\,=\,-2m\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'\right)&\Rightarrow&\;\text{Coriolis Force}\\\boldsymbol{F}_{\text{R}}&\,=\,-m\left(\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\right)&\Rightarrow&\;\text{Centrifugal Force}\end{aligned}
אלו הם שלושת הכוחות המדומים המובחנים בתנועה סיבובית, והם משפיעים כמובן על הדינמיקה כפי שהיא נצפית מתוך המערכת הזו, ראו ההדגמה הנאה למטה.

ולסיום, שימו לב שהכוח הצנטרפוגלי מתפרק לשתי חתיכות,
\[\boldsymbol{F}_{\text{R}}\,=\,-m\left(\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\right)\,=\,-m\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{r}'\right)\boldsymbol{\omega}+m\omega^{2}\boldsymbol{r}'\]
כאן קל לראות שאם וקטור המקום ניצב לוקטור המהירות הזוויתית, מתקבל הביטוי המוכר מבית ספר התיכון: הכוח הצנטרפוגלי שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח הצנטריפיטלי (אבל זיכרו, בניגוד לכוח הצנטריפיטלי, הממשי בתכלית, זהו כוח מדומה!), ואם וקטור המקום מצביע בכיוון וקטור המהירות הזוויתית, הכוח הצנטרפוגלי בכללותו מתאפס. במצבי הביניים מתקבלות כמובן שתי תרומות וקטוריות.

הנה המחשה נאה המופיעה בויקיפדיה להשפעה של הכוחות המדומים על הדינמיקה: חלקיק קטן מבצע תנועה אליפטית על צלחת נטולת חיכוך המסתובבת במהירות זוויתית קבועה (כך ש- \(\dot{\boldsymbol{\omega}}=\boldsymbol{0}\)). האנימציה השמאלית מתייחסת לנקודת המבט האינרציאלית היכן שהתנועה אכן מציירת אליפסה, ואילו האנימציה הימנית מבטאת את הדינמיקה כפי שהיא נצפית מתוך הצלחת המסתובבת... התנועה המעגלית מנקודת מבט זו מתקבלת בעטיים של כוח קוריוליס והכוח הצנטרפוגלי.





אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה