יום שישי, 26 בנובמבר 2010

כוחות מדומים במערכות מסתובבות

הטיפול האנליטי במערכות מסתובבות הוא לדעתי אמנות של ממש... יש כמה דרכים לגשת לנושא, אבל אני אהיה נאמן לקו שהתוותי ברשומות הקודמות, ואנסה להציג את הטיפול במערכות מסתובבות מתוך עקרונות היסוד הפיזיקליים, מבלי להזדקק מפורשות לחבורת הסיבובים, ותוך שימוש במושג מערכת ההתמד הרגעית.

מהי, אם כן, מטרתנו? אנו מחפשים את חוקי הטרנספורמציה ממערכת התמד למערכת יחוס מסתובבת.

הערה:  עתה אנו נהיה פחות נוקדנים ונזהה היישר את מה שנקלט במערכת ההתמד הרגעית עם מה שנצפה בפועל במערכת הלא אינרציאלית. אבל תמיד נזכור: המערכת המתוייגת, אף שהיא רושמת את שנקלט במערכת המסתובבת, היא בסופו של דבר מערכת התמד (באופן רגעי) ומשום כך תקפים בה החוק הראשון והחוק השני של ניוטון.

לפני שנתחיל, הקדמה קצרה באלגברה.

כל וקטור ב- \(\mathbb{R}_{n}\) הוא למעשה אינווריאנט של טרנספורמציות לינאריות ב- \(\mathbb{R}_{n}\). הבה נתבונן בוקטור כלשהו \(\boldsymbol{X}\in\mathbb{R}_{n}\). בהינתן בסיס כלשהו \(\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}\) הפורש את המרחב הוקטורי הנ"ל, נוכל להציג את הוקטור \(\boldsymbol{X}\) כצירוף לינארי מהצורה \(\boldsymbol{X}=X^{i}\boldsymbol{e}_{i}\). הסט הסדור של המספרים \(\left(X^{1},X^{2},\ldots,X^{n}\right)\) מכונה וקטור הקוארדינטות של \(\boldsymbol{X}\) בבסיס \(\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}\); משמעות הדבר היא שהפרישה של \(\boldsymbol{X}\) בבסיס \(\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}\) מתוארת באמצעות \(n\)-יה של מספרים, היא מס' תעודת הזהות של הוקטור בבסיס זה.

שימו לב: כאן, ובכל שלב בהמשך, אנו מאמצים את הסכם הסומציה: על אינדקס המופיע פעמיים באותו איבר יש תמיד לסכם. את האינווריאנטיות תחת טרנספורמציות לינאריות נוכל לתאר באמצעות השוויון
\[\boldsymbol{X}\,=\,X^{i}\boldsymbol{e}_{i}\,=\,X^{i'}\boldsymbol{e}_{i'}\]
זאת כיוון שהטרנספורמציה של הבסיס הפוכה לזו של וקטור הקואורדינטות והרכבתן נותנת את טרנספורמציית הזהות. הערהמסיבות שונות אני מעדיף לסמן פרישה בבסיס מתוייג באמצעות תג על האינדקס ולא על האות, וכך יהיה גם ברשומות עתידיות שאפרסם כאן.

הבה נתמקד עתה במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{3}\). זהו למעשה המרחב \(\mathbb{R}_{3}\) לאחר שציידנו אותו במטריקה אאוקלידית המוגדרת באמצעות המכפלה הסקלרית הסטנדרטית. אנו נניח שהוקטור \(\boldsymbol{X}\) תלוי בפרמטר הזמן \(t\) ונבחר את הבסיס הלא מתוייג כבסיס סטנדרטי (אורתונורמלי) במערכת התמד כלשהי, ואת הבסיס המתוייג כמערכת יחוס מסתובבת אשר ראשיתה מתלכדת כל העת עם ראשיתה של מערכת ההתמד. בבחירה זה נוכל לרשום (שימו לב לתלויות בזמן):
\[\boldsymbol{X}\left(t\right)\,=\,X^{i}\left(t\right)\,\boldsymbol{e}_{i}\,=\,X^{i'}\left(t\right)\,\boldsymbol{e}_{i'}\left(t\right)\]
כאשר האינדקסים רצים מאחת עד שלוש בסכימה. אם להזדקק למילים מפורשות, הרי שבמערכת ההתמד נכנסת התלות בזמן רק דרך וקטור הקואורדינטות ואילו במערכת המסתובבת גם וקטור הקואורדינטות וגם הבסיס תלויים בזמן.

גזירה לפי הזמן תיתן עתה:
\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}\,=\,\underbrace{\frac{\mathrm{d}X^{i}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{i}\,=\,\frac{\mathrm{d}X^{i'}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{e}_{i'}+X^{i'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{i'}}{\mathrm{d}t}}_{\displaystyle\overset{\displaystyle\,.}{\boldsymbol{X}}\,=\,\overset{\displaystyle\!.}{\boldsymbol{X}'}+X^{i'}\overset{\displaystyle\,.}{\boldsymbol{e}}_{i'}}\]
כאשר אגף שמאל במשוואה התחתונה מייצג את הפרישה של הנגזרת לפי הזמן בבסיס הלא מתוייג, ואילו אגף ימין נפרש בבסיס המתוייג. יש לנו, אם כן, רצפט לחוק הטרנספורמציה. אבל בטרם נרשום אותו במפורש, יש לחשב קודם את הנגזרת לפי הזמן של הבסיס...

למה אם כן שווה הנגזרת לפי הזמן של וקטור הבסיס? את זה קל למדי להסיק מהגדרת הנגזרת: אם במרווח הזמן \(\Delta{t}\) מסתובב הבסיס המתוייג בזווית \(\Delta\phi\) נגד כיוון השעון, אז (היווכחו בעצמכם באמצעות תרשים קטן!):

\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{i'}}{\mathrm{d}t}\,=\,\lim_{\Delta{t}\to0}\left[\frac{\boldsymbol{e}_{i'}\left(t+\Delta{t}\right)-\boldsymbol{e}_{i'}\left(t\right)}{\Delta{t}}\right]\,=\,\lim_{\Delta{t}\to0}\left[\frac{\Delta\phi\times\boldsymbol{e}_{i'}}{\Delta{t}}\right]\]

כאשר \(\Delta\boldsymbol{\phi}\) הוא וקטור השינוי בזווית המצביע בכיוון ציר הסיבוב. אם ניקח את הגבול במפורש נקבל:
\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{i'}}{\mathrm{d}t}\,=\,\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{e}_{i'}\]
וכאן \(\boldsymbol{\omega}=\mathrm{d}\boldsymbol{\phi}/\mathrm{d}t=\left(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t\right)\widehat{\boldsymbol{k}}\) הוא וקטור המהירות הזוויתית\(\widehat{\boldsymbol{k}}\) מצביע בכיוון ציר הסיבוב.

תזכורת: המכפלה הסקלרית במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{3}\) ניתנת ע"י \(\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{Y}=\delta_{ij}X^{i}Y^{j}\), והמכפלה הוקטורית ב-\(\mathbb{E}_{3}\) ניתנת ע"י \(\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{Y}\right)_{i}=\epsilon_{ijk}X^{j}Y^{k}\), וכמובן יש לסכום מאחד ועד שלוש על אינדקסים המופיעים פעמיים באותו איבר. ועוד שתי הערות:
  1. וקטור התנע הזוויתי משותף לשתי מערכות הייחוס! זהו אינווריאנט.
  2. אם בחרתם במקרה בסיבוב עם כיוון השעון, הכפילו את \(\boldsymbol{\omega}\) במינוס אחד.

נציג עתה את התוצאה מלמעלה בנגזרת לפי הזמן של הוקטור \(\boldsymbol{X}\) ונקבל לבסוף:
\[\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}'}{\mathrm{d}t}+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{X}'\]
זהו חוק הטרנספורמציה לגזירה של וקטורים לפי הזמן, במעבר ממערכת התמד למערכת המסתובבת. באגף שמאל מופיעה הנגזרת במערכת ההתמד, באגף ימין מופיעה הנגזרת במערכת המסתובבת. כאן, במערכת המסתובבת, אנו מזהים שתי תרומות לנגזרת: האחת נובעת מהשינוי בזמן של הוקטור \(\boldsymbol{X}\) עצמו, השנייה נובעת מהסיבוב של הבסיס. כמובן שחוק זה תקף רק עבור גזירה של וקטורים. (אתגר קל: נסחו חוק טרנספורמציה עבור גזירה לפי הזמן של טנזורים.)

נחזור עתה לעניינו. נפעיל את חוק הטרנספורמציה שקיבלנו על וקטור המקום \(\boldsymbol{r}\) ונקבל את חוק הטרנספורמצייה עבור המהירויות:
\[\boldsymbol{v}\,=\,\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'.\]
עתה נפעיל את נוסחת הטרנספורמצייה שלנו על וקטור המהירות על מנת לקבל נוסחת טרנספורמצייה עבור התאוצות:
\begin{aligned}\boldsymbol{a}&\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)+\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{v}'+\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\\&\,=\,\boldsymbol{a}'+\overset{\displaystyle\: .}{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}'+2\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'\right)+\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right).\end{aligned}

זה הזמן לשוב ולהיזכר בשתי העובדות הבאות:

  • אנו מתייחסים אל המערכת המתוייגת כאל מערכת התמד רגעית אשר מצייתת לשני חוקי הדינאמיקה של ניוטון.
  • הכוחות האמיתיים המופיעים במערכות התמד הם אינווריאנטים של טרנספורמציית גליליי.

מצויידים במידע הזה נכפיל את חוק הטרנספורמציה עבור התאוצות במסה, נעביר אגפים, נציג את החוק השני \(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\) במערכת הלא מתוייגת, ומייד נקבל:
\[m\boldsymbol{a}'\,=\,\boldsymbol{F}-m\big(\overset{\displaystyle\: .}{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}'\big)-2m\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'\right)-m\left(\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\right)\]
שימו לב ששקול כל הכוחות האמיתיים \(\boldsymbol{F}\) המובחנים במערכת ההתמד, איננו משתנה במעבר למערכת ההתמד הרגעית (שהיא תעתיק רגעי של המערכת המסתובבת), ולכן נוכל לרשום ללא חשש \(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}'\).

הבה נסכם: הסקטור הקינמטי של החוק השני מכיל עתה את התאוצה של החלקיק הניוטוני \(\boldsymbol{a}'\)  כפי שהיא נרשמת במערכת ההתמד הרגעית. הסקטור הדינמי מכיל את הכוחות האמיתיים הפועלים על החלקיק (הנשמרים במעבר ממערכת ההתמד הפרמננטית למערכת ההתמד הרגעית), בתוספת שלוש תרומות המובחנות אך ורק במערכת המסתובבת:

\begin{aligned}\boldsymbol{F}_{\text{E}}&\,=\,-m\big(\overset{\displaystyle\: .}{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}'\big)&\Rightarrow&\;\text{Euler Force}\\\boldsymbol{F}_{\text{C}}&\,=\,-2m\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}'\right)&\Rightarrow&\;\text{Coriolis Force}\\\boldsymbol{F}_{\text{R}}&\,=\,-m\left(\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\right)&\Rightarrow&\;\text{Centrifugal Force}\end{aligned}
אלו הם שלושת הכוחות המדומים המובחנים בתנועה סיבובית, והם משפיעים כמובן על הדינמיקה כפי שהיא נצפית מתוך המערכת הזו, ראו ההדגמה הנאה למטה.

ולסיום, שימו לב שהכוח הצנטרפוגלי מתפרק לשתי חתיכות,
\[\boldsymbol{F}_{\text{R}}\,=\,-m\left(\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}'\right)\right)\,=\,-m\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{r}'\right)\boldsymbol{\omega}+m\omega^{2}\boldsymbol{r}'\]
כאן קל לראות שאם וקטור המקום ניצב לוקטור המהירות הזוויתית, מתקבל הביטוי המוכר מבית ספר התיכון: הכוח הצנטרפוגלי שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח הצנטריפיטלי (אבל זיכרו, בניגוד לכוח הצנטריפיטלי, הממשי בתכלית, זהו כוח מדומה!), ואם וקטור המקום מצביע בכיוון וקטור המהירות הזוויתית, הכוח הצנטרפוגלי בכללותו מתאפס. במצבי הביניים מתקבלות כמובן שתי תרומות וקטוריות.

הנה המחשה נאה המופיעה בויקיפדיה להשפעה של הכוחות המדומים על הדינמיקה: חלקיק קטן מבצע תנועה אליפטית על צלחת נטולת חיכוך המסתובבת במהירות זוויתית קבועה (כך ש- \(\dot{\boldsymbol{\omega}}=\boldsymbol{0}\)). האנימציה השמאלית מתייחסת לנקודת המבט האינרציאלית היכן שהתנועה אכן מציירת אליפסה, ואילו האנימציה הימנית מבטאת את הדינמיקה כפי שהיא נצפית מתוך הצלחת המסתובבת... התנועה המעגלית מנקודת מבט זו מתקבלת בעטיים של כוח קוריוליס והכוח הצנטרפוגלי.





יום שבת, 13 בנובמבר 2010

גדג'ט ושמו "מערכת התמד רגעית"


ברשומה הזו אנסה להראות כיצד ניתן להכניס מערכות ייחוס לא אינרציאליות בסד החוק השני של ניוטון. אעשה זאת כאן עבור מערכות המאיצות לינארית, ואילו ברשומה הבאה שתעסוק בנושא זה אעשה זאת גם עבור מערכות מסתובבות.

הגדרה: מערכת התמד גלילאנית היא מערכת ייחוס בה תקפים החוק הראשון והחוק השני של ניוטון.

הערה: מערכות התמד גלילאניות אינן מערכות התמד "אמיתיות" כיוון שהן אינן באמת שקולות זו לזו מבחינה פיזיקאלית. והראיה: הואקום של התורה האלקטרומגנטית איננו נשמר במעבר ממערכת התמד גלילאנית אחת למערכת התמד גלילאנית שנייה. למעשה, במערכות התמד אמיתיות נוכל לעסוק רק במסגרת תורת היחסות!


הגדרה של המושג טרנספורמציית גלילי: תהינה \(\mathcal{O}\) ו-\(\mathcal{O}'\) שתי מערכות התמד גלילאניות הנעות במהירות קצובה \(\boldsymbol{u}\) זו ביחס לזו. יתאר הוקטור \(\boldsymbol{v}\) את מהירותו של חלקיק ניוטוני כלשהו במערכת \(\mathcal{O}\) ויהא \(\boldsymbol{v}'\) וקטור מהירותו של אותו חלקיק במערכת \(\mathcal{O}'\). אזי נדרוש: 

  1. הזמן הוא אוניברסלי (כלומר, הדינמיקה של החלקיק הניוטוני בשתי המערכות תתואר באמצעות פרמטר זמן יחיד \(t\) המשותף לשתיהן). 
  2. מהירות החלקיק הניוטוני כפי שהיא נצפית בשתי מערכות הייחוס הללו מקיימת את הקשר המכונן: \(\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\).
בהנתן הגדרה זו נוכל לבצע אינטגרציה ביחס לפרמטר הזמן המשותף \(t\) ולקבל:
\[\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{u}t\]
גזירה, לעומת זאת, תיתן מיד \(\boldsymbol{a}'=\boldsymbol{a}\), מה שמבטיח את האינווריאנטיות של הסקטור הקינמטי של החוק השני של ניוטון תחת הטרנספורמציה, בהנחה שהמסה קבועה בזמן.

אבל מה לגבי הסקטור הדינמי? האם גם הוא נשמר תחת הטרנספורמציה? הבה נניח שיש לנו מערכת של \(N\) חלקיקים ושהכוחות הפועלים ביניהם נגזרים מסכימה על פוטנציאלים באופן הבא:
\[\boldsymbol{F}_{i}=-\nabla\left[\sum_{j\neq{i}}V_{ij}\left(\left|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right|\right)\right]\]
כאן \(\boldsymbol{F}_{i}\) הוא שקול כל הכוחות הפועלים על החלקיק ה-\(i\) בעטיים של כל החלקיקים האחרים במערכת, וכמובן האינדקס \(j\) רץ מ-\(1\) ועד \(N\), לא כולל \(i\). הביטוי דלעיל הוא למעשה הביטוי הכללי ביותר שניתן לרשום עבור כוחות משמרים הפועלים בין החלקיקים. במקרה זה האינווריאנטיות של סקטור הכוחות תחת הטרנספורמציה נובעת מיידית מהאינווריאנטיות של הוקטור \(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\) (בידקו זאת בקלות), ומהאינווריאנטיות של הגרדיאנט:

$$\frac{\partial}{\partial{x}'_{\alpha}}=\frac{\partial{x}_{\beta}}{\partial{x}'_{\alpha}}\frac{\partial}{\partial{x}_{\beta}}+\frac{\partial{t}}{\partial{x}'_{\alpha}}\frac{\partial}{\partial{t}}=\delta_{\alpha}^{\beta}\frac{\partial}{\partial{x}_{\beta}}=\frac{\partial}{\partial{x}_{\alpha}}$$
(כאן מימשנו את הסכם הסומציה). אם לסכם, החוק השני של ניוטון נשמר תחת טרנספורמציית גליליי, ובלבד שהכוחות הפועלים בין החלקיקים הם כוחות משמרים, ומסתם של החלקיקים קבועה בזמן.

הערה: ברגיל, הפיזיקה הקלסית מתעלמת מהאפשרות של אברי self-interactions, הגורמים להתבדרויות. ההתעלמות הזו איננה מזיקה כל עוד איננו מסתכלים 'קרוב מידי' לחלקיקים עצמם. הבאג הזה בא לידי תיקון מלא רק בתורת השדות הקוואנטים במסגרת הטכניקה המכונה 'רנורמליזציה' אבל אני מניח שלא אעסוק בזה בזמן הקרוב...

עד כאן טוב ויפה. אבל מה קורה כאשר \(\mathcal{O}'\) היא מערכת יחוס לא אינרציאלית, היכן שהמהירות היחסית בינה לבין מערכת הייחוס האינרציאלית \(\mathcal{O}\) היא פונקציה וקטורית של הזמן, \(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}(t)\)? כידוע, במערכות אלו לא מתקיימים לא החוק הראשון ולא החוק השני, מצב שלכאורה משאיר אותנו חסרי כלים לטיפול אנליטי... לאמיתו של דבר אין זה כך כלל ועיקר. בדיוק פה נכנס הגדג'ט החביב הזה שנקרא מערכת התמד רגעית

הגדרה: מערכת התמד (גליליאנית) רגעית היא אוסף אינסופי של מערכות התמד גלילאניות \(\left\{\mathcal{O}_{t}\right\}\) כך ש- \(\mathcal{O}_{t}=\mathcal{O}'(t)\;\forall\;t\).

פירושו של דבר שכל אחת ואחת מהמערכות שבאוסף (המתוייגות כולן באמצעות הפרמטר הרציף \(t\)) מתלכדת עם \(\mathcal{O}'\) באופן רגעי, בזמן \(t\). ומכיוון שמדובר במערכות התמד גלילאניות - גם אם הן מתקיימות רק באופן רגעי - אזי בהכרח תקף עבורן החוק השני. ובפרט, טרנספורמציית גליליי ממערכת ההתמד \(\mathcal{O}\) למערכות התמד רגעיות אלו תקיים: \[\boldsymbol{v}_{t}=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}(t)\] שהרי \(\boldsymbol{u}(t)\) היא המהירות היחסית בין שתי מערכות ההתמד \(\mathcal{O}_{t}\) ו-\(\mathcal{O}\). גזירה לפי הזמן תיתן עתה: \[\boldsymbol{a}_{t}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{A}\]
באשר \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(t)\) היא תאוצת המערכת המתוייגת כפי שהיא נצפית במערכת ההתמד הגלילאנית הלא-מתוייגת בכל רגע נתון \(t\). כיוון שמערכות ההתמד הרגעיות הן גלילאניות, ומכיוון שהכוחות האמיתיים הם אינווריאנטים של טרנספורמציית גליליי (כך שמתקיים \(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{t}\) לכל \(t\)), הרי שביחס לכל אחת ואחת מהן נוכל לרשום ללא חשש:  \(\boldsymbol{F}_{t}=\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}=m\boldsymbol{a}_{t}+m\boldsymbol{A}\)  ומכאן, \[\boldsymbol{F}-m\boldsymbol{A}=m\boldsymbol{a}_{t}\] התאוצה הרגעית באגף ימין מייצגת את תאוצת החלקיק הניוטוני במערכת המתויגת (הלא-אינרציאלית) כפי שהיא 'נקלטת' במערכת ההתמד הרגעית בזמן \(t\). שקול הכוחות שבאגף שמאל מייצג את סך כל הכוחות הפועלים על החלקיק במערכת זו. האיבר הנוסף המופיעה באגף שמאל, היינו \(m\boldsymbol{A}\), הוא איבר "דמוי כוח". משוואה זו היא "תשקיף" של החוק השני במערכת ההתמד הרגעית: באגף שמאל הסקטור הדינמי, באגף ימין הסקטור הקינמטי. אבל מערכת ההתמד הרגעית איננה אלא תשקיף רגעי של מערכת הייחוס המואצת. במילים אחרות, מצאנו דרך אלגנטית לתרגם את החוק השני לשפה לא אינרציאלית...

כמובן שהאלמנט \(m\boldsymbol{A}\) במשוואה דלעיל איננו כוח אמיתי כיוון שאין אף גורם חיצוני שיצר אותו. הצופה במערכת המאיצה אמנם חש בו כאילו היה אמיתי אבל אין תחושה זו באה לבטא אלא את האינרציה הגלומה במסתו. לכן האלמנט הזה מכונה כוח מדומה. בפיזיקה הקלסית מוכרים כמה וכמה סוגים של כוחות מדומים. זה שהצגנו כאן (כלומר בהקשר של מערכות ייחוס המאיצות לינארית) מכונה כוח דלמברט. האם ניתן להכיל את הרעיון של מערכות התמד רגעיות גם על סיבובים? בהחלט כן! על כך ברשומה הבאה.