יום חמישי, 6 ביולי 2017

מאלקטרומגנטיות לטופולוגיה של לולאות א'. נוסחת ביו-סבאר

הקשר בין תופעות פיזיקליות לתוצאים מתמטיים טהורים תמיד שווה את ליבי. אחד היפים והפשוטים ביותר להבנה מגיע מהסקטור המגנטי של התורה האלקטרומגנטית, המצביע על אינווריאנטים טופולוגיים בתורת הקשרים (Knot Theory). כדי להבין את ההקשר אתחיל במשוואות שמקיים הפוטנציאל המגנטי הסטציונארי בכיול קולון, ואגזור מהן את הביטוי עבור העצמה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) כפונקציה של מקורותיה. הרשימה הזו תתמקד איפה בגזירתה של נוסחת ביו-סבאר.

שתי המשוואות הכלליות (חלקיות ומצומדות) עבור הפוטנציאל המגנטי \(\boldsymbol{A}\) והפוטנציאל החשמלי \(\phi\) פותחו ברשימה הזוג השני של משוואות מקסוול, ואני מניח אותם כאן במתכונתן הכללית ביותר:

\begin{aligned}\nabla^{2}\phi+\frac{\partial}{\partial{}t}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)&=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\\nabla^{2}\boldsymbol{A}-\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial{}t^{2}}-\nabla\left[\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial\phi}{\partial{}t}\right]&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\end{aligned}

היכן שהמשתנים  \(\rho\) ו- \(\boldsymbol{j}\) הם צפיפות המטען החשמלי וצפיפות הזרם החשמלי בהתאמה, ואילו הקבועים האוניברסליים \(\mu_{0}\) ו- \(\epsilon_{0}\) הם החדירות (permeability) וההרשאות (permittivity) של הואקום בהתאמה. המצב הסטציונארי מתאפיין בפוטנציאלים שאינם תלויים בזמן, וכיול קולון מוגדר להיות זה שעבורו \(\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0\); כידוע, בחירת הכיול אינה משנה כלל את הפיזיקה של המערכת הנידונה (על חופש הכיול תוכלו לקרוא כאן). כל זה משאיר אותנו עם שתי המשוואות החלקיות הלא מצומדות

\begin{align}\nabla^{2}\phi&=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\\tag{a}\nabla^{2}\boldsymbol{A}&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\end{align}

המשוואה הראשונה מתארת את מבנה הפוטנציאל החשמלי בתנאים האמורים (ידועה גם כמשוואת פואסון), והשנייה את זה המגנטי. הואיל ובשדות מגנטיים עסקינן, אנו נמקד ענייננו במשוואה השניה, ומפתרונה הפורמלי נגזור את שדה העצמה המגנטית הנגרם בעטייו של שדה צפיפות הזרם \(\boldsymbol{j}\), ונחדד למקרה הפרטי של זרם חשמלי חד-מימדי \(i\).

ובכן, הפתרון הפורמלי של משוואה \((a)\) עבור הפוטנציאל המגנטי ניתן ע"י

\begin{align}\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{1}=\boldsymbol{A}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r'}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r'}}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\end{align}

באשר \(\Omega\) הוא התחום המרחבי בו קיימת צפיפות זרם כלשהי \(\boldsymbol{j}\) (תחום זה במרחב מכונה גם התומך של \(\boldsymbol{j}\)), ואילו \(\boldsymbol{A}_{0}\) היא החתיכה ההומוגנית של הפיתרון המקיימת \(\nabla^{2}\boldsymbol{A}_{0}\left(\boldsymbol{r}\right)\equiv\boldsymbol{0}\). בביטוי פורמלי זה \(r:=\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|\) הוא המרחק בין נקודת האינטגרציה \(\boldsymbol{r}'\) לבין המקום המיוחד \(\boldsymbol{r}\) בו אנו מודדים את ערך השדה הוקטורי \(\boldsymbol{A}\).

קל מאוד להראות את נכונותו וכלליותו של הפתרון הזה: שימו לב שאופרטור לפלאס פועל על כל מה שתלוי בקואורדינטה \(\boldsymbol{r}\) ובוודאי לא על משתנה האינטגרציה \(\boldsymbol{r}'\); לכן כל שעלינו לדעת הוא כיצד פועל זה על הפונקציה \(1/r\) המופיעה בתוך סימן האינטגרל. את הפיתוח המפורש תוכלו למצוא בחלק ב' של הרשימה פונקציית דלתא של דיראק כרגולטור של סינגולריות. התוצאה הסופית היא זו:

\begin{aligned}\nabla^{2}\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)=-4\pi\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)+4\pi\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\end{aligned}

באשר \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\) היא פונקציית דלתא המרחבית של דיראק. הבה נפעיל את אופרטור לפלאס על הפיתרון המוצע; ניעזר בתוצאה מלמעלה, נשתמש במשפט הדיברגנס (שימו לב שוב, \(\nabla\) פועל רק על מה שתלוי ב- \(\boldsymbol{r}\)) ונקבל:

\begin{aligned}\nabla^{2}\boldsymbol{A}&=\underbrace{\nabla^{2}\boldsymbol{A}_{0}}_{\equiv\;\boldsymbol{0}}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\nabla^{2}\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r'}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right]\\&=-\mu_{0}\int_{\Omega}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\left\{\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)-\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\right\}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)+\mu_{0}\int_{\Omega}\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\otimes\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)+\mu_{0}\underbrace{\int_{\partial\Omega}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\otimes\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}_{\text{מתאפס באופן זהותי}}\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)\end{aligned}

יפה; נוסחא \((1)\) היא אכן הפתרון הפורמלי למשוואה שמקיים הפוטנציאל המגנטי. הבו לי את התפלגות צפיפויות הזרם ובאמצעות אינטגרציה מרחבית אחשב את שדה הפוטנציאל. אבל כמובן כל עוד בפיזיקה קלאסית עסקינן, הרי שלא בפוטנציאל המגנטי אנו מעוניינים אלא בשדה העוצמה המגנטית.

את שדה העוצמה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) נקבל עתה מתוך הקשר \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\). ניעזר בזהות הוקטורית \(\nabla\times\left(\phi\boldsymbol{v}\right)=\left(\nabla\phi\right)\times\boldsymbol{v}+\phi\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)\) עבור \(\phi=1/r\) ו- \(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{j}\) ונקבל (מזכיר שוב, \(\boldsymbol{j}\) לא תלוי ב- \(\boldsymbol{r}\) אלא ב- \(\boldsymbol{r}'\), ואילו \(\nabla\) פועל לפי \(\boldsymbol{r}\)):

\begin{aligned}\boldsymbol{B}&=\nabla\times\boldsymbol{A}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\nabla\times\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=\boldsymbol{B}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\left\{\nabla\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\right\}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\end{aligned}
וכאן \(\boldsymbol{B}_{0}\) הוא שדה העצמה המגנטית הנגרם מהחתיכה ההומוגנית של וקטור הפוטנציאל, זו שאיננה ניזונה ממקורות זרם. ומהו הגרדיאנט של \(1/r\)? שוב אשלוף תוצאה מן המוכן,

\begin{aligned}\nabla\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)=-\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}+4\pi\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\end{aligned}
ואציגנה בפתרון הפורמלי עבור \(\boldsymbol{B}\):

\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)=\boldsymbol{B}_{0}&-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\\\phantom{=}&+\;\mu_{0}\underbrace{\int_{\Omega}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}_{\text{מתאפס באופן זהותי}}\end{aligned}

למען האמת, החתיכה ההומוגנית \(\boldsymbol{B}_{0}\) לא רולוונטית לענייננו היות והיא מייצגת שדה חיצוני שאינו ניזון כלל ממקורות הזרם סביבו; החתיכה הזו אמנם עשוייה להשפיע על מקורות הזרם אבל נקודת המוצא שלנו היא שצפיפות הזרם נתונה מלכתחילה כך שהשפעתו של השדה החיצוני כבר מוטמעת במבנה הנתון של צפיפות הזרם.

אם כך, נוכל לסכם:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{2}=&-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)^{3}}\end{align}

זוהי נוסחת ביו-סבאר לשדה העצמה המגנטית הנגרם בעטיו של שדה צפיפות הזרם. חשוב לציין שבמקרים רבים מדובר במשוואה אינטגרלית לגמרי לא טריוויאלית: צפיפות הזרם עצמה תלוייה בשדה המגנטי שמסביב וחוזר חלילה. ואולם במקרים בהם אין תלות כזו (למשל כשאנו מאלצים זרמים חשמליים במוליכים והשדה מסביב נגרם בעטיים) נוסחת ביו סבאר היא כלי שימושי ורב ערך. 

ומה קורה כאשר צפיפות הזרם מתמצאת בזרם קבוע \(i\) הזורם במוליך קווי? ובכן, במקרה זה תחום האינטגרציה \(\Omega\) מצטמצם לנפח התייל המוליך ואז \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\Rightarrow{}i\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\). מאחר והזרם הוא האינטגרל המשטחי של צפיפות הזרם על חתך המוליך אנו נותרים עם אינטגרציה לאורך המוליך \(C\), ונוסחת ביו-סבאר מצטמצמת לביטוי

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{3}=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\int_{C}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,.\end{align}

תרגיל:

המונופול של דיראק הוא שדה עצמה מגנטית הקורן מנקודה כאילו היה בה "מטען מגנטי". קרינה מגנטית כזו מושרית מקונפיגורציית זרמים לא-ריאלית מהצורה של סלנואיד חצי אינסופי (מכונה גם "מיתר דיראק").

טענה: הפוטנציאל של המונופול של דיראק בקואורדינטות כדוריות נתון בביטוי 

\begin{aligned}\boldsymbol{A}\left(r,\theta,\varphi\right)\;=\;\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{A}_{-}=\displaystyle\frac{g}{4\pi}\left(\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{r{}\sin\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\varphi}}&&\theta\leq\pi/2\\\boldsymbol{A}_{+}=\displaystyle\frac{g}{4\pi}\left(\displaystyle\frac{-1-\cos\theta}{r{}\sin\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\varphi}}&&\theta>\pi/2\end{array}\right.\end{aligned}

היכן ש- \(g\) הוא עצמת המטען המגנטי האפקטיבי.

נחקור ונוכיח את הטענה בארבעה שלבים:
  1. היווכחו ש- \(\boldsymbol{A}_{-}\) סינגולרי על ציר \(z\) השלילי וש- \(\boldsymbol{A}_{+}\) סינגולרי על ציר \(z\) החיובי. ויחד עם זאת,
  2. הראו ש- \(\boldsymbol{A}_{-}=\boldsymbol{A}_{+}+\nabla\lambda\) ומיצאו את \(\lambda\). יוצא איפה ששני הפוטנציאלים על שתי ההימיספירות נבדלים זה מזה בטרנספורמציית כיול ולכן משלימים זה את זה על פני כל ההמיספרה. נובע מכך שהשדה המגנטי המושרה מהם מוגדר על פני כל המרחב המנוקב.
  3. הגדירו \(\boldsymbol{B}_{\pm}=\nabla\times\boldsymbol{A}_{\pm}\) והראו תוך שימוש בקואורדינטות כדוריות: \begin{aligned}(a)\quad&\boldsymbol{B}_{+}=\boldsymbol{B}_{-}={\left(g/4\pi\right)\boldsymbol{r}}/{r^{3}}\\(b)\quad&\nabla\cdot\boldsymbol{B}_{\pm}=0\;\;\text{for }\;\;r>0\\(c)\quad&\text{\(g\) השטף של \(\boldsymbol{B}_{\pm}\)  דרך מעטפת כדורית כלשהי שמרכזה בראשית הוא}\end{aligned} שימו לב ששלושת התכונות הללו מנפקות הקבלה מלאה לחוק גאוס החשמלי תחת ההחלפה \(g\Leftrightarrow{}q/\epsilon_{0}\).
  4. הראו שהשדה המונופולי הנ"ל קורן מקצהו החופשי של סלנואיד אידיאלי חצי אינסופי בו זורם זרם \(i\) ובטאו את "המטען המגנטי" במונחים של הזרם בסלנואיד. רמז: מיצאו הקבלה מתאימה בין הפוטנציאל המגנטי של סלנואיד לזה של המונופול של דיראק; עיבדו לנוחותכם בקואורדינטות גליליות.